電動(dòng)力學(xué)2教案

1、第二章 靜電場(chǎng)本章主要研究靜電場(chǎng)的一些求解方法。由于靜電場(chǎng)的基本方程是矢量方程，求解很難，因此一般都是采用引入電勢(shì)來(lái)求解。因此，本章首先引進(jìn)靜電場(chǎng)的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)電勢(shì)并討論電勢(shì)的一些基本特性。然后討論靜電勢(shì)方程的幾種求解方法分離變量法、鏡象法、格林函數(shù)法以及電荷在小區(qū)域分布時(shí)的近似求解方法。靜電場(chǎng)的基本特點(diǎn)靜電場(chǎng)：靜止電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)；特點(diǎn)：，靜電場(chǎng)可單獨(dú)存在。等均與t無(wú)關(guān) 不考慮永久磁體（）基本方程： , ；邊值關(guān)系：, 。 求介質(zhì)分界面上的束縛電荷用： 則電磁性質(zhì)方程： 均勻各向同性線性介質(zhì)： 靜電平衡時(shí)的導(dǎo)體：導(dǎo)體內(nèi)部： 。外部表面：電荷分布在表面上，電場(chǎng)處處垂直于導(dǎo)體表面。§2.1

2、 靜電勢(shì)及其微分方程一 靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)1靜電勢(shì)的引入：因?yàn)殪o電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng),即，所以可以引入標(biāo)量函數(shù)，引入后 靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)（簡(jiǎn)稱電勢(shì)）。 的選擇不唯一，相差一個(gè)常數(shù)，只要知道即可確定 取負(fù)號(hào)是為了與電磁學(xué)討論一致 滿足迭加原理二 靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系 1滿足的方程泊松方程： 其中僅為自由電荷分布，適用于均勻各向同性線性介質(zhì)。導(dǎo)出過(guò)程： 拉普拉斯方程： （適用于的區(qū)域 ）。2邊值關(guān)系（S為分界面）（ 由12）(1) 兩介質(zhì)交接面上邊值關(guān)系 證明：（a） PQ 積分為零，所以 即。（b） （為自由面電荷分布）由 （1） 導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系由于導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，因此在導(dǎo)體表面上電勢(shì)為一常數(shù)。將介質(zhì)

3、情況下的邊值關(guān)系用到介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，并考慮導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，則可以得到第二個(gè)邊值關(guān)系：三靜電場(chǎng)的能量1 一般方程： 能量密度 （均勻各向同性線性介質(zhì)） 總能量 2 若已知 總能量為 ，但不代表能量密度。導(dǎo)出過(guò)程：，該公式只適合于靜電場(chǎng)情況，能量不僅分布在電荷區(qū)，而且存在于整個(gè)場(chǎng)中。§2. 2 唯一性定理一 泊松方程和邊界條件VS假定所研究的區(qū)域?yàn)閂，在一般情況下V內(nèi)可以有多種介質(zhì)或?qū)w，對(duì)于每一種介質(zhì)自身是均勻線性各向同性。設(shè)V內(nèi)所求電勢(shì)為，它們滿足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（區(qū)域）的解有多種形式，要確定且唯一確定V內(nèi)電場(chǎng)，必須給出邊界條件。在數(shù)學(xué)上這稱為給定邊值條件的求解

4、問(wèn)題：一般邊界條件有兩類： 邊界S上，為已知，若為導(dǎo)體= 常數(shù)為已知。 邊界S上，為已知，若是導(dǎo)體要給定總電荷Q。它相當(dāng)于給定（）。內(nèi)邊界條件由 邊值關(guān)系給出： 法線方向，在實(shí)際問(wèn)題中，因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，可以不包含在所求區(qū)域V內(nèi)。導(dǎo)體上下邊界條件為外邊界條件。對(duì)于V內(nèi)兩介質(zhì)分界面上。二 唯一性定理1均勻單一介質(zhì)當(dāng)區(qū)域內(nèi)分布已知，滿足，若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內(nèi)場(chǎng)（靜電場(chǎng)）唯一確定。1 介質(zhì)分區(qū)均勻（不包含導(dǎo)體）V內(nèi)已知， 成立，給定區(qū)域或Q1Q2在分界面上，或則V內(nèi)場(chǎng)唯一確定。（證明見(jiàn)書P60）2 均勻單一介質(zhì)中有導(dǎo)體（證明見(jiàn)書P62）導(dǎo)體中，要求的是內(nèi)的場(chǎng)。QSS當(dāng)和，已知或，

