計算方法試題集及答案(新)

1、1.為精確值x的近似值一 * . 一一一 /f X 為一兀函數(shù)y1X的近似值；X*,y*為二元函數(shù)y2x,y的近似值,請寫出下面的公式:* -e X* X ：X*X*y1*y2y2f X*X*y1X* f X*f X*r X*f X*, y*X*, y *y*f X*, y*e X*y2f X*, y*e y*y22、3、舍入誤差。6 位和 7計算方法實際計算時，對數(shù)據(jù)只能取有限位表示，這時所產(chǎn)生的誤差叫 分別用2.718281 , 2.718282作數(shù)e的近似值，則其有效數(shù)字分別有位;又取1.73 （三位有效數(shù)字），則J31.732 10-24、設(shè)X11.216,X23.654均具有3位有效

2、數(shù)字，則X1X2的相對誤差限為 0.0055。5、設(shè)為1.216,X23.654均具有3位有效數(shù)字，則X 溝的誤差限為 0.01。6、已知近似值Xa2.4560是由真值Xt經(jīng)四舍五入得到，則相對誤差限為0.0000204 .7、遞推公式y(tǒng)° =V2,，如果取y0J21.41作計算，則計算到y(tǒng)10時，誤差為yn = 10yn-1 -1,n = 1,2,L '18 -10 ;這個計算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定 .2_»- > >.乙 » t .* A / A. A. .8、精確值 3.14159265，則近似值1* 3.141和2* 3.1415分別

3、有位和4 位有效數(shù)字。-59、若x e 2.71828 X ,則X有 6 位有效數(shù)字，其絕對誤差限為1/2*1010、設(shè)X*的相對誤差為2%,求（x*） n的相對誤差0.02n*c C /.11、近似值X0.231關(guān)于真值X 0.229有（2 ）位有效數(shù)字;截斷）誤差和（舍入）誤差;的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達式改12、計算方法主要研究（13、為了使計算 y 10y 10 （3 （4 6t）t）t,t寫為x 1 ,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式 2001 71999改寫為22001 J99914、改變函數(shù)f(x)（X 1）的形式，使計算結(jié)果較精確15、設(shè)/ = 2.3149541.,取5位有

4、效數(shù)字，則所得的近似值x=_2.315016、已知數(shù)e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是 4二、單項選擇題：1、舍入誤差是（A ）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù) B.模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C.觀察與測量D .數(shù)學(xué)模型準確值與實際值2、3.141580是兀白有（B ） 位有效數(shù)字的近似值。A . 6 B . 5 C . 4 D .73、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是（C ） 誤差。A.模型 B .觀測 C .截斷 D .舍入X4、用1+3近似表示31 x所產(chǎn)生的誤差是（D ） 誤差。A.舍入 B .觀測 C .模型 D .截斷5、-324 .

5、 7500是舍入得到的近似值，它有 （C ） 位有效數(shù)字。A . 5 B . 6 C .7 D .86、（ D ）的3位有效數(shù)字是 0.236 X 102。（A） 0.0023549 X 103 （B） 2354.82 X 102 （C） 235.418（D） 235.54 X 10 17、取73 1.732計算x （出1）4,下列方法中哪種最好？（ C ）_16_16_（A） 28 165（4 2而2；（ 0 （4 2而2 ；（D）（V31）4。三、計算題1 .有一個長方形水池，由測量知長為（50 ±0.01）米，寬為（25 ±0.01）米，深為（20 ±0.0

6、1）米，試 按所給數(shù)據(jù)求出該水池的容積，并分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式，并求出絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形水池的長為L,寬為 W,深為H,則該水池的面積為 V=LWH當(dāng) L=50,W=25,H=20 時，有 V=50*25*20=25000（米 3）此時，該近似值的絕對誤差可估計為=WHHL W LW H相對誤差可估計為：r V V而已知該水池的長、寬和高的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足L 0.01, W 0.01, H 0.01故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為V WH L HL W LW H25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.502

