函數(shù)單調(diào)性極值最值與凹凸性拐點(diǎn)1

1、函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法 一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法 二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abba證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理,得得

2、)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)

3、在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(:d又又二、單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題問(wèn)題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的符

4、號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2例例3

5、3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:d)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 例例4 4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x,

6、0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式根的個(gè)數(shù)和證明不等式.思考題思考題 若若0)0( f，是是否否能能斷斷定定)(xf在在原原點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分小小的的

7、鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增？思考題解答思考題解答不能斷定不能斷定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)

8、間為單調(diào)區(qū)間為_ _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_._.二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當(dāng)當(dāng)4 x時(shí)，時(shí)，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361si

9、nxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根. .五、五、 設(shè)設(shè))(xf在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf , ,試證試證 明：對(duì)于明：對(duì)于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1

10、 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習(xí)題答案練習(xí)題答案 3 3、在、在32,2 kk上單調(diào)增加上單調(diào)增加, , 在在22,32 kk上單調(diào)減少上單調(diào)減少, ,), 2, 1, 0( k. .四、四、(1)(1)ea1 時(shí)沒(méi)有實(shí)根；時(shí)沒(méi)有實(shí)根；(2)(2)ea10 時(shí)有兩個(gè)實(shí)根；時(shí)有兩個(gè)實(shí)根；(3)(3)ea1 時(shí)只有時(shí)只有ex 一個(gè)實(shí)根一個(gè)實(shí)根. . 函數(shù)極值及其求法函數(shù)極值及

11、其求法 一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義 二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一

12、個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一

13、定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(xf在在0 x處

14、無(wú)極值處無(wú)極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的根求駐點(diǎn)，即方程;0)()2( xf符號(hào)干區(qū)間并判斷這些點(diǎn)將定義域分成若)( ) 3(xf.)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大

15、值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )

16、()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定

17、理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).m三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)

18、稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x為為)(xf的極小值點(diǎn)的

19、極小值點(diǎn)當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側(cè)側(cè)都都不不單單調(diào)調(diào).故命題不成立故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 一、一、 填空題：填空題：1 1、 極值反映的是函數(shù)的極值反映的是函數(shù)的 _性質(zhì)性質(zhì). .2 2、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在0 xx 可導(dǎo)，則它在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)0 x處到處到 得極值的必要條件中為得極值的必要條件中為_._.3 3、 函 數(shù)函 數(shù)32)1(2 xy的 極 值 點(diǎn) 為的 極 值 點(diǎn) 為 _ ；31)1(23 xy的極值為的極值為_._.4 4、 已知

20、函數(shù)已知函數(shù) 0, 10,)(3xxxxxfx當(dāng)當(dāng)_ x時(shí)，時(shí)，為極為極_ y小值 ； 當(dāng)小值 ； 當(dāng)時(shí)時(shí)_ x，為極為極_ y大值大值. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、求下列函數(shù)的極值：二、求下列函數(shù)的極值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 證明題：證明題：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23滿足條滿足條032 acb，則函數(shù)無(wú)極值則函數(shù)無(wú)極值. . 2 2、設(shè)設(shè))(xf是是有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)0)( xf， 則則0 x為為)(xf

21、的的極極值值點(diǎn)點(diǎn). .一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),無(wú)；無(wú)； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee; ;二、二、1 1、極大值、極大值 keky2422)24(, ,極小值極小值 ), 2, 1, 0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、極大值、極大值eeey1)( ；3 3、極小值、極小值1)0( y；4 4、極小值、極小值0)0( y. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題 一、最值的求法一、最值的求法 二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、最值的求法oxyoxyba

22、oxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點(diǎn)，則為零的點(diǎn)，則并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就那個(gè)小那個(gè)就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)二、應(yīng)用舉例例

23、例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計(jì)算計(jì)算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值求最值;小）值?。┲抵导礊樗蟮淖睿ɑ蜃钪导礊樗蟮淖睿ɑ蜃铧c(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐例例3 3 某房地產(chǎn)公

24、司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xr)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxr 101)20(1068)(xxxr570 x

