2425切線長(zhǎng)定理

1、CPD 這是一位同學(xué)運(yùn)動(dòng)完后放的籃球，這是一位同學(xué)運(yùn)動(dòng)完后放的籃球，如果截它的平面，那么你能從中發(fā)現(xiàn)什如果截它的平面，那么你能從中發(fā)現(xiàn)什么幾何知識(shí)呢？么幾何知識(shí)呢？墻墻 地面地面 P從圓外一點(diǎn)從圓外一點(diǎn)可以引圓的可以引圓的兩條切線。兩條切線。AB 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段線段的長(zhǎng)的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)。OPABOPAB根據(jù)你的直觀判斷，猜想圖中根據(jù)你的直觀判斷，猜想圖中PAPA是否等是否等于于PBPB？1 1與與2 2又有什么關(guān)系？又有什么關(guān)系？12關(guān)鍵是關(guān)鍵是作輔助線作輔助線AOPB證明：連結(jié)證明：連結(jié)OAOA

2、、OB OB PAPA、PBPB是是 O O的兩條切線的兩條切線OAAPOAAP，OBBPOBBP又又 OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP Rt RtAOP RtAOP RtBOP BOP PA=PB, PA=PB, APO=APO=BPOBPO已知已知PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，為切點(diǎn)，如何證明如何證明 PA=PB, PA=PB, APO=APO=BPO BPO ？PAPA、PBPB分別切分別切O O于于A A、B BPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切

3、線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理: :APO。B幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言: :切線長(zhǎng)定理為證明切線長(zhǎng)定理為證明線段相等、線段相等、角相等角相等提供了新的方法。提供了新的方法。APO。BM 若連結(jié)兩切點(diǎn)若連結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你你又能得出什么新的結(jié)論又能得出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OPOP垂直平分垂直平分ABAB證明：證明：PAPA，PBPB是是O O的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PA

4、BPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線 OPOP垂直平分垂直平分ABAB例例. .PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交于交于O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交交ABAB于于C C。(1)(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPAOAPA，OBPBOBPB，ABOPABOPAPO。BCED例例. .PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交于交于O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交交ABAB于于C C。(2)(2)寫出圖中與寫出圖中

5、與OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCAPO。BCED例例. .PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交于交于O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交交ABAB于于C C。(3)(3)寫出圖中所有的全等三角形寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCPAPO。BCED例例. .PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交于交于O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交交ABAB于于C C。（4 4）寫出圖中所有的等腰

6、三角形）寫出圖中所有的等腰三角形OAB,PABAPO。BCED例例. .PAPA、PBPB是是O O的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交于交于O O于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交交ABAB于于C C。（5 5）若）若PA=4PA=4、PD=2PD=2，求半徑，求半徑OA.OA.APO。BCED設(shè)設(shè)OA=xcmOA=xcm, ,則則PO=PD+x=PO=PD+x=( (2+x2+x) )cmcm在在RtRtOAPOAP中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得 4 42 2+x+x2 2 =(x+2)=(x+2)2 2 解得解得x=3 x=3 所以，半徑所以，半徑 OA

7、 OA 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為3cm. 3cm. 已知：如圖已知：如圖,PA,PA、PBPB是是O O的切線，的切線，切點(diǎn)分別是切點(diǎn)分別是A A、B B，Q Q為為O O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，過(guò)過(guò)Q Q點(diǎn)作點(diǎn)作O O的切線，交的切線，交PAPA、PBPB于于E E、F F點(diǎn)，已知點(diǎn)，已知PA=12cmPA=12cm，P=70P=70, ,求求: :(1)(1)PEFPEF的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) (2)(2)EOFEOF的大小。的大小。EAQPFBO一、判斷一、判斷（1 1）過(guò)任意一點(diǎn)總可以作圓的兩）過(guò)任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線（條切線（ ）（2 2）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的長(zhǎng)相等。