5、（，）為已知，則內(nèi)場(chǎng)唯一。確定， 或。三 唯一性定理的意義（1） 唯一性定理給出了確定靜電場(chǎng)的條件，為求指明了方向。（2） 更重要的是它具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。無(wú)論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對(duì)于許多具有對(duì)稱性的問(wèn)題，我們可以不必用繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是提出嘗試解，只要滿足方程和邊界條件即為所求的解，若不滿足，可以加以修改。四 應(yīng)用舉例1兩種均勻介質(zhì)（和）充滿空間，一半徑a的帶電Q導(dǎo)體球放在介質(zhì)分界面上（球心在界面上），求空間電勢(shì)分布。解：外邊界為無(wú)窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限遠(yuǎn)導(dǎo)體上Q給定，所以球外場(chǎng)唯一確定對(duì)稱性分析：若，則（回到上例

6、結(jié)果）。若，從直觀看似乎不再具有球?qū)ΨQ性，而是具有軸對(duì)稱。但是實(shí)際情況并非如此。由于無(wú)論在介質(zhì)1還是介質(zhì)2，導(dǎo)體外表面電場(chǎng)均與表面垂直，因此在P點(diǎn)必然與重合，所以介質(zhì)分界面上，而。在介質(zhì)分界面上：所以沒(méi)有束縛電荷分布，束縛電荷只分布在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上。對(duì)于上半個(gè)空間，介質(zhì)均勻極化，場(chǎng)具有對(duì)稱性，同樣下半空間也具有對(duì)稱性。而在介質(zhì)分界面上，所以可考慮球外電場(chǎng)仍具有球?qū)ΨQ性。設(shè)試探解：確定常數(shù)：在介質(zhì)分界面上 下半空間上半空間導(dǎo)體球面上面電荷分布： 下半球面上均勻分布 上半球面上均勻分布束縛電荷分布： 從這里可以看出，電荷在整個(gè)球面上是不均勻分布的。這種非均勻分布造成場(chǎng)的均勻分布。從物理機(jī)制看：

7、當(dāng)導(dǎo)體放入介質(zhì)時(shí)，一開(kāi)始均勻分布，產(chǎn)生的場(chǎng)是非球?qū)ΨQ場(chǎng)，它在介質(zhì)中產(chǎn)生束縛電荷，束縛電荷也產(chǎn)生一個(gè)場(chǎng)，但總場(chǎng)不滿足靜電場(chǎng)唯一性定理，因此導(dǎo)體表面電荷要重新分布。達(dá)到靜電平衡時(shí)，球外場(chǎng)均勻分布，滿足唯一性定理，這時(shí)電荷分布不再是均勻的。§2. 3 拉普拉斯方程的解分離變量法一 拉普拉斯方程的適用條件1 空間處處，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（如導(dǎo)體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程。2 在所求區(qū)域介質(zhì)中有自由電荷分布，若這個(gè)自由電荷分布在真空中，產(chǎn)生的勢(shì)為已知。 若所求區(qū)域?yàn)閱我痪鶆蚪橘|(zhì)，則介質(zhì)中電勢(shì)為真空中電勢(shì) 。 若所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)交界面上有束縛面電

8、荷。則區(qū)域V中電勢(shì)可表示為兩部分的和 不滿足，但使?jié)M足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，邊值關(guān)系還要用而不能用。二 解題步驟1 選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn)坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無(wú)限2 分析對(duì)稱性，分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解3 根據(jù)具體條件確定常數(shù)（1） 外邊界條件： 電荷分布有限 邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或給定（接地 ）電荷分布無(wú)限，一般在均勻場(chǎng)中， （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)）xyOV（2） 內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上 表面無(wú)自由電荷。應(yīng)用實(shí)例（習(xí)題課）1 兩無(wú)限大平行導(dǎo)體板，相距為，兩板間電勢(shì)差為

