高三數(shù)學(xué)第37講

1、高三數(shù)學(xué)第37講主 講：省特級(jí)教師、省首批名教師、金陵中學(xué) 金立建續(xù)前，本講為怎樣解應(yīng)用題（下）(四)最優(yōu)化設(shè)計(jì) 例 7 有一種變壓器， 鐵芯的截面呈正十字形，如圖371所示為保證所需的磁通量，要求正十字形的面積為4cm2，為了使用來(lái)繞鐵芯的銅線(xiàn)最省，即正十字形的外接圓周長(zhǎng)最短，應(yīng)如何設(shè)計(jì)正十字形的的長(zhǎng)和寬？ 圖 371 解 如圖371，設(shè)正十字形寬AB為x，長(zhǎng)DG為y，其外接圓直徑DHd，正十字形的面積為S，外接圓周長(zhǎng)為C.依正十字形的對(duì)稱(chēng)性知Sxyx(yx)2xyx2d 2x2y2Cp d由得 y，代入得d 2x2()2x2x2 即 d 2x2 由知，要使最小，只須d達(dá)到最小注意 x0，S

2、4，由有d 2x22 (1)102.其中等號(hào)成立的條件是，即x416，亦即 x2(cm).此時(shí) y1，dmin，Cminp(cm).所以，當(dāng)正十字形鐵芯寬為2cm，長(zhǎng)為（1）cm時(shí)，其外接圓周長(zhǎng)最短，所用繞線(xiàn)（銅線(xiàn)）最省注 這里繞線(xiàn)最省轉(zhuǎn)化為其外接圓周長(zhǎng)最短，又轉(zhuǎn)化為直徑最短，繼而抓住設(shè)計(jì)變量x，y的限制條件（S4）來(lái)求解，這是解最值數(shù)學(xué)模型的常用思想方法例8 商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái)，每批都購(gòu)入x臺(tái)（x是正整數(shù)），且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元貯存購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值（不含運(yùn)費(fèi)）成正比若每批購(gòu)入400臺(tái)，全年需用去運(yùn)輸和保管費(fèi)用共4

3、3600元現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費(fèi)用，請(qǐng)問(wèn)：能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量使資金夠用？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由解 本題應(yīng)用性與探索性兼?zhèn)?，可從閱讀理解、建?；瘹w入手依題意，當(dāng)每批購(gòu)入x臺(tái)時(shí)，全年需用保管費(fèi)S2000x·k. 全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用為y·4002000x·k， x400時(shí)，y43600，代入上式得k， y100x224000.當(dāng)且僅當(dāng)100x即x120臺(tái)時(shí)，y取最小值24000元 只要安排每批進(jìn)貨120臺(tái)，便可使資金夠用例9 某工廠擬建一座平面為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池（圖372），由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)1

4、6米如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻造價(jià)為每米248米，池底建造單價(jià)為80元平方米，池壁的厚度忽略不計(jì)，若設(shè)污水處理池AB長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為y.(1)求用x表示y的解析式；(2)求y的最小值，并求出此時(shí)AB、CD的長(zhǎng) 解 (1) ABx米， CD米y400(2x2·)248··280·200 800(x)16000 圖 372 由題設(shè)， 0x16， 016， （12x16） y800(x)16000 （12x16）(2)設(shè) 12.5x1x216，則y(x1)y(x2)800(x1x2)324() 800(x1x2)(1). x1x216

5、2324， y(x1)y(x2)0. yy(x)在12.5，16上為減函數(shù) yy(16)800(16) 1600045000(元) 最低總造價(jià)為45000，此時(shí)AB16米，CD12.5米評(píng)析 若由y800(x)16000800·216000288001600044800，則將得到一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論因?yàn)樯鲜霾坏仁降忍?hào)成立的條件是x, x18，與題設(shè)條件不符故解應(yīng)用題時(shí)，還應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)字母或自變量的制約條件，否則將導(dǎo)致不合題意的解例10 機(jī)動(dòng)車(chē)通過(guò)大橋，為了安全，同一股道上前后相鄰的兩輛車(chē)的間距不得小于klv2（米）,其中v(千米時(shí))是車(chē)速，l(米)是平均本身長(zhǎng)度，k為比例系數(shù)經(jīng)測(cè)定：車(chē)

6、速為60千米時(shí) 時(shí)，安全車(chē)距為9l米(1)規(guī)定怎樣的車(chē)速可使用一股道上的車(chē)流量最大？（車(chē)流量即單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)）(2)設(shè)過(guò)橋的車(chē)輛平均車(chē)身長(zhǎng)為5米，求同一股道上每小時(shí)最大車(chē)流量解 設(shè)安全車(chē)距為d米，車(chē)流量為Q輛時(shí),由v60，d9l 得 k，取k.則 Q .(1)上述不等式當(dāng)且僅當(dāng) kv時(shí)等號(hào)成立 v2400， v20(千米時(shí))(2)當(dāng)l5時(shí)，Q 2000故當(dāng)v20千米時(shí)，車(chē)流量最大；當(dāng)車(chē)身平均長(zhǎng)為5米時(shí)，每小時(shí)最大車(chē)流量為2000輛（五）關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，由于同每個(gè)公民的生活息息相關(guān)，因而常常受到命題者的青睞.人口問(wèn)題、生態(tài)環(huán)境問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題、黑哨問(wèn)題、買(mǎi)房買(mǎi)車(chē)、信貸問(wèn)題等等

