高考數(shù)學(xué)平面向量專題研究

1、高考數(shù)學(xué)平面向量專題研究 姚圍有從歷屆高考來(lái)看，向量題往往已經(jīng)成為浙江高考數(shù)學(xué)的點(diǎn)睛之筆。向量作為一種既有大小又有方向的量，同時(shí)兼具代數(shù)和幾何雙重身份，一方面，它可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算，另一方面，又可以結(jié)合圖形對(duì)向量的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析求解。因此，向量是重要而基本的數(shù)學(xué)概念之一，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。幾乎每年都是浙江省高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，而且題目比較新穎獨(dú)特，基本以壓軸題的形式出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的要求比較高，重在考查學(xué)生的能力。一、2017年浙江高考考試說(shuō)明要求1.1考試內(nèi)容：平面向量的基本概念，平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義，平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示，平面向量的數(shù)量積，平面向量的應(yīng)用。

2、1.2考試要求：1理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向 量、向量夾角的概念。2掌握向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義。3理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。4掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。5掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算。6理解平面向量數(shù)量積的概念及其意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。7掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個(gè)向量的夾角之間的關(guān)系。8會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直。 9會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。二、說(shuō)明研讀，地位分析從近幾年的的浙江省數(shù)

3、學(xué)高考真題來(lái)看，一般出現(xiàn)在選擇、填空題的壓軸題的位置。對(duì)于學(xué)生的能力要求較高，體現(xiàn)了“在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的高考命題原則，凸顯以能力立意命題的指導(dǎo)思想，又考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，試題以中、高檔題為主，往往成為試題的亮點(diǎn)。作為新高考文理不分科后的首次高考，對(duì)于平面向量的考查仍然是高考的考查重點(diǎn)，仍然會(huì)以中、高檔題為主，以選擇題或填空題出現(xiàn)，但是可能題目難度略低于理科難度， 三、考情分析，總結(jié)原因3.1一模考試得失分情況分析本次模擬試卷涉及平面向量考點(diǎn)有3道題，分別是選擇題第7題，解答題第19題，第21題向量與解析幾何的綜合運(yùn)用，具體各題得分情況如下：題號(hào)知識(shí)點(diǎn)平均分標(biāo)準(zhǔn)差難

4、度系數(shù)杭州市一模選擇題第7題平面向量基本定理，三角形內(nèi)心2.04（滿分4分）20.51解答題第19題向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，函數(shù)中的最值問(wèn)題9.52（滿分15分）3.410.633.2本屆學(xué)生存在的問(wèn)題根據(jù)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況和本次一?？荚嚨牡梅智闆r，在平面向量這塊內(nèi)容上， 我校學(xué)生主要存在以下問(wèn)題：（1）部分學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)，對(duì)平面向量的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)理解不夠，如加減法的幾何意義、向量模和夾角、投影等。如杭州市一模試題第21題中向量的加法。（2）平面向量的基本定理及其意義理解不夠深刻，基底運(yùn)算應(yīng)用不夠熟練。如一模題中第7題，設(shè)是的內(nèi)心，若，則（ ）A. B. C. D. （3）向量運(yùn)算幾何

5、轉(zhuǎn)化意識(shí)不夠，在向量運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生不能夠準(zhǔn)確地挖掘向量運(yùn)算的幾何背景。（4）由于平面向量題基本以中、高檔題為主，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量題目產(chǎn)生恐懼心理，遇到向量題目不愿意動(dòng)手。（5）向量與平面幾何、函數(shù)、解析幾何、不等式等其他知識(shí)的綜合問(wèn)題熟練程度不夠，綜合能力不夠強(qiáng)。三、高考試題分析1.考查線性運(yùn)算幾何意義例1.（08年理17）記，設(shè)為平面向量，則（ ）A. B.C. D. 分析：本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算中模長(zhǎng)關(guān)系的比較，平行四邊形中對(duì)角線長(zhǎng)度與邊長(zhǎng)關(guān)系的聯(lián)系。解：和是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，可以得出答案選D.2.平面向量與不等式綜合考查例3（13年理17題）設(shè)、為單位向量，非零向量，

6、、.若、的夾角為，則的最大值等于_.分析：該題表述簡(jiǎn)潔清晰，靈活考查了平面向量的基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的數(shù)量積、平面向量的幾何意義等知識(shí)，滲透了多種數(shù)學(xué)思想方法。解法一：直接求解由題意得當(dāng)時(shí)，解法二：坐標(biāo)法，設(shè)，則.下同解法一。解法三：判別式法設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，則，故解得解法四：幾何法，如圖，設(shè)，DOEAB則，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，顯然；當(dāng)點(diǎn)在外時(shí)，在中，由正弦定理知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。從考后調(diào)查來(lái)看，學(xué)生通過(guò)平方再構(gòu)造函數(shù)求解居多，雖然也能解題，但顯然違背了向量的內(nèi)涵。當(dāng)然，可能也是由于這個(gè)代數(shù)式的不協(xié)調(diào)（分子是數(shù)的絕對(duì)值，分母是向量的模）造成的。其實(shí)如果學(xué)生想到把改寫(xiě)成，那么問(wèn)題還可以