9、V(與無(wú)關(guān))，一板接地，求兩板間的電勢(shì)和解：（1）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板接地 ，為參考點(diǎn)（2）定性分析：由于在處，常數(shù)，可考慮與無(wú)關(guān)。（3） 列出方程并給出解：在區(qū)域，（4） 方程的解：（5）定常數(shù)： (6) 結(jié)果： 顯然滿足和邊界條件 常數(shù)，均勻場(chǎng)2半徑a，帶有均勻電荷分布的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體柱外空間的電勢(shì)和電場(chǎng)。xyzor解：電荷分布在無(wú)限遠(yuǎn)，電勢(shì)零點(diǎn)應(yīng)選在有限區(qū)域，為簡(jiǎn)單可選在導(dǎo)體面r = a處（即）。選柱坐標(biāo)系：對(duì)稱性分析： 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻分布，一定與無(wú)關(guān)。 柱外無(wú)電荷，電力線從面上發(fā)出后，不會(huì)終止到面上，只能終止到無(wú)窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面上電場(chǎng)只沿方向，可認(rèn)為與z無(wú)

10、關(guān)， 當(dāng)r = a時(shí)， 則 不選擇零點(diǎn)也不影響求場(chǎng)。常數(shù)C的確定： 若選 則 （）電場(chǎng)： xyzO在表面上 3一半徑為a，介電常數(shù)為的無(wú)限長(zhǎng)電介質(zhì)圓柱，柱軸沿方向，沿方向上有一外加均勻電場(chǎng)，求空間電勢(shì)分布和柱面上的束縛電荷分布。解：（1）邊界為柱面選柱坐標(biāo)系均勻場(chǎng)電勢(shì)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不為零，故參考點(diǎn)選在有限區(qū)域，例如可選在坐標(biāo)原點(diǎn)常數(shù)（或0）（2）考慮對(duì)稱性電勢(shì)與z無(wú)關(guān)，設(shè)柱內(nèi)電勢(shì)為，柱外為它們分別滿足 。 解為：（3）確定常數(shù) 因?yàn)橛型饧泳鶆驁?chǎng)，它們對(duì)x軸對(duì)稱，可考慮、也相對(duì)x軸對(duì)稱（為偶函數(shù)），所以、中不應(yīng)包含項(xiàng)，故：均為零。 常數(shù)（或零），有限，故中不應(yīng)有項(xiàng)，（均勻場(chǎng)電勢(shì)），因此中不應(yīng)有方項(xiàng)（

11、）（即得） 時(shí)，兩邊為任意值，前系數(shù)應(yīng)相等（）（4）解為 （5）求柱內(nèi)電場(chǎng)： 仍沿x方向 這是因?yàn)榻橘|(zhì)極化，束縛電荷主生的場(chǎng)與反向（6）柱面上束縛面電荷分布由 兩邊為任意值，前系數(shù)應(yīng)相等（）（4）解為 （5）求柱內(nèi)電場(chǎng)： 仍沿x方向 這是因?yàn)榻橘|(zhì)極化，束縛電荷主生的場(chǎng)與反向（6）柱面上束縛面電荷分布由 （或常數(shù)）（7）若圓柱為導(dǎo)體，可采用上述方法重新求解，或令4如圖所示的導(dǎo)體球（帶電Q）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)及球殼內(nèi)外面上的感應(yīng)電荷。解：（1）邊界為球形，選球坐標(biāo)系電荷分布在有限區(qū)，選（2）設(shè)殼外為2區(qū)，球殼內(nèi)為1區(qū)，球外（若將Q移到殼上，球接地為書中P67例題），球殼內(nèi) 電荷

12、在球上均勻分布，場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，與無(wú)關(guān)，（3）確定常數(shù) 導(dǎo)體殼為等勢(shì)體 在導(dǎo)體殼上 即設(shè)內(nèi)殼 外殼 （4）解 （5）球殼上的感應(yīng)電荷殼外面 殼內(nèi)面 以一結(jié)果均與高斯定理求解一致。§2. 4 電象法QQ一 電象法的概念和適用條件1 求解泊松方程的難度區(qū)域無(wú)分布，適用。對(duì)直角坐標(biāo)無(wú)對(duì)稱性，用球坐標(biāo)具有軸對(duì)稱，但邊界為平面區(qū)域有自由電荷，適用，但求解很困難。導(dǎo)體球 導(dǎo)體板（導(dǎo)體表示電荷分布是不均勻的）在許多特殊情況下可采用迭加法求解（如上節(jié)例6），對(duì)于空間存在點(diǎn)電荷的情況，原則上也能夠求解（習(xí)題2）。還有一些例子也可采用該方法來(lái)求，但求解不是難度極大，就是解不出來(lái)（如導(dǎo)體板情況）。因?yàn)榍懊?/p>