7、500031.1*102 .已知測量某長萬形場地的長a=110米，寬b=80米.若a a 0.1米，b b 0.1米試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形的面積為 s=ab當(dāng) a=110,b=80 時，有 s=110*80=8800(米 2)此時，該近似值的絕對誤差可估計為sss 一 a 一ab=b a a b相對誤差可估計為: 而已知長方形長、寬的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足a 0.1, b 0.1故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為s b a a b80*0.1110*0.119.0s19.0r s 0.002159s8800絕對誤差限為19.0 ;相對誤差限為 0.002159。

8、3、設(shè)x*的相對誤差為2%,求(x*) n的相對誤差解：由于 f(x) xn, f'(x) nxn1,故* n n* n 1*(x ) x n(x ) (x x )*故 rn x *xn r 0.02n(x ) x4、計算球體積要使相對誤差為1%問度量半徑R允許的相對誤差限是多少?解：令V f R 4 R3,根據(jù)一元函數(shù)相對誤差估計公式，得4 R243R33R 3 R R 1%從而得 R R 3005.正方形的邊長大約為100cm,問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1cm2解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10 -2cm,即邊長 a 的誤差不超過 0.00

9、5cm 時，才能保證其面積誤差不超過1平方厘米。6 .假設(shè)測得一個圓柱體容器的底面半徑和高分別為50.00m和100.00m,且已知其測量誤差為0.005m。解:試估計由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差。r 2h2 rh(r* r) =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 r * r=2=0.0002第一章插值法 一、填空題：1.設(shè) xj (i=0,1,2,3,4)為互異節(jié)點，l i (x)為相應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則4x42lii 00.20.30.4(x4+2).2.設(shè) xj(i=0,1,2,3,4,5)為互異節(jié)點，l i (x)為相應(yīng)的五次插值基函數(shù)55

10、c 4xi2xii 05 c 43,=x 2x x 13.已知f(x)2x35,則 f1,2,3,42, f1,2,3,4,54. f (x)3x2 1,則 f1,2,3,f1, 2,3,43,6.設(shè)/= 4x、2/十3/十1和節(jié)點“二2需貝/【仆,社，也=4.7.設(shè) f 00,f 116, f 246,則 f 0,116 , f 0,1,27 ,f x的二次牛頓插值多項式為 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)8.如有下列表函數(shù)：5. 設(shè)f Xi0.040.090.16則一次差商 f 0.2,0.4 = 069、2、f1，f(2)2, f(3) 1 ,則過這三點的二次插值多項式中x2的

11、系數(shù)為二2,11拉格朗日插值多項式為L2X - x 2 x 32x1x3- x 1 x 2 322_24一2x2 9x 810、對 f(x)x3 x 1,差商 f0,1,2,3( 1),f0,1,2,3,4( 0).11、已知 f(1) =2, f(2) =3, f(4) =5.9 ,則二次 Newton 插值多項式中 x2系數(shù)為(0.15 );12、設(shè)f(0)Qf(1) 16,f(2)46,則h(x) x x 2 , f(x)的二次牛頓插值多項式為N2(x) 16x 7x(x 1)13、l0(x),l1(x),n(x)是以整數(shù)點 x0,x1,n,xn為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則 1

12、kx = k 0n(x4=xj,當(dāng) n 2時 k 0x； 3)lk(x)42(x x 3 ) o14、設(shè)一階差商/ (七,工口)=2- 16-15則二階差商玉/»工1 =/一工4-1615、通過四個互異節(jié)點的插值多項式p(x),只要滿足三階均差為0,則p(x)是不超過二次的416、若 f(x) 3x 2x 1 ,則差商 f 2, 4, 8,16, 323。二、單項選擇題：1、設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A )A -0.5 B .0.5 C . 2 D . -22、拉格朗日插值多項式的余項是(B ),牛頓插值多項式的余項是(C

13、 )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(B)Q(x) f(x)f (n 1)()Pn(X)(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn1)(x xn),f ()Rn(x)f(x) Pn(x) -(-/ n1(x)(D)(n 1)!x00.511.522.5f( x)-2-1.75-10.2524.253、有下列數(shù)表所確定的插值多項式的次數(shù)是（A ）。X11.522.533.5f (xi)-10.52.55.08.011.5（A）二次；（B）三次；（C）四次；（D）五次4、由下列數(shù)表