8、（）它們的長(zhǎng)相等。（）如圖如圖,PA,PA、PBPB切圓于切圓于A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，APB=50APB=50, ,連結(jié)連結(jié)POPO，則，則 APO=APO= 度。度。25PBOA二、填空二、填空填空：如圖，填空：如圖，PAPA、PBPB分別與分別與O O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)A A、B B，（1 1）若）若PB=12PB=12，PO=13PO=13，則，則AO=AO= ; ; （2 2）若）若PO=10PO=10，AO=6AO=6，則，則PB= PB= ；（3 3）若）若PA=4PA=4，AO=3AO=3，則，則PO= PO= ； PD= PD= ；5852(2)(2)觀察觀察OPOP與與BC

9、BC的位置關(guān)系，并給予證明。的位置關(guān)系，并給予證明。(1)(1)若若OA=3cm,APB=60OA=3cm,APB=60，則，則PA=_PA=_ _ _._.PABCOM如圖，如圖，ACAC為為O O的直徑，的直徑，PAPA、PBPB分別切分別切O O于點(diǎn)于點(diǎn)A A、B B，OPOP交交O O于點(diǎn)于點(diǎn)M M，連結(jié)，連結(jié)BCBC。PBAO(3)(3)連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)(2)(2)連結(jié)兩切點(diǎn)連結(jié)兩切點(diǎn)(1)(1)分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)反思：在解決有關(guān)圓的切線長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，反思：在解決有關(guān)圓的切線長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。往往需要我們構(gòu)建基本圖形。1.1.切線長(zhǎng)

10、定理切線長(zhǎng)定理 從圓從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的連線平分兩條切線的夾角。夾角。 小結(jié)：小結(jié)：APO。BECDPA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切線長(zhǎng)定理為證明切線長(zhǎng)定理為證明線段相等，角相等，弧相線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。靈活應(yīng)用。三角形與圓三角形與圓三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓思考思考一張三角形的鐵皮，如何在它上面一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下

11、一塊圓形的用料，并且截下一塊圓形的用料，并且使圓的使圓的面積盡可能大面積盡可能大呢？呢？與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓的圓心三角形的內(nèi)切圓的圓心三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓: :三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心: :內(nèi)心的性質(zhì)內(nèi)心的性質(zhì): :I（即三角形三條角平分線的交點(diǎn)）（即三角形三條角平分線的交點(diǎn)）1.1.與頂點(diǎn)的連線平分三個(gè)內(nèi)角。與頂點(diǎn)的連線平分三個(gè)內(nèi)角。2.2.到三角形三邊的距離相等。到三角形三邊的距離相等。COBADEFo o外心：外心：三角形三邊垂三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。直平分線的交點(diǎn)。性質(zhì)：性質(zhì)：到三角形三個(gè)到三角形三個(gè)

12、頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)的距離相等。o o內(nèi)心：內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。角平分線的交點(diǎn)。性質(zhì)：性質(zhì)：到三角形三邊到三角形三邊的距離相等。的距離相等。A AA AB BB BC CC C三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓三角形的外接圓三角形的外接圓1.1.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓；一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓； 一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；2.2.一個(gè)三角形一個(gè)三角形 有且只有一個(gè)外接圓；有且只有一個(gè)外接圓； 一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形；一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形；3.3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；交點(diǎn)；

13、三角形的外心是三角形三條邊垂直平分三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；線的交點(diǎn)；4. 4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。COBA如圖，如圖，ABCABC的內(nèi)切圓分別和的內(nèi)切圓分別和BCBC，ACAC，ABAB切于切于D D，E E，F(xiàn) F；如果；如果AF=2cm,AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,BD=7cm,CE=4cm,則則BC=BC= cm,cm,AC=AC= ，AB=AB= 。116cm9cmFED如圖，如圖，PAPA、PBPB、DEDE分別切分別

14、切O O于于A A、B B、C C，DEDE分別交分別交PAPA，PBPB于于D D、E E，已，已知知P P到到O O的切線長(zhǎng)為的切線長(zhǎng)為8CM8CM，則，則PDEPDE的周長(zhǎng)為（的周長(zhǎng)為（ ）A .16cmD. 8cmC.12cmB.14cmAPDCBEA例：例：已知：如圖已知：如圖, , ABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓O O與與BCBC、CACA、ABAB分別相交于點(diǎn)分別相交于點(diǎn)D D、 E E、F F，且，且ABAB9cm9cm，BCBC14cm14cm，CACA13cm,13cm,求求AFAF、BDBD、CECE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。AECDBFOxxyyzzDEF 1直角三角形中直角三角形中,