7、這樣解決。解法五：把看成一個(gè)固定向量，由平面向量的基本定理或平行四邊形法則知，如圖所示，的終點(diǎn)一定在直線上，那么比值顯然在與直線垂直時(shí)達(dá)到最大，即例3. （2015浙理15）已知是空間單位向量，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，則，分析：本題與2013年高考數(shù)學(xué)向量題驚人的相似，既可以利用兩邊平方然后配方，求出取到最小值時(shí)的值和，但這樣的處理有一定的技巧和較大的計(jì)算量。其實(shí)如果對(duì)例3有足夠的理解，應(yīng)該能想到例4和例3其實(shí)本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)把一維定理的運(yùn)用換成了二維定理。解法一（代數(shù)法）：因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，。解法二（幾何法）：表示由確定的平面內(nèi)的任一向量，由設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，所以，即有，由勾股定理便可得到。

8、反思：雖然兩道高考題都能從代數(shù)角度予以解決，但例3的處理難度要遠(yuǎn)難于例2，筆者思考如果在復(fù)習(xí)例2時(shí)能找到問(wèn)題的本質(zhì)并理解它、運(yùn)用它，那么相信面對(duì)例3時(shí)，應(yīng)該會(huì)有足夠的信心從向量的角度解決。兩年高考填空的最后一題，從結(jié)構(gòu)上來(lái)看貌似毫無(wú)相關(guān)性，但本質(zhì)上其實(shí)都是定理的運(yùn)用，只不過(guò)將向量的背景從平面轉(zhuǎn)移到了空間。例4.（2017高考樣卷）已知向量，對(duì)任意tR，恒有，則（ ）(A)(B)(C)(D)分析：幾何背景：直線（向量所在直線）外的一點(diǎn)（的終點(diǎn)）與直線上的各點(diǎn)（的終點(diǎn)）的連線中，垂線段最短。解法一（代數(shù)法）：由恒成立得到，恒成立，所以，推出圖2解法二（幾何法）：如圖2，因恒成立，所以，（衢州一模）

9、已知平面向量夾角為，對(duì)任意,有，則的最小值是3.平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題例5.（16年理15題）已知平面向量，對(duì)任意的單位向量，有，則的最大值為分析：本題是不等式與平面向量的綜合題，難度較大，主要考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算、絕對(duì)值不等式。解法一：（坐標(biāo)法）設(shè)則，設(shè)。兩式平方相加得，即對(duì)任意的單位向量恒成立，則解法二：由三角不等式可得，則，因此，則。4.平面向量基本定理與等和線考查例6（嘉興一模）已知任意兩個(gè)向量不共線，若，,則下列結(jié)論正確的是（ ）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線 C.三點(diǎn)共線 C.三點(diǎn)共線分析：本題是試題中選擇題第6題，應(yīng)屬于較容易題，主要考查平面向量的基本定理及其推論共線定理

10、的應(yīng)用。解析：由題意易知，即。故選B。例7.（溫州九校一模）已知扇環(huán)如圖所示，是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是分析：考查平面向量的基本定理、等和線的應(yīng)用，難度較大。解析：如圖易知時(shí)，三點(diǎn)共線，作直線的平行線，與扇環(huán)交于點(diǎn)和相切于，所以：等和線有關(guān)結(jié)論：5.平面向量與解三角形綜合考查例7（湖州一模）已知的面積是4，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)作邊所在直線的垂線，垂足分別是，則_.分析：本題以三角形為試題背景，綜合考查平面向量數(shù)量積和解三角形的應(yīng)用，利用面積相等和線段比可求解，屬于中檔題。解析：根據(jù)解三角形面積公式可得，再根據(jù)三角形底乘高的面積公式得，通過(guò)上式可得又在寧波一模和臺(tái)州一模中也考查了平面向量

11、與解三角形結(jié)合的題目，（寧波一模）已知三邊分別為，且則邊所對(duì)應(yīng)的角大小為_(kāi)，此時(shí)，如果，則的最大值為_(kāi).（臺(tái)州一模）已知不共線的平面向量，滿足，. 若向量，且，則從以上幾個(gè)例子，我們可以看出解決數(shù)量積的最值問(wèn)題，一般是根據(jù)題目做出一個(gè)初步的判斷，明確解題選擇的方向：代數(shù)法還是幾何法代數(shù)法有兩個(gè)方向可以考慮，第一是坐標(biāo)運(yùn)算；第二是純向量的字母運(yùn)算，利用數(shù)量積的定義求解幾何法就是充分挖掘平面幾何圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義解決不管選擇什么方法解決，都需要注重?cái)?shù)形結(jié)合仔細(xì)分析圖形，可以有以下幾種選擇：第一，利用已有的坐標(biāo)系或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化，從而轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的最值問(wèn)