14、進行 Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（D ）(A) 5;(B)4 ;(C)3 ；( D) 2。9kli(k)5、設(shè)li(x)是以xk k(k Q1,L ,9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則k 0( C )(A) x ；(B) k ；(O i ；( D) 1。6、由下列數(shù)據(jù)x01234f (x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為（A ）（A） 4 ;（B）2;（C）1;（D）3三、問答題1.什么是Lagrange插值基函數(shù)？它們有什么特性?答：插值基函數(shù)是滿足插值條件的 n 次插值多項式，它可表示為并有性質(zhì)2. 給定插值點可分別構(gòu)造Lagrange 插值多項式和

15、Newton 插值多項式，它們是否相同？為什么?它們各有何優(yōu)點？答 ： 給 定 插 值 點 后 構(gòu) 造 的 Lagrange 多 項 式 為Newton插值多項式為它們形式不同但都滿足條件它表明n 次 多 項 式有 n+1 個零點， 這與 n 次多項式只有n 個零點矛盾，是用基函數(shù)表達的，便于研究方法的穩(wěn)定性和收斂每增加一性等理論研究和應(yīng)用，但不便于計算，而 個插值點就增加一項前面計算都有效，因此較適合于計算。3.Hermite 插值與 Lagrange 插值公式的構(gòu)造與余項表達式有何異同？答： Hermite 插值的插值點除滿足函數(shù)值條件外還有導(dǎo)數(shù)值條件比Lagrange 插值復(fù)什一些，但

16、它 們 都 用 基 函 數(shù) 方 法 構(gòu) 造 ， 余 項 表 達 式 也 相 似 ， 對 Lagrange 插 值 余 項 表 達 式 為而 Hermite 插 值 余 項 在 有 條 件 的 點看作重節(jié)點，多一個條件相當(dāng)于多一點，若一共有m+1 個條件，則余項中前面因子為后面相因子改為即可得到Hermite插值余項。四、計算題1、設(shè)f xx7 5x3 1,求差商f 20,21,f 20,21,2220,21,L ,27,f 20,21,L ,2解：f 207, f 21169, f 2216705,故2702_ _0_1 _1_2 _0_1_2f 20,21 162, f 21,22 8268

17、,f 20,21,22根據(jù)差商的性質(zhì)，得f 20,21,L ,27 17!f 80 -181cf 2 ,2 ,L ,2 08!X ： 122、求滿足下列條件的埃爾米特插值多項式：yi 2 3yi 11解：根據(jù)已知條件可求得220 x2x 1x 2 , 1 x 2x 5x1220 xx 1x 2, 1 xx 2 x1代入埃爾米特三次插值多項式公式y(tǒng)0 1 xP3 xy0 0 xy1 1 xyo 0 x22=2 2x 1 x 23 2x 5 x 1 x 1 x 23、如有下列表函數(shù)為01234f xi36111827試計算此列表函數(shù)的差分表，并給出它的牛頓插值多項式及余項公式 解：查分表如下：xf

18、ifi2fi3fi4fi03163211513187104279100Nk(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0 <x< 14、給出lnx的函數(shù)表如下：x0.400.500.600.70ln x一0.916291一0.693147一0.510826一0.356675試用線性插值和拋物插值求 ln 0.54的近似值。解答線性插值 ,取4 = 0. 53項=6 6T則InO. 54 2 卷廣松(一0 593 147)卜(h 3 - duo 54 a c；m 二二(一 E 510 826) - 0. 62。219二次插值！取小=0, 5.工=。,6 .與一

19、L 7,用InO. 54 =一電 §4 - Q皿 54 U. J ) CO, 5 0. 6)(0. 5 - S 7)一X (- 0. 6券 147) +Q b4 0, 55 54 C.7)(0, 6 6,8 一8 7)X (一。. 510 825) 4(0. 54 - 5 58 54 .61 軟.7。,弓)(口,？ - U uyX (一 0.356 675)=0.616 838 2生記苦取上* =84，工=(k5*及G. 6,則】口0. 54- 0.515 319航5.已知x-112F (x)31-1請依據(jù)上述數(shù)據(jù)求f(x)的2次Lagrange插值多項式。3,f(xJ 1,f(x2