25、 0)( xr350 x（唯一駐點(diǎn)）（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時(shí)收入最高元時(shí)收入最高.最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xr)(10890 元元 點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例4 4形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)上求一點(diǎn)，上求一點(diǎn)，曲邊曲邊成一個(gè)曲邊三角形，在成一個(gè)曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxy解解如圖如圖,),(00yxp設(shè)所求切點(diǎn)為設(shè)所求切點(diǎn)為為為則切線則切線pt),(2000 xxxyy ,200 xy ),

26、0,21(0 xa)16, 8(200 xxb ),0, 8(ctxyopabc)16)(218(212000 xxxsabc )80(0 x, 0)1616643(41020 xxs令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .274096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角形中面積的故故 s三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.思考題思考題 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大

27、大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？思考題解答思考題解答結(jié)論不成立結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn)因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn). .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f一、一、 填空題：填空題：1 1、最值可、最值可_處取得處取得. .2 2、函數(shù)、函數(shù)2332xxy ( (41 x) )的最大值為的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.3 3、 函數(shù)函數(shù)2100 xy 在在0,80,8上的最大值為上的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.4 4、 設(shè)有重量為設(shè)有重量為 5kg5kg 的物體

28、，置于水平面上，受力的物體，置于水平面上，受力f的作用而開始移動(dòng)，摩擦系數(shù)的作用而開始移動(dòng)，摩擦系數(shù) =0.25=0.25，問(wèn)力，問(wèn)力f與與水平線的交角水平線的交角 為為_時(shí)，才可使力時(shí)，才可使力f的大小為的大小為最小，則此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為最小，則此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為_，討論區(qū)間為討論區(qū)間為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 從一塊半徑為從一塊半徑為r的圓缺片上挖去一個(gè)扇形做成一個(gè)的圓缺片上挖去一個(gè)扇形做成一個(gè)漏斗，問(wèn)留下的扇形的中心角為漏斗，問(wèn)留下的扇形的中心角為_時(shí)，做時(shí)，做成的漏斗的容積為最大？此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為成的漏斗的容積為最大？此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為_考察區(qū)間為考察區(qū)間為_._.二、二、

29、求函數(shù)求函數(shù)xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求數(shù)列求數(shù)列 nn210的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) . .四、四、 要造一圓柱形油灌，體積為要造一圓柱形油灌，體積為v，問(wèn)底半徑，問(wèn)底半徑r和高和高h(yuǎn)等于多少時(shí)，才能使表面積最??？這時(shí)底直徑與等于多少時(shí)，才能使表面積最??？這時(shí)底直徑與高的比是多少？高的比是多少？五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )圍成一曲邊三角形圍成一曲邊三角形oab，在曲線弧，在曲線弧ob上求一點(diǎn)，使得過(guò)此點(diǎn)所作曲上求一點(diǎn)，使得過(guò)此點(diǎn)所作曲線線2xy 的切線與的切線與oa，ob圍成的三角形面積最大圍成的三角形面積最大. .一、一、1

30、 1、區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)；、區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)；2 2、最大值、最大值80)4( y, , 最小值最小值5)1( y；3 3、10,610,6； 4 4、)2, 0 ,sincos,arctan pf；5 5、 38, , )2 , 0( ,42464223 rv. .二、二、3 x時(shí)函數(shù)有最小值時(shí)函數(shù)有最小值 27.27.三、三、14.14.四、四、. 1:1:;22,233 hdvhvr五、五、)94,32(2aa. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn) 一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義 二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定 三、曲線的拐點(diǎn)及其求法三、曲線的拐點(diǎn)及其求法

31、四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、曲線凹凸的定義問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方abc定義定義的（或凸?。┑模ɑ蛲够。┥系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱如果恒有如果恒有的（或凹?。┑模ɑ虬蓟。┥系膱D形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有點(diǎn)點(diǎn)上任意兩上任意兩如果對(duì)如果對(duì)上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf)(,2

32、)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在一階和二階導(dǎo)數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxf

33、baxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導(dǎo)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則點(diǎn)則點(diǎn) )(,00 xfx是拐點(diǎn)的必要條件是是拐點(diǎn)的必要條件是0)(0 xf. .1 1、定義、定

34、義注意注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.2 2、拐點(diǎn)的求法、拐點(diǎn)的求法證證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩邊變號(hào)兩邊變號(hào)在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點(diǎn)是拐點(diǎn)又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號(hào)變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2