高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3第2課時組合的應(yīng)用學(xué)案蘇教版選修2_3

1、第2課時組合的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題.2.能解決有限制條件的組合問題.Q問題導(dǎo)學(xué)1知識點(diǎn)組合的特點(diǎn)思考組合的特征有哪些？梳理(i)組合的特點(diǎn)是只取不排組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，即從 n個不同的元素中進(jìn)行次不放回地取出.(2)組合的特性元素的無序性，即取出的 m個元素不講究順序，沒有位置的要求.(3)相同的組合根據(jù)組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合.類型一 有限制條件的組合問題例1男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動員3

2、名，女運(yùn)動員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動員；(3)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員.-3 -反思與感悟(1) 解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)(2) 要注意兩個基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類和分步時，一定要注意有無重復(fù)或遺漏跟蹤訓(xùn)練1 在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12 人通過了初試，學(xué)校要從中選出5 人參加市級培訓(xùn)在下列條件下，有多少種不同的選法？(1) 任意選 5 人；(2) 甲、乙、丙三人必須參加；(3) 甲、乙、丙三人不能參加；(4) 甲、乙、丙三人只能有1 人參加類

3、型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于 A, B的六個點(diǎn)C, G,，C,線段AB上有 異于A， B 的四個點(diǎn)D1， D2， D3， D4.(1)以這10個點(diǎn)中的3個點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個三角形？其中含G點(diǎn)的有多少個?(2)以圖中的12個點(diǎn)(包才A, B)中的4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個四邊形？反思與感悟(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.(2)在處理幾何問題中的組合問題時，應(yīng)將幾何問題抽象成組合問題來解決.跟蹤訓(xùn)練2空間中有10個點(diǎn)，其中有5個點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共 面，則以這

4、些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為 .類型三分組、分配問題命題角度1 不同元素分組、分配問題例3 有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1)分成三組，每組分別有 1本，2本，3本；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人 1本，一個人2本，一個人3本；分成三組，每組都是 2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人 2本.反思與感悟分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等.部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，若有n組均勻，最后必須除以 n!.完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題.分

5、配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.跟蹤訓(xùn)練3某賓館安排 A B、C 口 E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A, B不能住同一房間，則不同的安排方法有 種.命題角度2相同元素分配問菽廠例4 將6個相同的小球放入 4個編號為1,2,3,4 的盒子，求下列方法的種數(shù).(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子.反思與感悟相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒” .每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元

6、素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給 m個不同的對象(n> m),有Cm-1種方法.可描述為n1個空中插入 m- 1塊板.跟蹤訓(xùn)練4某同學(xué)有同樣的畫冊 2本，同樣的集郵冊 3本，從中取出4本贈送給4位朋友， 每位朋友1本，則不同的贈送方法共有 種.ET當(dāng)堂訓(xùn)練1 .甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從 4門課程中，甲選修 2門，乙、丙各選修 3門，則不同 的選修方案共有 種.2 .把三張游園票分給 10個人中的3人，分法有 種.3 .某食堂每天中午準(zhǔn)備 4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒

7、飯.則每天不同午餐的搭配方法共有 種.4 .直角坐標(biāo)平面 xOy上，平彳T直線 x=n(n= 0,1,2 ,，5)與平行直線y=n(n= 0,1,2 ,，5)組成的圖形中，矩形共有 個.5 .要從12人中選出5人參加一次活動，其中 A, B, C三人至多兩人入選，則有 種 不同選法.卜T規(guī)律與方法-1 .無限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟判斷.(2)轉(zhuǎn)化.(3)求值.(4)作答.2 .有限制條件的組合應(yīng)用題的分類(1) “含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除

8、法.解題時要注意分清“有且僅有” “至多” “至少” “全是” “都 不是” “不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).-5 -(2) 幾何中的計(jì)算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面 及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決(3) 分組、分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同， 是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的- 7 -答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)思考 組合取出的元素是無序的題型探究例1解（1）第一步：選3名男運(yùn)動員，有 C3種選法；第二步：選 2名