15、 ,設(shè)直角邊分別為設(shè)直角邊分別為a a、b,b,斜邊為斜邊為c,c,內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑為r r，則，則r2abcabc rBDEFOCA如圖，如圖，ABCABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為2, 2, ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為30,30,求求ABCABC的面積的面積S.S.設(shè)設(shè)ABCABC的三邊為的三邊為a a、b b、c c，周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切圓的半徑為r,r, 面積為面積為S S，則，則12S= l r1S=a2bc rBDEFOCA2rSabc拓廣探索拓廣探索垂心垂心重心重心外心外心內(nèi)心內(nèi)心交點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)性質(zhì)位置位置三條高線三條高線的交點(diǎn)的交點(diǎn)三條角平分三條角平

16、分線的交點(diǎn)線的交點(diǎn)三邊垂直三邊垂直平分線的平分線的交點(diǎn)交點(diǎn)三條中線三條中線的交點(diǎn)的交點(diǎn)在形內(nèi)、在形內(nèi)、形外或直形外或直角頂點(diǎn)角頂點(diǎn)在形內(nèi)、形在形內(nèi)、形外或斜邊中外或斜邊中點(diǎn)點(diǎn)在形內(nèi)在形內(nèi)在形內(nèi)在形內(nèi)到三角形到三角形各頂點(diǎn)距各頂點(diǎn)距離相等離相等到三角形到三角形三邊距離三邊距離相等相等把中線分把中線分成了成了2 2: :1 1兩部分兩部分等邊三角形的等邊三角形的“四心四心”等邊三角形的等邊三角形的“四心四心”重合重合直角三角形的直角三角形的“四心四心”內(nèi)心內(nèi)心外心外心重心重心垂心垂心 直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓CBACOBA1.直角三角形外接圓的圓心直角三角形外接圓的圓心

17、(外心外心)在在_，半徑為半徑為_.2.直角三角形內(nèi)切圓的圓心直角三角形內(nèi)切圓的圓心(內(nèi)心內(nèi)心)在在_，半徑半徑r=_.abc斜邊中點(diǎn)斜邊中點(diǎn)斜邊的一半斜邊的一半三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部a+b-c2圓的外切四邊形圓的外切四邊形的兩組的兩組對(duì)邊和對(duì)邊和相等。相等。探索圓外切四邊形邊的關(guān)系。探索圓外切四邊形邊的關(guān)系。（1 1）找出圖中所有相等的線段）找出圖中所有相等的線段（2 2）填空：）填空：AB+CDAB+CD AD+BCAD+BC（,=)=DN=DPDN=DP，AP=ALAP=AL，BL=BMBL=BM，CN=CMCN=CM對(duì)邊和相等的四邊形能作出內(nèi)切圓對(duì)邊和相等的四邊形能作出內(nèi)切圓比較圓的內(nèi)接

18、四邊形的性質(zhì)：比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形的的對(duì)角對(duì)角互補(bǔ)?；パa(bǔ)。對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能作外接圓。對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能作外接圓。EF HG OABCDEF OABCDE如圖，如圖，ABAB是是O O的直徑，的直徑，ADAD、DCDC、BCBC是是切線，點(diǎn)切線，點(diǎn)A A、E E、B B為切點(diǎn)，若為切點(diǎn)，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的長(zhǎng)的長(zhǎng). .PBAOC 已知：如圖，已知：如圖，PA PA ，PBPB分別切分別切O O于于A A、B B，ACAC為直徑。為直徑。 求證：求證：APBBAC21為了測(cè)量一個(gè)圓形鍋蓋的半徑，某同學(xué)采用了如為了測(cè)量一個(gè)圓形鍋蓋的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鍋蓋平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角下辦法：將鍋蓋平放在水平