13、講的實(shí)例大多是分界面電荷均勻分布，而許多情況分界面上電荷是非均勻分布的，造成場(chǎng)對(duì)稱性很差。2 唯一性定理保證下的不擇手段從物理上考慮，在唯一性定理保證下，可以采用試探解的方法。特別是對(duì)于自由電荷僅為點(diǎn)電荷時(shí)，導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布可以等效地看作一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷。3 電象法概念、條件（1） 電象法：用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。（2） 條件：a）所求區(qū)域內(nèi)只能有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷。（只有點(diǎn)電荷產(chǎn)生的感應(yīng)電荷才能用點(diǎn)電荷代替。）b）導(dǎo)體邊界面形狀規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。c）給定邊界條件。要求：a）做替代時(shí)，不能改變?cè)须姾煞植迹醋杂牲c(diǎn)

14、電荷位置、Q大小不能變）。泊松方程不能改變。所以假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。b）不能改變?cè)羞吔鐥l件，通過(guò)邊界條件確定假想電荷的大小和位置。c）一旦用了假想等效電荷，不能再考慮邊界面上的電荷分布。d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。二 應(yīng)用舉例1 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。QQ/Pz解：二應(yīng)用舉例（1） 分析：左半空間顯然滿足這個(gè)解。由唯一性定理保證右半空間，Q處在（0，0，a）點(diǎn)，其余點(diǎn)邊界從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間z軸上。設(shè)電量為，位置為（0，0，） （2）由邊界條件確定和，。（要在左半空間）唯一解是 （3）討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分

15、布 （b）可見(jiàn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)電力線全部終止在導(dǎo)體面上，它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在右半部寶劍相同。（c）與Q位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱為電象法（又稱鏡象法）（d）作用力選球坐標(biāo)系PQPRO2 真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心a（a> R0）處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。解：（1）分析：球內(nèi)電勢(shì)（導(dǎo)體接地）求球外電勢(shì)，假想電荷應(yīng)在球內(nèi)，兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。（2） 由邊界條件確定和設(shè) 即因?yàn)槭侨我獾?即 , 解得 ， 象電荷不能在所求區(qū)，故舍去第二組解，而 代入不滿足 （增根） 唯一解是 （3） 討論： 因此Q發(fā)出

16、的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。 球面感應(yīng)電荷分布因此導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為有的電荷移到地中去了。（4）若導(dǎo)體不接地導(dǎo)體不接地，可視為分布在導(dǎo)體面上。無(wú)，接地導(dǎo)體已為等勢(shì)體，加上還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體，必須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量。（ 均勻分布球面上可使導(dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球心的點(diǎn)電荷）接地 （5）若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，?dǎo)體上總電荷為。此時(shí)要保持導(dǎo)體為等勢(shì)體，也應(yīng)均勻分布在球面上。接地（從這里可以看出等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或一個(gè)帶電體系，而不一定就是一個(gè)點(diǎn)電荷）（6）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷時(shí)所受力受到的力可以看作和位于球心處的等效電荷

17、和對(duì)的作用力之和。QxyQQ/Q/O設(shè)，第一項(xiàng)為排斥力，第二項(xiàng)為吸引力（與無(wú)關(guān)，與正負(fù)無(wú)關(guān)）。當(dāng)時(shí)，F(xiàn)< 0 ，即正電荷與帶正電導(dǎo)體球在靠的很近時(shí)會(huì)出現(xiàn)相互吸引。3有一點(diǎn)電荷位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b，求空間的電勢(shì)。解：（1）分析：板、板電勢(shì)為0，假想電荷應(yīng)在第I象限之外。（a） 為保證板上，要在（a，-b，0）處放電荷，但不保證板為；為保證板上，要在（-a，b，0）處放電荷，但不保證板為。這樣不能保證兩極板上電勢(shì)為零。實(shí)際上這是由于對(duì)于平板問(wèn)題總點(diǎn)電荷數(shù)不能為奇數(shù)。（b） 在（-a，-b，0）處放象電荷，對(duì)面，面和O點(diǎn)均可使。（2）電勢(shì)分