7、,都應(yīng)該予以關(guān)注和了解.例11（2003 北京春季招生）某租賃公司擁有汽車(chē)100輛，當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛，租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)200元.() 當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車(chē)?() 當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大? 最大月收益是多少元?解 () 當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為 所以這時(shí)租出了88輛車(chē).() 設(shè)每輛車(chē)的月租金定為x元,則租賃公司的月收益為 當(dāng)x=4100時(shí), f(x)最大,最大值為f(4100)=304200. 即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4100

8、元時(shí)，租賃公司的月收益最大, 最大月收益是304200元.例12（2002 全國(guó)）某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少萬(wàn)輛？解 設(shè)2001年末汽車(chē)保有量為b1萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為b2萬(wàn)輛，b3萬(wàn)輛, 每年新增汽車(chē)x萬(wàn)輛，則b1=30, b2=b1×0.94+x. 對(duì)于n>1,有bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+(1+0.94)x,bn+1=b1×0.94n+x(1+

9、0.94+0.942+0.94n-1)=b1×0.94n+=當(dāng)0,即x1.8時(shí)，bn+1bnb1=30.當(dāng)即x>1.8時(shí)，并且數(shù)列逐項(xiàng)增加，可以任意靠近依題意，bn60(n=1,2,3,).由得x3.6萬(wàn)輛.答：每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)60萬(wàn)輛.例13沿某大街在甲、乙、丙三個(gè)地方設(shè)有紅、綠燈交通信號(hào)，汽車(chē)在甲、乙、丙三個(gè)地方通過(guò)（即通過(guò)綠燈）的概率分別為，對(duì)于該大街上行駛的汽車(chē)，求：（）在三個(gè)地方都不停車(chē)的概率；（）在三個(gè)地方都停車(chē)的概率；（）只在一個(gè)地方停車(chē)的概率 解（1）；（2）； (3).來(lái)自實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題千姿百態(tài)，遠(yuǎn)非上述幾個(gè)典型問(wèn)題所能包容、代表，因而解應(yīng)用題切忌死

10、套題型，而應(yīng)重在理解題意，在“通”文理，“明”事理的基礎(chǔ)上，著重分析題中所涉及的量與量之間的關(guān)系（等或不等關(guān)系）從而建立數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決之練 習(xí) 1.(2002 上海)在某次花樣滑冰比賽中,發(fā)生裁判受賄事件,競(jìng)賽委員會(huì)決定裁判由原來(lái)的9名增加到14名,但只取其中7名裁判的評(píng)分作為有效分.若14名裁判中有2人受賄,則有效分中沒(méi)有受賄的評(píng)分的概率是 .(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)ABCDPQRS l2. 某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.50元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最少，且資費(fèi)恰為7.50元，則至少要購(gòu)買(mǎi)_張郵票.3. 如圖37-3,A、B、

11、C、D是某煤礦的四個(gè)采煤點(diǎn)，l是公路，圖中所標(biāo)線(xiàn)段為道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形. 已知A、B、C、D四個(gè)采煤點(diǎn)每天的采煤量之比約為5：1：2：3，運(yùn)煤的費(fèi)用與運(yùn)煤的路程、所運(yùn)煤的重量都成正比.現(xiàn)要 圖37-3從P、Q、R、S中選出一處設(shè)立一個(gè)運(yùn)煤中轉(zhuǎn)站，使四個(gè)采煤點(diǎn)的煤運(yùn)到中轉(zhuǎn)站的費(fèi)用之和最少，則地點(diǎn)應(yīng)選在 處.4.為了保護(hù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司 要在拆遷地長(zhǎng)方形ABCD（如圖374）上規(guī) 劃出一塊長(zhǎng)方形地面建造住宅小區(qū)公園（公園 的一邊落在CD上），但不能越過(guò)文物保護(hù)區(qū) AEF的紅線(xiàn)EF，問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公園占地面 積最大？并求出最大面積（已知ABCD200m，

12、 BCAD160m，AE60m，AF40m） 圖 3745.某農(nóng)場(chǎng)有毀壞的豬圈一座，留有舊墻一堵長(zhǎng)12米，現(xiàn)在準(zhǔn)備在該地重新建豬圈， 平面圖形為矩形，面積為112平方米，工程條件是：修1米舊墻的費(fèi)用是1米 新墻費(fèi)用的25%；拆去舊墻1米用來(lái)造1米新墻的費(fèi)用是造1米新墻的費(fèi)用的50%. 問(wèn)：施工人員該如何利用舊墻最節(jié)省？6.某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限1 人，每天只限一次，某班有48名同學(xué)，教師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購(gòu) 買(mǎi)若干張游泳卡外，每次還要包一輛汽車(chē)，無(wú)論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車(chē)費(fèi) 均為40元若使每個(gè)同學(xué)游8次，那么購(gòu)買(mǎi)幾張游泳卡最合算

