小學(xué)奧數(shù)計(jì)數(shù)題庫(kù)計(jì)數(shù)之歸納法.題庫(kù)版

1、7- 6-1,計(jì)數(shù)之歸納法.題庫(kù)教師版page 5 of 57-6-1.計(jì)數(shù)之歸納法削M蚱 教學(xué)目標(biāo)前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時(shí)已經(jīng)穿插講解了計(jì)數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹 形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計(jì)數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納 法、整體法、對(duì)應(yīng)法、遞推法.對(duì)這些計(jì)數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用.國(guó)Me 例題精講從條件值較小的數(shù)開始，找出其中規(guī)律，或找出其中的遞推數(shù)量關(guān)系，歸納出一般情況下的數(shù)量關(guān)系.【例1】 如圖所示，在2X2方格中，畫一條直線最多穿過 3個(gè)方格；在3X3方格中，畫一條直線最多穿過 5 個(gè)方可知；那么在 5X5方格中，畫一

2、條直線，最多穿過 個(gè)方格?！究键c(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，四年級(jí)，復(fù)賽，第14題，6分【解析】邊長(zhǎng)每多1,穿過的方格多2,那么5X5的最多穿過3+2+2+2=9個(gè)方格【答案】95條直線最多分這個(gè)平面例2 一條直線分一個(gè)平面為兩部分.兩條直線最多分這個(gè)平面為四部分.問 為多少部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】3星【題型】解答平面分成2+2+3+4+ n= n（n +1）+1個(gè)部分.2方法二：如果已有 k條直線，再增加一條直線，這條直線與前k條直線的交點(diǎn)至多 k個(gè)，因而至多被分成k+1段，每一段將原有的部分分成兩個(gè)部分，所以至多增加k+1個(gè)部分.于

3、是3條直線至多將平面分為4+3=7個(gè)部分，4條直線至多將平面分為 7+4=11個(gè)部分，5條直線至多將平面分為 11+5=16 個(gè)部分.般的有k條直線最多將平面分成：1+1+2+ k= k(k+1)+i個(gè)部分，所以五條直線可以分平面為216個(gè)部分.【答案】16 【鞏固】平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上 100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分?【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】 假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分?jǐn)?shù)，這里k= 0, 1, 2,ao= 1a1=ao+1 = 2a2=a1 + 2=4a3=az + 3=7a4=a3+4= 11故5條直線可

4、以把圓分成 16部分，100條直線可以把圓分成 5051部分【答案】5051部分 【例3】平面上10個(gè)兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域?【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】先考慮最簡(jiǎn)單的情形.為了敘述方便，設(shè)平面上k個(gè)圓最多能將平面分割成 ak個(gè)部分.從圖中可以看出，a =2, a2=4=2+2M1, a3=8=4+2(k-1)個(gè)交點(diǎn)，如下圖:這2M(k-1)個(gè)交點(diǎn)把第k個(gè)圓分成了 2M(k-1)段圓弧，而這2M(k-1)段圓弧中的每一段都將所在的區(qū)域一分為二，所以也就是整個(gè)平面的區(qū)域數(shù)增加了2M(k -1)個(gè)部分.所以，ak =ak=+2(k -1).刃B么，研。=a

5、9 2 9 =% 2 8 2 9 =a7 2 7 2 8 2 9 Mlllll-a1 2 1 2 2 . 2 7 2 8 2 9=2 +2 父（1 +2 +7 +8 +9 ）=92 .故10個(gè)圓最多能將平面分成 92部分.【答案】92例410個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成 an個(gè)部分.n=1 時(shí)，ai=2；n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有2x3=6 （個(gè)）交點(diǎn).這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個(gè)部分分成 2個(gè)部分，從而平

6、面也增加了 6個(gè)部分，即a2 =2+2x3.n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4父3=12 （個(gè)）交點(diǎn)，從而平面也增加了 12個(gè)部分，即：a3 =2 +2 父3 +4X3 . 一般地，第n個(gè)三角形與前面（n-1價(jià)三角形最多有2 （n-1產(chǎn)3個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加2（n-1不3個(gè) 部分，故 an =2+2父3+4父3 + 惘+2小一1爐3=2 + -2+4+|+261）13 = 3n23n+2 ;特別地，當(dāng)n=10時(shí)，a10 =3父102十3M10+2 =272 ,即10個(gè)三角形最多把平面分成 272個(gè)部分.【答案】272【例5 一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長(zhǎng)方形最多把平面分成