20、)1f(X1) (X X0)(X X2)(X1 %)(% X2)f(X2)(x %)(x Xi)(X2 Xo)(X2Xi)(1)(x 1)(x 2)1 1)( 1 2)(x 1)(x 1)(X1)(X 2)(1 1)(1 2)2(X(2 1)(2 1)1 1)(x 2) -(x11)(x 2) -(X 1)(x 1)3解：記x01,x1 1,x2 2,則f(%)所以 L2(X)f(X0)(H6.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f'（1）=3,并寫出插值余項。解：根據(jù)Lagrange插值多項式和Newton插值多項式得出L2 x

21、N2 x3x2 2x 1設(shè)待插值函數(shù)為:H3 xN2 x根據(jù)H3 13,得參數(shù)k1,H3 x1.插值余項為:7、 已知xi1345f(Xi)2654H3 xX f Xf 42x x 1 x 2 4!分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f（X）的三次插值多項式P3（x）,并求f（2） 的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：L3(X) 2(rf6(x 1)(x 4)(x 5 (3 1)(3 4)(3 5)5(X1)(X3)(X5)4(X1)(X3)(X4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2

22、2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f(2) P3(2)5.5答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差M3 |K(x)|3 | 3(x)13!盡量小，即應(yīng)使3(x)|盡量小，最靠近8、已知sinx區(qū)間0.4 , 0.8的函數(shù)表xii0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點0.5,06,0.7最好，實際計算結(jié)果Sin0.63891 0.596274, 且sin 0.63891 0.596

23、2749 0.6)(0.638910.7)1-(0.63891 0.5)(0.63891 3!-40.55032 109、取節(jié)點x00，x10.5, x21,求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的二次插彳1多項式P2(x),并估計誤差。解:P2(x) e(x0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)0.5(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)2(x0.5)( x 1) 4e0.51 /x(x 1) 2e x(x0.5)f (x) e x, f (x)又xe , M 3 max | f x 0,1 1(x)| 1_x _1一故截斷誤差|R2(x)| |eP2(x)| 3j|x(x 0.5)(x

24、 1) |10、已知f (-1)=2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f (1, 5)的近似值,取五位小數(shù)。L 2 (x 1)(x 2)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1)解：2 X ( 1 1)( 1 2)(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)234-(x 1)( x 2) -(x 1)(x 2) -(x 1)(x 1)323.1f(1.5)L2(1.5)0.041672411、（12分）以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算 “向5的近似值，并利用余項估計誤差。115用Newton插值方法：差分表:1000112111

25、0.0476190144210.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f''' xf '''3!115 100 115 121 115 1441 32100 26815 6 29 0.0016312、（10分）已知下列函數(shù)表:x0123f (x)13927（1）寫出相應(yīng)的三次 Lagrange插值多項式;（2）作均差表，寫出相應(yīng)的三次Newton插值多項式，并計算f。5）的近似值。解：（1）La(x)(x 1)(x 2)

26、(x 3)(x 0)(x 2)(x 3) (x 0)( x 1)(x 3)(0 1)(03 2x22)(0 3)8x 13(1 0)(1 2)(1 3)(2 0)(2 1)(2 3)(x 0)(x 1)(x 2)(3 0)(3 1)(3 2)0113229624均差表：32718634N3(x) 1 2x 2x(x 1) -x(x 1)(x 2)f (1.5)N3(1.5) 5x023f (x)13213、已知y=f (x)的數(shù)據(jù)如下求二次插值多項式尸式工) 及f (2.5)解:C2.5)2+|x2.5+l = 2.6667219N2)=瞿 二 工u =:，石"L %-14、設(shè)44(

