1.2D三重積分.ppt課件

1、第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三重積分 第十章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想類似二重積分解決問題的思想, 采用采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì)物質(zhì),),(Czyx求分布在求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的內(nèi)的物質(zhì)的可得可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量質(zhì)量 M .密度函數(shù)為密度函數(shù)為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義. 設(shè)設(shè)

2、,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素稱為體積元素, vd.dddzyx若對若對 作任意分割作任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在上的三重積分上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下以下“乘乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù),則存在則存在,),(使得使得vzyxfd),(Vf),(V 為為 的的體積體積, 積和式積和

3、式” 極限極限記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù)先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù)的密度函數(shù) , 方法方法:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zxyDD

4、yxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度微元線密度記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為

5、為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度zd記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 投影法投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyx

6、zzzyxf)()(21dxyxyybaxd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為非負(fù)函數(shù)均為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 小結(jié)小結(jié): 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzy

7、xfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應(yīng)根據(jù)具體計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法三種方法(包含包含12種形式種形式)各有特點各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 其中其中 為三個坐標(biāo)為三個坐標(biāo)例例1. 計算三重積分計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .(三次積分法三次積分法)1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d103

8、2d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 求求,d22VvzxV是由錐面是由錐面 x2 + z2 = y2 與與平面平面 y = 1 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 （先一后二）（先一后二）（P124例例2）解解:V:V是一個是一個 z x z x 型區(qū)域，它由邊界曲面型區(qū)域，它由邊界曲面22zxy是的邊界曲線給出因此方程圍成與DDzxy,1,122于是平面上的投影在.zxVI122zxdyDdxdzzx22Ddxdzzxzx)1 (2222)(用極坐標(biāo)1020)1 (rdrrrd

9、6截面法適用于以下情況：截面法適用于以下情況： ( P126 )（1Dz 容易確定且是較規(guī)則的區(qū)域如橢圓域）容易確定且是較規(guī)則的區(qū)域如橢圓域）（2f(x, y,z)對對x, y的依賴關(guān)系較簡單，最好是的依賴關(guān)系較簡單，最好是 f 與與x, y無關(guān)，這時可簡化為無關(guān)，這時可簡化為Vvzfd)(bazzSzfd)()(其中其中 S(z)是是 Dz 的面積。特別，取的面積。特別，取 f 1，從上式得，從上式得VvVdbadzzS)(此即平行截面體的體積公式。此即平行截面體的體積公式。xyz例例3. 計算三重積分計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd

10、2cczczbazd)1(222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4：求柱面：求柱面 x2 + y2=a2 與與x2 + z2= a2 所圍區(qū)域所圍區(qū)域V的的體積。（體積。（a 0) ( P125例例3 )解：解：V是一是一 xy 區(qū)域，它的區(qū)域，它的“底與底與“頂分別為頂分別為2222xazxaz與，而，而V在在xy 平面上的平面上的投影投影D是圓域是圓域 x2 + y2a2 .于是于是Vdvvaaxaxaxaxadzdydx22222222316)(83022adxx

11、aaoxyz2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積分利用柱坐標(biāo)計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點就稱為點M 的柱坐標(biāo)的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為坐標(biāo)面分別為圓柱面圓柱面常數(shù)半平面半平面常數(shù)z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 如下圖如下圖, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zzdddzvdddd因而因而zyxzyxfddd),(),(zF其中其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡

12、單積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.zdddxyzodd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 其中其中為由為由例例5. 計算三重積分計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面柱面cos2成半圓柱體成半圓柱體.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 o oxyz例例6. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面

13、坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中由拋物面由拋物面42rzvdddd原式原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 利用球坐標(biāo)計算三重積分利用球坐標(biāo)計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點就稱為點M 的球坐標(biāo)的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面球面常數(shù)半平面半平

14、面常數(shù)錐面錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xyzo如下圖如下圖, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為在球面坐標(biāo)系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.dddsin2rrd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 計算三重積分計算三重積分,)(222zdydxd

15、zyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下在球面坐標(biāo)系下 （P132例例7）:zyxzyxddd)(222所圍立體所圍立體.40Rr 020其中其中 與球面與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例8.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立體位于立體位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用對稱性利用對稱性, 所求立體體積為所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar

16、,202020dsin20d4yoz面對稱面對稱, 并與并與xoy面相切面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔被積函數(shù)形式簡潔, 或或坐標(biāo)系坐標(biāo)系 體積元素體積元素 適用情況適用情況直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說明說明: :三重積分也有類似二重積分的換元積分公式三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)雅可比行列

17、式為對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離變量可分離.圍成圍成 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三重積分的對稱性三重積分的對稱性1、變量位置的對稱性也稱變量可輪換性）：設(shè)、變量位置的對稱性也稱變量可輪換性）：設(shè)0),(zyx由表示表示, ,若將若將x x 和和y y 位置交換后，位置交換后，則仍表示 0),(zyxdvzxyfdvzyxf),(),(2、奇偶對稱性：設(shè)、奇偶對稱性：設(shè) 關(guān)于關(guān)于 yOz 面對稱，那么面對稱，那么dvzyxf),(為奇函數(shù)關(guān)于當(dāng)xf01),(2為偶函數(shù)關(guān)于當(dāng)xfdvzyxf2,zxz1. 將將. )(),(Czy

18、xf用三次積分表示用三次積分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個平面六個平面圍成圍成 ,:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設(shè)設(shè), 1:222zyx計算計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zoxy23. 設(shè)設(shè)由錐面由錐面22yxz和球面和球面4222zyx所圍成所圍成 , 計算計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 備用題備用題 1. 計算計算,ddd12zyxxyI所圍成所圍成. 其中其中 由由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 則有則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁計算較繁! 采用采用“三次積分較好三次積分較好.1zx