7、多少部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分.第二個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多把第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部分成2部分，這樣第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至多被第二個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分. 同理，第二個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至少被第一個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分.這兩個(gè)長(zhǎng)方形有公共部分（如下圖，標(biāo)有數(shù)字9的部分）.還有一個(gè)區(qū)域位于兩個(gè)長(zhǎng)方形外面，所以兩個(gè)長(zhǎng)方形至多把平面分成10部分.第三個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多與前兩個(gè)長(zhǎng)方形中的每一個(gè)的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小 線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部的某一部分一分為二，所以至多增加3X4=12個(gè)部分.而第三個(gè)長(zhǎng)方形的 4個(gè)頂

8、點(diǎn)都在前兩個(gè)長(zhǎng)方形的外面，至多能增加4個(gè)部分.所以三個(gè)長(zhǎng)方形最多能將平面分成10+12+4=26 .【小結(jié)】n個(gè)圖形最多可把平面分成部分?jǐn)?shù)：直線：i+吧2三)；2圓：2 +n x(n 1三角形：2 +3xn M(n 1 );長(zhǎng)方形：2+4Mnx(n1).【答案】26【例6】在平面上畫5個(gè)圓和1條直線，最多可把平面分成多少部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】5星【題型】解答【解析】先考慮圓.1個(gè)圓將平面分成2個(gè)部分.這時(shí)增加1個(gè)圓，這個(gè)圓與原有的 1個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，成為2條弧，每條弧將平面的一部分一分為二，增加了2個(gè)部分，所以2個(gè)圓最多將平面分成 4個(gè)部分.當(dāng)有3個(gè)圓時(shí)，第3個(gè)圓與原有的2個(gè)產(chǎn)

9、生4個(gè)交點(diǎn)而增加4個(gè)部分，所以3個(gè)圓最多將平 面分成8個(gè)部分.同樣的道理，5個(gè)圓最多將平面分成 22個(gè)部分.再考慮直線.直線與每個(gè)圓最多有 2個(gè)交點(diǎn)，這樣與5個(gè)圓最多有10個(gè)交點(diǎn).它們將直線分成 11 條線段或射線，而每條線段又將平面的一部分一分為二，2條射線增加了一部分，因此 5個(gè)圓和1條直線最多可將平面分成 32個(gè)部分.【答案】32【例7】 在一個(gè)西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成多少片？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】將西瓜看做一個(gè)球體，球體上任意一個(gè)切割面都是圓形，所以球面上的切割線是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片.當(dāng)切1刀時(shí)，瓜皮被切成兩份，當(dāng)切第 2刀時(shí)

10、，由于切割線相交，所以瓜皮被切成4分，切第n次時(shí)，新增加的切割線與原來的切割線最多有 2(n-1)個(gè)交點(diǎn).這 些交點(diǎn)將第n條切割線分成2 (n-1 )段，也就是說新增加的切割線使瓜皮數(shù)量增加了2(n-1),所以在西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成 1+1+2父1 +2M2+2父3 + 2父4+2父5 = 32片.【答案】32【例8】 在一大塊面包上切 6刀最多能將面包切成多少塊.(注：面包是一個(gè)立體幾何圖形，切面可以是任何方向)【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法【難度】5星【題型】解答【解析】題目相當(dāng)于6個(gè)平面能將空間劃分為多少個(gè)部分.通過找規(guī)律來尋找遞推關(guān)系，顯然的1個(gè)平面能將空間劃分成 2塊，2個(gè)平面能將空間劃分成 4塊，3個(gè)平面能將空間劃分成 8個(gè)平面，當(dāng)增加到第四個(gè)平面時(shí)，第四個(gè)平面這能將原來空間中的8個(gè)部分中的其中幾個(gè)劃分.如圖：注意到第四個(gè)平面與其他三個(gè)平面相交形成3條直線，這三條直線將第四個(gè)平面分割成7個(gè)部分，而每一部分將原來三個(gè)平面劃分的8個(gè)空間中的7個(gè)劃分成兩份，所以4個(gè)平面能將空間劃分成8+7 =15個(gè)部分.同樣的第五個(gè)平面與前四個(gè)平面分別相交成4條直線，這四條直線能