18、布S1S2Q（3）若兩平面夾角時(shí)，放在處，用電象法求解的條件是什么？象電荷應(yīng)入在所求區(qū)域之外。右圖：，有8個(gè)點(diǎn)電荷，7個(gè)象電荷（4個(gè)正電荷）。設(shè)正電荷數(shù)為n（= 4），象電荷數(shù)為m 1（= 7），角度為可以證明：這一結(jié)果對(duì)于均成立，即，象電荷為2 n 1個(gè)，它們的位置為，由 ，而§2. 5 格林函數(shù)方法格林函數(shù)方法是求解數(shù)學(xué)物理方程的較為普遍的方法。（利用格林公式和已知點(diǎn)電荷在給定條件下的解求解給定邊界條件的空間電勢(shì)。）本節(jié)僅研究泊松方程解的格林函數(shù)方法。它與點(diǎn)電荷解的邊值相關(guān)，但可以解靜電學(xué)的許多邊值問(wèn)題。設(shè)V內(nèi)電荷分布已知， 給定V邊界S上的各點(diǎn)電勢(shì)第一邊值問(wèn)題 或給定邊界上法向

19、分量第二邊值問(wèn)題求V內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)值。上兩節(jié)討論了分離變量法和電象法，只在一定條件下適用。（電象法實(shí)際上是解格林函數(shù)的一種方法。）一 點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示1 處于點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度一般2常用公式：二 格林函數(shù)1 點(diǎn)電荷的泊松方程：設(shè)電勢(shì)為 單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì) 空間區(qū)域V上的邊界條件或常數(shù)2 格林函數(shù)對(duì)于靜電場(chǎng)的點(diǎn)電荷問(wèn)題 稱為靜電場(chǎng)的析林函數(shù) （或常數(shù)）只對(duì)微商。格林函數(shù)的對(duì)稱性 （偶函數(shù)）3 （1）無(wú)界空間中的格林函數(shù)上單位點(diǎn)電荷在無(wú)窮空間中激發(fā)的電勢(shì)到的距離 球坐標(biāo)中 （偶函數(shù)）顯然滿足點(diǎn)電荷泊松方程。（2）上半空間的格林函數(shù)（偶函數(shù)）（3）球外空間的格林函數(shù)設(shè)點(diǎn)電荷Q = 1 坐標(biāo)為，

20、觀察點(diǎn)為 球半徑為 （相當(dāng)于題中的a）設(shè)假想點(diǎn)電荷在，它的坐標(biāo)為（它在連線上，題中b對(duì)應(yīng)這里的） 偶函數(shù)。三 用格林函數(shù)求解一般的邊值問(wèn)題1 第一類邊值問(wèn)題求解的格林方法（要求掌握這個(gè)公式）。V內(nèi)有電荷分布，給定只要知道相應(yīng)問(wèn)題的和即可得到。2第二類邊值問(wèn)題解的格林函數(shù)方法V內(nèi)有電荷分布 ，S上給定，求V內(nèi)相應(yīng)格林函數(shù)問(wèn)題 常數(shù)（在S上）只要知道和，即可馬上得到3格林函數(shù)方法求解討論（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有區(qū)域幾何形狀規(guī)則、簡(jiǎn)單才容易求解。電象法是求解格林函數(shù)的有效方法之一。（1） 格林函數(shù)方法也可用來(lái)解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題。由 第一類邊值問(wèn)題 第二類邊值問(wèn)題P§2. 6 電多極矩一 電勢(shì)的多極展開(kāi)1 小區(qū)域電荷分布：O若已知，則可通過(guò)求電勢(shì)。一般若體電荷分布不均勻或區(qū)域不規(guī)則，積分有困難，只有用計(jì)算機(jī)求解。但是在許多實(shí)際情況中，電荷分布區(qū)域的線度相對(duì)該區(qū)域到場(chǎng)點(diǎn)的距離很小，則可以最近似處理，解析求解。條件是線度與r滿足。最粗略的近似為，則。2 的麥克勞林展開(kāi)（1） 一元函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式（在坐標(biāo)原點(diǎn)展開(kāi)）（2） 三元函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)（3） 將在點(diǎn)展開(kāi)3 展開(kāi)后小區(qū)域電荷分布產(chǎn)生的電勢(shì)令 分