27、1 )試求|_4 4上的三次 Hermite插值多項式H(x )使?jié)M足頊與)=1京。J= 0,12 H®) = /G)h (x)以升哥形式給出。(2)寫出余項 良(X)- H到-H(同的表達式(1)上5 +跑225450450251 g -上 1“919第四章數(shù)值積分一、填空題2 ,一， 一E ，1、求1 x dx ,利用梯形公式的計算結(jié)果為2.5,利用辛卜生公式的計算結(jié)果為2.333。2 . n次插值型求積公式至少具有 次代數(shù)精度。3 .梯形公式具有1次代數(shù)精度,n4 .插值型求積公式Ak f xkk 0n 次代數(shù)精度，如果Simpson公式有 3次代數(shù)精度。bf x的求積系數(shù)之和

28、 b-aan為偶數(shù)，則有n+1xdx 5、計算積分0.5，取4位有效數(shù)字。用梯形公式方t算求得的近似值為0.4268,用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為1,辛卜生公式的代數(shù)精度為3 。5 f (x)dx 6、已知f (1)=1, f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求 1=(12 )。7、設(shè) f (1)=1 , f (2)=2 ,f (3)=0 ,用三點式求 f (1)( 2.5)。1 exdx68、若用復(fù)化梯形公式計算0,要求誤差不超過10 ,利用余項公式估計，至少用 477個求積節(jié)點。f-的代數(shù)精度為2。則用辛普生(辛卜生)公式計算求得9、數(shù)值積

29、分公式1 f(x)dx-f( 1) 8f(0) 910、已知f1.0, f(2)1.2,f(3) 1.3,31 f(x)dx答案：2.367 , 0.2510、 數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值力，則由三點的求導(dǎo)公式，有J 、八砧=一十短)11、 對于n+1個節(jié)點的插值求積公式f后至少具有口次代數(shù)精度.機上人二、單項選擇題：1、等距二點求導(dǎo)公式f (x1)( A )。f(x1) f(xo)(A) x x0(B)fx0 x1(C) f(x。)f(x1)x0 x1(D) f(x) f(xo)x x02、在牛頓-柯特斯求積公式:bf(x)dxa式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)(n(b a)G

30、f(xi)(n)i 0中，當(dāng)系數(shù)Ci是負值時，公A )時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（A）n 8 ，（B）n7 ，（C）n 10 ，（D）n 6 ，三、問答題1. 什么是求積公式的代數(shù)精確度？如何利用代數(shù)精確度的概念去確定求積公式中的待定參數(shù)？如果當(dāng)答：一個求積公式為任意 m 次多項式時，求積公式精確成立，而當(dāng)為次數(shù)大于m次多項式時，它不精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精確度。根據(jù)定義只要令代入求積公式兩端，公式成立，得含待定參數(shù)的m+1個方程的方程組，這里 m+1為待定參數(shù)個數(shù)，解此方程組則為所求。四、計算題1、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的

31、代數(shù)精 確度.r小外界+即（川+仃解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。令f工）二L幾工”代入公式兩端并使其相等，得N + B + C=l百工1 + C* =-12B+C = -l 141-1 d 211=.A- - ,S - - ,C -解此方程組得2636,于是有心6326再/I得卜*RW號故求積公式具有3次代數(shù)精確度。，工）1 = 4“（- h） +4fS） -r Ajg）,解答Cl）求枳公式中含有三個待定參數(shù)，即Ar，A”.將 f（M）=1,工,丁分別代人求積公式，井令其左右相等.得A-i + 4 + 人=2人< -A（4_1 一 4） = 0haM_l +

32、&） =LJ解幅 At -4=2人人=孤/3.所求公式至少具有兩次代數(shù) U精確度,又由于工加工= 1（一.），+ 芻®）J f0Jf H*d工工（一%>，+ 5” J fa3故工dx 2/（一外+ “（0） +具有三次代數(shù)精 F £VJO確度,(3)解：令代入公式精確成立，得解得得求積公式故求積公式具有2 次代數(shù)精確度。解：本題雖然用到了A。，Ai, B。令 f (x)等，則得f (x)f (x)f (x)1, Ax, Ax2, A11；，求得1百2T1百1百，則有10 f (x)dxI f (0)再令f (x)它的代數(shù)精度為,此時2次1砥10dx4,而上式右