9、女運(yùn)動員，有 C4種選 法，故共有C3C2 = 120（種）選法.（2） 方法一（ 直接法 ）“至少有 1 名女運(yùn)動員”包括以下幾種情況， 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男由分類計(jì)數(shù)原理知共有 c4 - c4+ C2 - c3+ C4 - c6+ C4 - c 6= 246（種）選法.方法二（ 間接法 ）不考慮條件，從10人中任選5人，有C50種選法，其中全是男運(yùn)動員的選法有C6種，故“至少有1名女運(yùn)動員”的選法有 C50C5=246（種）.（3）當(dāng)有女隊(duì)長時，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長時，必選男隊(duì)長，共有d種選法，其中不含女運(yùn)動員的選法有C種

10、，故不選女隊(duì)長時共有 C4-d種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動員的選法共有 C9+ C4 c4= 191（種）.跟蹤訓(xùn)練1解（1）從中任取5人是組合問題，共有 C52 = 792（種）不同的選法.（2）甲、乙、丙三人必須參加，則只需從另外9人中選2人，是組合問題，共有 d=36（種）不同的選法（3）甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C5= 126（種）不同的選法.（4） 甲、乙、丙三人只能有1 人參加，可分為兩步：先從甲、乙、丙中選1 人，有C31 種選法，再從另外9人中選4人，有C4種選法，共有 C<9= 378（種）不同的選法.例2 解（1）方法一 可作出三角形

11、d+c6 - c2 + c6 - c4= 116（個）.方法二 可作三角形 C30C4= 116（個），其中以。為頂點(diǎn)的三角形有 C5+C1 C；+C2=36（個）.可作出四邊形 C4+C3 - C1+C2 - C 2= 360（個）.跟蹤訓(xùn)練2 205解析 方法一可以按從共面的5 個點(diǎn)中取0 個、 1 個、 2 個、 3 個進(jìn)行分類，則得到所有的取法總個數(shù)為 C0C4 + C5C5+C5C5+ CCU 205.方法二從 10 個點(diǎn)中任取4 個點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4 個點(diǎn)全部取自共面的5 個點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為應(yīng)C5= 205.例3解（1）分三步：先選一本有 C6種選法，再從余下的

12、 5本中選兩本有C2種選法，最后余下的三本全選有 C3種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有 （2）由于甲、乙、丙是不同的三個人，在 （1）問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問題.因此，分配方式共有 C6 , C 2 , C3 , a3 = 360（種）.（3）先分三組，有C2dc2種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A, B, C, D, E, F,若第一組取了A,B,第二組取了C,D,第三組取了E,F,則該種方法記為（ABCDEF）,但C2dc2種分法中還有（AB EF, CD, （CD AB EF） , （CD EF AB, （EF CD AB, （EF, AR, c6 - c4 - C

13、2CD,共a3種情況，而這 A3種情況只能作為一種分法，故分配方式有一A3一 = 15（種）.222 在（3）的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式- A3 = 90（種）.跟蹤訓(xùn)練3 114解析 5個人住三個房間，每個房間至少住1人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩種.當(dāng)為（3,1,1）時，有 C3A3=60（種），A, B住同一房間有 C3A3=18（種），故有 6018 = 42（種）.,02023一.、一、一 ,1 2 2一.一.當(dāng)為（2,2,1）時，有天- A3 = 90（種），A, B住同一房間有 C1CA2=18（種），故有90 18= 72（種）.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有42+ 72

14、= 114（種）.例4 解（1）先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C3=10（種）.（2）恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|,有C2種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|00|,有C4種插法，故共有 C5 - C4= 40（種）.（3）恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有 C5種插法，如|00|0000| ,然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如|00|0000|,有C2種插法.將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|0000|,有C3種插法.故共有 C5 （C3+ C1） =30（種）.跟蹤訓(xùn)練4 10解析 第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