統(tǒng)計學第五章參數(shù)估計

1、第5章 參數(shù)估計1第一章第一章 緒論緒論第二章第二章 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的描述第四章第四章 抽樣與抽樣分布抽樣與抽樣分布第五章第五章 參數(shù)估計參數(shù)估計第六章第六章 假設檢驗假設檢驗第八章第八章 相關與回歸分析相關與回歸分析第九章第九章 時間序列分析時間序列分析第十章第十章 統(tǒng)計指數(shù)統(tǒng)計指數(shù) 第十一章第十一章 統(tǒng)計決策統(tǒng)計決策第5章 參數(shù)估計2案例：食品的包裝質量檢查案例：食品的包裝質量檢查 某食品公司生產(chǎn)的某規(guī)格袋裝食品，產(chǎn)量基本保持穩(wěn)定，規(guī)定每袋食品合格重量不低于100g。為對產(chǎn)品包裝質量進行檢測，該公司質檢部門采用抽樣技術：每天抽取一定數(shù)量的食品，檢測袋裝重量是否符合要求?，F(xiàn)某一天生產(chǎn)

2、的一批8000袋食品中采用不重復抽樣，隨機抽取了25袋檢查。 通過樣本觀測分析發(fā)現(xiàn)，平均每袋重量105.36g，檢測人員以95%的把握程度確信，該整批食品重量在101.45109.27g之間，且估計誤差不超過4g。 第5章 參數(shù)估計3學習目標學習要求：學習要求：理解參數(shù)估計的兩種方法 2類抽樣誤差的實質及計量掌握參數(shù)估計的優(yōu)良評判標準 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計方法 樣本容量的確定學習重點：學習重點：估計量的評判標準單一總體參數(shù)的區(qū)間估計學習難點：學習難點：單一總體參數(shù)的區(qū)間估計第5章 參數(shù)估計4第五章 參數(shù)估計 (Parameter estimation）第二節(jié) 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計第三節(jié) 樣

3、本容量的確定第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題第5章 參數(shù)估計5第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題二、參數(shù)估計的兩種方法一、估計量與估計值第5章 參數(shù)估計6一、估計量與估計值1 1、估計量、估計量( (estimatorestimator) )：用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量。估計量：總體參數(shù)：2、估計值（estimated value）：根據(jù)某一樣本數(shù)據(jù)計算出的指定估計量的具體數(shù)值。隨機變量隨機變量，具有自己的分布第5章 參數(shù)估計7二、參數(shù)估計的兩種方法（一）總體參數(shù)的點估計（point estimation）（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計（interval estimation）第5章 參數(shù)估計8（一）總體參數(shù)的點估

4、計（一）總體參數(shù)的點估計（point estimationpoint estimation）1 1、含義：、含義：利用樣本計算的估計值直接作為直接作為對應總體參數(shù)的取值。例如: 用樣本均值或中位數(shù)作為總體均值的估計值，用樣本比率作為總體比率的估計值，用修正樣本方差作為總體方差的估計值。2、實質：抽樣分布曲線上的一個確定數(shù)值（點）該估計值能不能直接作為真實的總體參數(shù)使用該估計值能不能直接作為真實的總體參數(shù)使用? ?第5章 參數(shù)估計93 3、估計量的優(yōu)良性準則（點估計）、估計量的優(yōu)良性準則（點估計）（1 1）無偏性（）無偏性（unbiasednessunbiasedness）：）：估計量抽樣分布的

5、數(shù)學期望（均值）數(shù)學期望（均值）等于被估計的總體參數(shù)。即：E() 可以證明，樣本均值、樣本比率、修正樣本方差分別是總體均值、總體比率、總體方差的無偏點估計。無偏無偏有偏有偏( )P第5章 參數(shù)估計10樣本均值的分布樣本均值的分布樣本中位數(shù)的分布樣本中位數(shù)的分布例：與正態(tài)分布的中位數(shù)相比，樣本均值是有效估計量（2 2）有效性（）有效性（efficiencyefficiency）基于相同樣本容量相同樣本容量計算的兩個無偏無偏估計量來說，方差方差較小較小的那個為有效估計量。即：若兩個無偏估計量，存在12Var() Var()，則前者為有效估計量。 ( )P第5章 參數(shù)估計11（3 3）相合性（一致性