13、？每人最少交多少 錢(qián)？7. 某家用電器的生產(chǎn)廠家根據(jù)其產(chǎn)品在市場(chǎng)上的銷(xiāo)售情況，決定對(duì)原來(lái)以每件2000元出售的一種產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)價(jià)，并按新單價(jià)的八折優(yōu)惠銷(xiāo)售，結(jié)果每件產(chǎn)品仍可獲得實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)20%的利潤(rùn)。已知該產(chǎn)品每件的成本是原銷(xiāo)售單價(jià)的60%。（I）求調(diào)整后這種產(chǎn)品的新單價(jià)是每件多少元？讓利后的實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)是每件多少元？（）為使今年按新單價(jià)讓利銷(xiāo)售后的利潤(rùn)總額不低于20萬(wàn)元，今年至少應(yīng)銷(xiāo)售這種產(chǎn)品多少件？（每件產(chǎn)品利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)-每件產(chǎn)品的成本價(jià)） 8. 用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一批總價(jià)為2300萬(wàn)元的住房，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天首付300萬(wàn)元，以后每月的這一天都交100萬(wàn)元，并加付此前欠款的利息，設(shè)月利率

14、為1%。若首付300萬(wàn)元之后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少萬(wàn)元？全部貸款付清后，買(mǎi)這批房實(shí)際支付多少萬(wàn)元？9.某隧道橫斷面由拋物線(xiàn)及矩形的三邊組成，尺寸如圖385(見(jiàn)答案部分).某卡車(chē) 空車(chē)時(shí)，能通過(guò)此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車(chē)與箱共高4.5米，此車(chē)能 否通過(guò)此隧道？說(shuō)明理由10.某地山區(qū)有一座水庫(kù)，設(shè)計(jì)最大容量為256000m3，根據(jù)預(yù)測(cè)，山區(qū)在雨季時(shí)水庫(kù) 的來(lái)水量Sn（單位：m3）與天數(shù)n(nN)的關(guān)系是：Sn10000（n10）. 水庫(kù)原有水量為160000m3，水閘泄水量每天8000m3.若7月雨季時(shí)，在大雨的第 一天就開(kāi)始泄洪，問(wèn)一周內(nèi) (7

15、天)會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（水庫(kù)水量超過(guò)最 大庫(kù)容量，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)）答 案 與 提 示1. 2.8 3.Q點(diǎn)4.解 設(shè)矩形公園長(zhǎng)為x m，寬為y m，面積為S m2，此矩形面積最大時(shí)必有一頂點(diǎn)落在 EF上，設(shè)此頂點(diǎn)為G，過(guò)G作GHAB交AD于H，則GH200x，F(xiàn)HDH DFy120. 由FH:FAGH:EA可得 y. Sxyx··2x·(7602x)()2， 當(dāng)且僅當(dāng)2x7602x即x190，從而y時(shí)S最大于是當(dāng)所設(shè)計(jì)的矩形 公園以C為頂點(diǎn)、一邊落在CD上且長(zhǎng)為190m，寬為m時(shí)，有最大面積，且 最大面積為m2.5. 解 設(shè)保留舊墻x米，建1米新墻費(fèi)用為a

16、元，則總造價(jià)為：y25%·x·a(12x) · 50%·ax·2(12x)aa(6)（0x12），由基本不等式知，當(dāng)x811.3米時(shí)費(fèi)用最節(jié)省6.設(shè)買(mǎi)x張游泳卡，則游泳活動(dòng)總開(kāi)支為y·40240x240(x)3840， 當(dāng)且僅當(dāng)x即x8時(shí)最合算，每人最少交錢(qián)80元7. （I）解 設(shè)每件產(chǎn)品的新單價(jià)是x元.由已知，該產(chǎn)品的成本是2000×60%=1200（元）.由題意：x·80%-1200=20%·80%·x ,解得x=1875（元）.80%·x=1500（元）.所以，該產(chǎn)品調(diào)價(jià)后的新單價(jià)是每件1875元，讓利后的實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)是每件1500元.（）解 設(shè)全年至少應(yīng)銷(xiāo)售這種電子產(chǎn)品m件，則由題意，m（1500-1200）200000，解得. mN, m最小值應(yīng)為667（件）.所以，全年至少售出667件，才能使利潤(rùn)總額不低于20萬(wàn)元.8. 解 購(gòu)買(mǎi)時(shí)付款300萬(wàn)元，則欠款2000萬(wàn)元，依題意分20次付清，則每次交付欠款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列， 故（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）（萬(wàn)元） （萬(wàn)元）因此是首項(xiàng)為120，公差為-1的等差數(shù)列，故（