33、端9,兩端不相等,為求余項可將f (x) x10 f (x)dx f f (0)1 f當(dāng) f (x)x3, f '( x) 3)1 一代入上式得4 x3dx403代入求積公式H_1_1,1(1)看 f (0) kf (),22, f (x)6x, f (x)16 k ,即k 強，(0,1)6,7.所以余項 R ( f )* f '''(),(0,1)3、根據(jù)下面給出的函數(shù)sin xf (x) 的數(shù)據(jù)表，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛甫生公式 xxk0.0000.1250.2500.3750.500f(x k)10.997397840.989615840.976726

34、750.95885108xk0.6250.7500.8751.000f(x k)0.936155630.908851680.877192570.84147098計算I1 sin x , dx0 x1解 用復(fù)合梯形公式，這里n=8, h 0,125, 8sin xdx0.125 f(0) 2f (0.125) f (0.25)2f (0.375)f(0.5)f (0.625) f (0.75)f (0.875) f 1 1,2.求積公式 °f(x)dx A0 f (0) Af(1) B0 f (0),已知其余項表達式為'''R(f) kf ( ),(0,1),試

35、確定系數(shù)Ac,Ai,B0,使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出代數(shù)精度的次數(shù)及求積公式余項。f (0)的值，仍用代數(shù)精度定義確定參數(shù)1, x, x2,分別代入求積公式，令公式兩端相0.945690861用復(fù)合羊甫生公式：這里n=4, h 0.25,可得4sin x0.25dx f (0) 4f (0.125) f (0.375) x 6f (0.625) f (0.875) 2f (0.25) f (0.5) f (0.75) f (1)0.946083305（2）的代數(shù)精度盡量高，1 .1.f(x)dxA f (1)f(1)B f(-)f4、求A、B使求積公式exdx ., 一 、，一

36、的近似值（取四位小數(shù)），并求誤差估計。221I dx并求其代數(shù)精度；利用此公式求1 x （保留四位小數(shù)）。答案:f(x)21, x, x是精確成立，即2A2B2A9,b求積公式為11f(x)dx19f(1).8.1.1f(1) 8f( 2)f(2)當(dāng)f（x） x3時，公式顯然精確成立2x 3 111dt -1t 3913 13891/2 3 1 2 34當(dāng) f（x） x時，左=5 ,右=3。所以代數(shù)精度為3。970.692865、n=3,用復(fù)合梯形公式求01401exdx 解：0T310r 0e 2 31 32 3、1 ,2(e1 e' ) e 1.7342f(x) ex,f(x)(x

37、) | e|R| lex T3I12 32e 一0.0251080.05至少有兩位有效數(shù)字。6、（15分）用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化1Simpson公式）計算 0e xdx一一.時，試用余項估計其誤差。用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化RTf解：1h2f()112Simpson公式）計算出該積分的近似值。11e00.00130282768T(8)2f2 fd)k 1f(b)11 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207)0.367879470.63294347、(10分)已知數(shù)值積分公式為:f(x)dx 4

38、f(0) f(h)2 - ' _-'h f (0) f (h)八、山公山，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x) 1顯然精確成立;f(x)f(x)2x時，x時,hx2dxhxdx0h33h2h20 h h21 12 ;22h3uh h 0 2h萬 2 hf(x)x時，0hx3dxf(x)4x時,hx4dx0h3h4頡0朝03h24h3所以，其代數(shù)精確度為 3。I8、(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分1 sin xdx的近似值，要求誤差限為_ 50.5 10 。S16 f04f 20.94614588S24f2f4f0.946

39、0869312S215或利用余項:f(4)S20.39310-5S20.946086937 2!sin x9 4!3!5!7!9!2880n4f (4)2880 5n4(4)f x0.510 5n 2, IS239、(9分)數(shù)值求積公式 0f(x)dx -f(1)f(2)2是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少?x 2x 1口、p(x)f(1) f(2)解：是。因為f(x)在基點1、2處的插值多項式為122 1p(x)dx 3f(1)f(2)2-二dx0 1 2x22。其代數(shù)精度為1。1 2x210、(10分)取5個等距節(jié)點，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計算積分 的近似值(保留4