6、）（）相合性（一致性）（consistencyconsistency）樣本容量越大，估計值越接近被估計的參數(shù)。AB小樣本容量小樣本容量大樣本容量大樣本容量 P(X )X第5章 參數(shù)估計12優(yōu)點： 參數(shù)與估計量結構設計一致 計算簡單，直接缺點： 沒有刻畫參數(shù)與對應估計值之間的誤差 沒有給出樣本與總體之間估計的把握水平（置信度） 4、點估計的特點：第5章 參數(shù)估計13（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計（interval estimationinterval estimation）1 1、含義：、含義：在對參數(shù)點估計的基礎點估計的基礎上，以一定的置信一定的置信度度估計出包含估計量與參數(shù)

7、二者誤差信息的區(qū)間區(qū)間。3、實質： 2 2、置信度（、置信度（confidence levelconfidence level）：）：表明估計量和總體參數(shù)的誤差不超過一定范圍的概率概率，記為1-。顯著性水平顯著性水平形式：估計值-允許出現(xiàn)的誤差，估計值+允許出現(xiàn)的誤差樣本隨機性估計量：隨機變量估計量：隨機變量（抽樣分布）（抽樣分布）估計誤差：估計誤差：隨機變量隨機變量第5章 參數(shù)估計144、原理：在一定概率下估計出包含參數(shù)在內的某一抽樣分布的區(qū)間均值的抽樣分布均值的抽樣分布xx-Ex+Ex理論上進行多次抽樣，估計參數(shù)時會有多大的概率使給出的估計區(qū)間包含真實參數(shù)在內？02/Z常用Z與置信水平的對

8、應關系（雙邊顯著性水平）Z=1， P =0.6827; Z=1.64， P=0.9；Z=1.96，P=0.95; Z=2，P=0.9545; Z=2.58，P=0.99; Z=3，P=0.9973/xZn/2xZn1-既定Z12/2/2/-Z68.27%x+x-x+2x-295.45%x第5章 參數(shù)估計175、區(qū)間估計的基本思路：思路：利用實際抽樣資料，計算出待估總體參數(shù)值在給定置信水平下的上限和下限，即參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍。 對于總體參數(shù)，計算出樣本的兩個估計值1和2，使被估計指標 落在區(qū)間1，2內的概率為1-，即P（ 1 2 )=1一。則稱區(qū)間1，2為總體指標的置信區(qū)間，其估計置信水平為

9、1一，稱為顯著性水平，1是置信下限， 2是置信上限。第5章 參數(shù)估計18第二節(jié) 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計一、抽樣誤差二、單一總體參數(shù)的區(qū)間估計第5章 參數(shù)估計19一、抽樣誤差（Sampling error）（一）有關誤差的概念1、抽樣誤差：是指由于隨機抽樣的偶然因素使抽樣估計值與總體參數(shù)之間存在的偏差。2、分類：l抽樣平均誤差：反映抽樣誤差一般水平的指標。 實質：估計量抽樣分布的標準差l抽樣允許誤差：極限誤差，抽樣允許的最大誤差 實質：估計區(qū)間的半徑第5章 參數(shù)估計20（二）抽樣平均誤差（二）抽樣平均誤差(Mean sampling error)不重復抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差和總體離散程度