12、題，這可以使問(wèn)題的難度降低.第二，利用數(shù)量積的幾何意義第三，如果數(shù)量積的最值位置可以是三點(diǎn)共線，則轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算除此外，也會(huì)出現(xiàn)直接求解都不通的情況，這時(shí)就需要我們利用平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從純幾何角度出發(fā)，把不共線的數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共線的或者易求的數(shù)量積問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的一般要求所選向量的?；蛘呦蛄恐g的夾角確定，以相對(duì)確定的向量來(lái)表示變化向量，從而減少運(yùn)算量、思維量，達(dá)到事半功倍、以靜制動(dòng)的效果運(yùn)用向量的分解轉(zhuǎn)化，實(shí)際上是化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，化未知為已知，化變化為不變，化動(dòng)為靜，從而使問(wèn)題輕松解決四、命題方向，復(fù)習(xí)建議4.1命題方向?qū)τ谄矫嫦蛄康目疾?，浙江省?cè)重于考查學(xué)生的

13、能力，對(duì)向量?jī)?nèi)涵的理解，通過(guò)對(duì)考試說(shuō)明的研讀和對(duì)浙江省歷屆高考向量題的分析，主要從以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)命題：（1）平面向量加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義（2）平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義（3）平面向量的基本定理及意義，定理的一維、二維、三維形式。（4）平面向量與圓、解三角形結(jié)合考查，如三角形的“四心”問(wèn)題、（5）平面向量與不等式結(jié)合考查，如等（6）平面向量常用結(jié)論的考查，如等高線、極化恒等式等。對(duì)向量的純坐標(biāo)運(yùn)算的考查可能性較低，幾乎不可能考查向量的坐標(biāo)化運(yùn)算，但坐標(biāo)法作為處理平面向量問(wèn)題的重要的方法還是需要在復(fù)習(xí)中注意滲透，而且比較適合我校大部分學(xué)生的學(xué)情。4.2教學(xué)建議1.教師層面（1）習(xí)

14、題教學(xué)。在習(xí)題教學(xué)中我們不但要重視題目的思路來(lái)源和解題過(guò)程，更要重視解題之后的深思、歸納與總結(jié)。在教師的引領(lǐng)下，讓學(xué)生從不同的角度深入思考、逐步感悟，掌握通性通法，體會(huì)題目解法中滲透的數(shù)學(xué)思想。（2）高效講評(píng)。高三復(fù)習(xí)階段綜合訓(xùn)練測(cè)試居多，所以試卷講評(píng)課效率的高低對(duì)整個(gè)復(fù)習(xí)教學(xué)影響較大，講評(píng)課不要追求面面俱到，要做到高效講評(píng)，必須做出取舍，同時(shí)要洞察錯(cuò)因、暴露過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問(wèn)題。（3）發(fā)揮集體力量。備課組老師要合作探究，集思廣益，研究高考試題和最新的模擬題，并多和其他成員交流。根據(jù)向量考查的重點(diǎn)，編制向量專題復(fù)習(xí)材料，進(jìn)行重點(diǎn)突破。2.學(xué)生層面經(jīng)過(guò)高三的一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生的知識(shí)不再是零碎

15、散亂的，而是整體串聯(lián)起來(lái)，對(duì)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)比較系統(tǒng)化、綜合化。所以在二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該更要側(cè)重于各知識(shí)點(diǎn)間的融會(huì)貫通。在這一階段，老師將以方法、技巧為主線，主要研究數(shù)學(xué)思想方法。老師的復(fù)習(xí)，不再重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的先后次序，而是以提高同學(xué)們解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力為目的，提出、分析、解決問(wèn)題的思路用“配方法、待定系數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合、分類討論”等方法解決一類問(wèn)題、一系列問(wèn)題。同學(xué)們應(yīng)該做好以下幾點(diǎn)：（1）繼續(xù)夯實(shí)基礎(chǔ)。根據(jù)高考考試要求，繼續(xù)鞏固一輪復(fù)習(xí)的成果，掌握平面向量的基本概念、基本運(yùn)算、基本方法。基礎(chǔ)概念的理解是重中之重，沒(méi)有基礎(chǔ)的支撐就會(huì)導(dǎo)致理解題目不到位，比如向量的數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別，向量的模、夾角。（2）總結(jié)方法，強(qiáng)化練習(xí)。在學(xué)完解題方法后，要通過(guò)同類題型的強(qiáng)化訓(xùn)練才能真正熟練掌握，做到融會(huì)貫通，并嘗試著從不同的角度去分析問(wèn)題，掌握不同的方法。在練習(xí)中（3）解題反思，及時(shí)總結(jié)。做完題后，要特別注意解題后反思和及時(shí)總結(jié)，特別是錯(cuò)題、難題，對(duì)照題目解析