40、位小數(shù))。T40.51 2 (0.666667 0.333333 0.181818) 0.111111xi00.511.52f (xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(2分)(1)復(fù)化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5 ):解：5個點對應(yīng)的函數(shù)值f(x)0.868687(2)復(fù)化梯形公式(n=2,h=2/2=1 ):c 1S2 -1 4 (0.666667 0.181818) 2 0.333333 0.111111 60.86195311、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:.1xf x dx A0 fA1 f 12取f(x)=

41、1,x ,令公式準確成立，得:A0A1 A0Ai2, 2A03,A1f(x)=x 2時，公式左右 =1/4; f(x)=x 3時，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=212、證明定積分近似計算的拋物線公式，了小+4/()+出具有三次代數(shù)精度證明：當(dāng)/w=1時,dx =i> - a公式左邊:公式右邊:b - a,l+4+l-Z?-d左邊=右邊左邊:左邊:左邊:右邊:13、二x時時左邊:b- a/W具有三次代數(shù)精度右邊:右邊:b- a/ +2?3 = -左邊= 右邊左邊=右邊右邊:+ b左邊=右邊(5* * 4Am5 + &x 綺 i3 + 5b h試確定常數(shù)A, B,

42、C和巴使得數(shù)值積分公式二(-a) +型 &)+中 9)Gauss型的？有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為5 ,該數(shù)值求積公式具有 5次代數(shù)精確度,16第五章常微分方程 一、填空題1、求解一階常微分方程初值問題yf (x,y) , y(xo)=yo的改進的歐拉公式為0y n 1yn hf(Xn,yn)yn 1 yn hf(Xn,yn) f (Xn 1, yn2)2y f(x,y)2、解初值問題y(Xo) y0 的改進歐拉法yn 10y n 1yn hf(Xn,yn)Yn 工f(Xn,yn) f (Xn 1, ynR)2是2階方法。J y .3、解初始值問

43、題近似解的梯形公式是 尸肝1ftk總 +-/Uyjt) + 4% ji)4、解常微分方程初值問題y” = 1yLMQ=Jq 的梯形格式%+廣冬+,晨/%)+九1y域是'法、計算題1.用改進歐拉方法計算初值問題dy 2 X XVdX0x1,取步長h=0.1計算到、5。y(0) o解：改進的歐拉公式y(tǒng)n 1y n 1yn hf (Xn, yn)hyn f (Xn, yn) f (Xn 1, yn 1)2代入 f (x, y) X2 x y,且Xnnh,有2yn h(Xn0.11) (nXn yn)0,.1,2,3,4)h 22y n X n X n y n X n 1 X n 12 2yn

44、 0.05 (1.9Xn 2.1Xn-1.9ynxn 0.10.20.30.40.5yn 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.145002. 用梯形法初值問題取步長 h=0.1, 計算到x=0.5 ，并與準確：用梯形法求公式，得相比較解得精確解為y xy, 0x1 一 .3.用改進的Euler法解初值問題”;取步長h=0.1計算y 0.5y 01,確解y x 1 2ex相比較。（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后 4位）解：改進的尤拉公式為：yn 1 yn hf Xn , V.h rryn 1 yn - f Xn, ynf Xn 1, Vn 12代入f x, y x y和X

45、n nh ,有hyn 1 yn - 2 h xn2 h v. h22_2h 2h 2h2hyn - nh 2nh 222代入數(shù)據(jù)，計算結(jié)果如下：n012345Xn00.10.20.30.40.5yn11.11001.24211.39851.58181.7949y(X n)11.11031.24281.39971.58361.79744.設(shè)初值問題y x2 100y, y 00 ,a）由Euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數(shù)值解的公式；b）由改進Euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數(shù)值解的公式。解：a）根據(jù) Euler 公式：yn 1 yn hf xn,yn2Vn 1 yn hf Xn 100%2yn 1 11yn 0.001n3 分b）根據(jù)改進Euler公式:yn 1yn 1yn hf Xn , ynh r