垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、垂徑定理（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)蘭甲明【教學(xué)內(nèi)容】§ 7. 3垂徑定理（初三幾何課本 P76P78）【教學(xué)目標(biāo)】1 .知識(shí)目標(biāo)：通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性;掌握垂徑定理，理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問(wèn)題;掌握輔助線的作法一一過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段。2. 能力目標(biāo)：通過(guò)定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力;向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3. 情感目標(biāo)：結(jié)合本課教學(xué)特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育和美育滲透;激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和欲望。【教學(xué)重點(diǎn)】垂徑定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】垂徑定理的證明?！窘虒W(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法

2、?！窘叹邷?zhǔn)備】自制的教具、自制課件、實(shí)物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)。【教學(xué)設(shè)計(jì)】、實(shí)例導(dǎo)入，激疑引趣1. 實(shí)例：同學(xué)們都學(xué)過(guò)中國(guó)石拱橋這篇課文（初二語(yǔ)文第三冊(cè)第一課茅以升）,其中介紹了我國(guó)隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙/縣（古稱趙州）而得名，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被精選范本2.導(dǎo)入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦AB的距離,（圖1）譽(yù)為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當(dāng)時(shí)世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的創(chuàng)造智慧。也叫弓咼）為7.2米。請(qǐng)冋：橋拱的 半徑（即AB所在圓的半徑）是多少?通過(guò)本

3、節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將能很容易解決這一問(wèn)題。二、嘗試誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理1復(fù)習(xí)過(guò)渡: 如圖2(a)，弦AB將O 0分成幾部分？各部分的名稱是什么？ 如圖2(b)，將弦AB變成直徑，O 0被分成的兩部分各叫什么?在圖2(b)中，若將O 0沿直徑AB對(duì)折，兩部分是否重合?aGbGF (a)(b)(圖2)(a)DA (b)(圖3)BD A (c)2. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證:讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的一張圓形紙片沿任一直徑對(duì)折，觀察兩部分是否重合；教師用電 腦演示重疊的過(guò)程。從而得到圓的一條基本性質(zhì)一一圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的任意一條直線(或直徑所在的直線)都是它的對(duì)稱軸。3. 運(yùn)動(dòng)變換:如圖3(a), AB、CD是O 0的兩條直徑

4、，圖中有哪些相等的線段和相等的弧?如圖3(b)，當(dāng)AB丄CD時(shí)，圖中又有哪些相等的線段和相等的弧?如圖3(c)，當(dāng)AB向下平移，變成非直徑的弦時(shí)，圖中還有哪些相等的線段和相 等的??？此外，還有其他的相等關(guān)系嗎?CD是圓0的直徑(板書)4. 提出猜想：根據(jù)以上的研究和圖 3(c)，我們可以大膽提出這樣的猜想一一 fAE=BD二AC = bCCD丄弦AB,垂足為EJ C CAD = BD5. 驗(yàn)證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對(duì)折，這條特殊直徑兩側(cè)的圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為一一垂直于弦的直徑。三、引導(dǎo)探究，證明定理1. 引導(dǎo)證明:猜想是否正確，還有待于證明。引導(dǎo)學(xué)

5、生從以下兩方面尋找證明思路。證明“ AE=BE ”，可通過(guò)連結(jié)0A、0B來(lái)實(shí)現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對(duì)稱性證明。2. 歸納定理：根據(jù)上面的證明，請(qǐng)學(xué)生自己用文字語(yǔ)文進(jìn)行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3鞏固定理：在下列圖形(如圖4(a)(d)中，AB是O 0的弦，CD是O 0的弦，它們是否適用 于“垂徑定理”？若不適用，說(shuō)明理由；若適用，能得到什么結(jié)論。C(b)E是AB中點(diǎn)aCDB（d）OE丄 AB 于 ED(a)AB 丄 CD 于 E（圖4）向?qū)W生強(qiáng)調(diào):(1)定理中的兩個(gè)條件

6、缺一不可；定理的變式圖形。四、例題示范，變式練習(xí)1. 運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算。例1如圖5,在O O中，若弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心0到AB的距離為3cm, 求O 0的半徑。分析：因?yàn)橐阎皥A心 0到AB的距離為3cm”，所以要作 輔助線0E丄AB ;因?yàn)橐蟀霃?，所以還要連結(jié) 0A。（圖5）（圖6）解：(略)學(xué)生口述，教師板書。變式一在圖5中，若O 0的半徑為10cm，0E=6cm，則AB=思考一：若圓的半徑為R, 條弦長(zhǎng)為a,圓心到弦的距離為d， 則R、a、d三者之間的關(guān)系式是。變式二如圖6,在O 0中，半徑0C丄AB，垂足為E,若 CE=2cm, AB=8cm，則O 0 的半徑=思考二：你能解決本

7、課一開(kāi)始提出的問(wèn)題嗎？(由學(xué)生口述方法)2. 運(yùn)用定理進(jìn)行證明例2已知：如圖7,在以0為圓心的兩個(gè)同心圓中， 大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。（圖7）求證：AC = BD。分析：證明兩條線段相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明?(證明 OACOBD 或證明 OADOBC)此外，還有更簡(jiǎn)捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？(垂徑定理)證法一：連結(jié)OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”證明。證法二：過(guò)點(diǎn)O作OE丄AB于E,用“垂徑定理”證明。（詳見(jiàn)課本P77例2） 注1:通過(guò)兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。注2:輔助線“過(guò)圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關(guān)鍵，也是常用輔助線。 思考：在圖

8、7中，若AC=2 , AB=10,則圓環(huán)的面積是變式一若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件，才能保證AC=BD ?變式二若將圖7中的小圓隱去，還需什么條件，才能保證AC=BD ?變式三將圖7變成圖8 （三個(gè)同心圓），你可以證明哪些線段相等？例3（選講）如圖9, RtAABC中，/ ACB = 90°（圖8）D斜邊AB于D，求AD的長(zhǎng)。（答案：2）略解：過(guò)點(diǎn)C作CE丄AB于E,先用勾股定理求得（圖9）AB=9，再用面積法求得CE=2，最后用勾股定理求得AE=1，由垂徑定理得AD=2。AC = 3, BC =，以C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交五、師生小結(jié)，納入系統(tǒng)1. 定理的三種基本圖形如圖 10、11、12。2. 計(jì)算中三個(gè)量的關(guān)系一一如圖13, R2=d2 +（a）2。23. 證明中常用的輔助線一一過(guò)圓心作弦的垂線段。D（圖 10）D（圖 11）（圖B六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，反饋效果1. （課本P78練習(xí)第1題）如圖14,在O O的半徑為50mm,弦AB=50mm，則點(diǎn)0到AB的距離為,/ AOB =度。2作圖題：經(jīng)過(guò)已知O 0內(nèi)的已知點(diǎn)A作弦,使它以點(diǎn)A為中點(diǎn)（如圖15）。3.課本P78練習(xí)第2題。©（圖 14）（圖 15）課堂練習(xí)姓名得分1如圖，O O的半徑為50mm,弦AB=50