旋轉(zhuǎn)相似變換及其本質(zhì)特征

1、旋轉(zhuǎn)相似變換及其本質(zhì)特征江蘇省泰州市朱莊中學(xué) 曹開清 225300一、旋轉(zhuǎn)相似變換的概念2007年江蘇省南京市中考試卷的第27題給出了一個(gè)新概念旋轉(zhuǎn)相似變換：在平面內(nèi)，首先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為；接著將所得多邊形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這種經(jīng)過縮放和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角（1）填空：如圖1，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為(，)；如圖2，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長(zhǎng)為；（2）如圖3，分別以銳角

2、三角形的三邊、為邊向外作正方形、，點(diǎn)、分別是這三個(gè)正方形的中心，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說明線段與之間的關(guān)系解析：（1），60°；（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變換為線段；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變換為線段因?yàn)椋?5°45°90°，所以，實(shí)際上，這種旋轉(zhuǎn)相似變換是位似變換和旋轉(zhuǎn)變換的“復(fù)合變換”為了便于說明，本文中旋轉(zhuǎn)相似變換的研究對(duì)象僅限于三角形，旋轉(zhuǎn)相似中心為三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足0°<<180°二、任意三角形旋轉(zhuǎn)相似變換的規(guī)律圖4圖8是將任意ABC以頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似

3、中心作旋轉(zhuǎn)相似變換到ADE得到的一組圖形，其中旋轉(zhuǎn)角分別滿足：0°<<BAC；BAC；BAC <<180°BAC；180°BAC；180°BAC<<180°圖4 圖5 圖6圖7 圖8連接BD、CE，設(shè)BD或其延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F由ABCADE，易得，BADCAE，所以ABDACE其相似比，ABDACE，于是BFCBAC因此，在這組圖形中，ABD和ACE的旋轉(zhuǎn)相似變換關(guān)系是其本質(zhì)特征三、幾個(gè)特殊三角形旋轉(zhuǎn)相似變換的規(guī)律1等邊三角形圖913，是將等邊ABC以頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心作旋轉(zhuǎn)相似變換到ADE得到的一組圖形，

4、其中旋轉(zhuǎn)角分別滿足：0°<<60°；60°；60°<<120°；120°；120°<<180°，圖9 圖10 圖11 圖12 圖13連接BD、CE，設(shè)BD或其延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F，易得ABDACE，BFCBAC60°因此，在這組圖形中，將ABD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后變換到ACE是其本質(zhì)特征此外，如圖14，當(dāng)變換到點(diǎn)B、D、E在同一直線上時(shí)，則有CEAEBE如圖15，當(dāng)變換到DCBC時(shí)，則有CA2CD2CE2如圖16，當(dāng)變換到點(diǎn)C、D、E在同一直線上時(shí)，則有A

5、DCDBD等等圖14圖15 圖162等腰直角三角形圖1719，是將等腰直角ABC（頂角為A）以頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心作旋轉(zhuǎn)相似變換到ADE得到的一組圖形圖17 圖18 圖19連接BD、CE，設(shè)BD或其延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F易得ABDACE，BFCBAC90°，即BDCE因此，在這組圖形中，將ABD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后變換到ACE是其本質(zhì)特征3等腰三角形圖2022，是將等腰ABC（頂角A為）以頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心作旋轉(zhuǎn)相似變換到ADE得到的一組圖形圖20 圖21 圖22連接BD、CE，設(shè)BD或其延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F，則有ABDACE，所以ABDACE，于是BFCBAC因此，在這

6、組圖形中，將ABD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后變換到ACE是其本質(zhì)特征此外，如圖22，當(dāng)變換到BD平分ABC時(shí)，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)G，則有線段FC是線段FG和FB的比例中項(xiàng)上述幾個(gè)規(guī)律可以幫助我們判斷在一個(gè)圖形中是否存在三角形旋轉(zhuǎn)，從而利用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決問題，下面舉例說明：例1 如圖23，ABC中，AB3，AC4，BC5，ABD、ACE、BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積圖23解析：根據(jù)已知條件，BDF可以看成是ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后形成的，于是BDFBAC同理可證CEFCAB由此可得四邊形AEFD是平行四邊形，而DAE150°，所以四邊形AEFD的面積為6例2

7、如圖24，在梯形ABCD中，AB/CD，BCD90°，且DC2AB，tanADC2(l)求證：DCBC；(2)若E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，且EB2，EC4，BEC135°，求ED的長(zhǎng)圖24解析：(l)過點(diǎn)A作AHDC，垂足為H因?yàn)镈C2AB，所以DHAB因?yàn)閠anADC2，所以AH2DH，所以BC2AB所以DCBC (2)以CE為一條直角邊、C為直角頂點(diǎn)作等腰直角CEF，則EF4，連接BF易證CDECBF，所以EDFB在BEF中，因?yàn)锽EF135°45°90°，所以FB6，即ED6例3 如圖25，五邊形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180°，連接DA求證：DA平分CDE圖25解析：連接AC，延長(zhǎng)DE到F，使EFBC，連接AF因?yàn)锳BCAED180°，AEFAED180°，所以ABCAEF又ABAE，所以ABCAEF所以ACAF因?yàn)锽CDECD，EFBC，所以CDFD又ADAD，所以ACDAFD于是DA平分CDE例4 如圖26，在四邊形ABCD中DAB30°，DCB60°，CDCB，求證：AB2AD2AC2圖26解析：以CA為邊作等邊CAE，連接ED根據(jù)已知條件，易證CDECBA，所以EDAB，EDC