10、、樣本容量、總體容量有關：重復抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差與總體離散程度以及樣本容量大小兩個因素有關：1、樣本均值x的抽樣平均誤差第5章 參數(shù)估計212、樣本比率p的抽樣平均誤差在不重復抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關：在重復抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差與總體的離散程度以及樣本容量大小兩個因素有關 ：第5章 參數(shù)估計223、抽樣平均誤差所反映的內容可通過調整樣本單位數(shù)來控制抽樣平均誤差。 重復抽樣條件下，樣本均值（比率）分布的平均誤差僅為總體標準差的 1n，不重復抽樣時誤差更小。4、影響抽樣誤差大小的因素：1）總體離散程度2）樣本容量n3）抽

11、樣方法4）抽樣調查的組織形式第5章 參數(shù)估計23例例1 1：假定重復抽樣方法下，樣本容量增加：假定重復抽樣方法下，樣本容量增加 2 2 倍、倍、0.50.5倍時，抽樣平均誤差怎樣變化？倍時，抽樣平均誤差怎樣變化？解解：抽樣單位數(shù)增加：抽樣單位數(shù)增加 2 倍，即為原來的倍，即為原來的 3 倍倍則：則：抽樣單位數(shù)增加抽樣單位數(shù)增加 0.5倍，即為原來的倍，即為原來的 1.5倍倍則：則：10 57733xxx.n即：即：當樣本單位數(shù)增加當樣本單位數(shù)增加2 2倍時，抽樣平均誤差為原來的倍時，抽樣平均誤差為原來的0.5770.577倍倍。即：即：當樣本單位數(shù)增加當樣本單位數(shù)增加0.50.5倍時，抽樣平均

12、誤差為原來的倍時，抽樣平均誤差為原來的0.81650.8165倍倍。10 81651 51 5xxx. n.第5章 參數(shù)估計24（三）抽樣允許誤差（三）抽樣允許誤差(Ultimate sampling error)(Ultimate sampling error)1、含義：進行區(qū)間估計時，對應于一定置信水平下允許出現(xiàn)的最大誤差允許出現(xiàn)的最大誤差范圍。 稱為總體均值的估計區(qū)間或置信區(qū)間。 稱為總體比率的估計區(qū)間或置信區(qū)間。2、抽樣允許誤差的表示：xEpE第5章 參數(shù)估計25（四）抽樣抽樣誤差與抽樣平均誤差的關系（四）抽樣抽樣誤差與抽樣平均誤差的關系以重復抽樣為例，樣本均值正態(tài)標準化后，滿足：/2

13、/xxxEEZn10/2Z/2Z22第5章 參數(shù)估計26二、單一總體參數(shù)的區(qū)間估計（一）總體均值或比率的區(qū)間估計（大樣本下）（一）總體均值或比率的區(qū)間估計（大樣本下）大樣本條件下，無論總體服從何種分布，根據(jù)大樣本條件下，無論總體服從何種分布，根據(jù)CLTCLT，都可以構造都可以構造正態(tài)分布正態(tài)分布進行參數(shù)估計。總體標準差進行參數(shù)估計?？傮w標準差如果未知，則用樣本修正方差進行點估計。如果未知，則用樣本修正方差進行點估計。(0,1)xxZN(0,1)ppZN第5章 參數(shù)估計271 1、已知抽樣允許誤差，估計給定誤差下的區(qū)間、已知抽樣允許誤差，估計給定誤差下的區(qū)間抽取樣本，計算樣本估計量計算樣本估計量

14、（如均值或比率），作為相應總體參數(shù)的點估計值。若總體標準差已知，進入下一步。否則， 計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的抽樣極限誤差，估計參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計區(qū)間。將抽樣極限誤差除以抽樣平均誤差求求Z Z值值，查標準正態(tài)分布概率表求出相應的置信水平置信水平。給出結論結論。 第5章 參數(shù)估計28例2：對某型號電子元件進行耐用性能檢查，抽查的資料分組列表如下，要求耐用時數(shù)的允許誤差為10.5小時，試估計該批電子元件的平均耐用時數(shù)。總體均值的區(qū)間估計（已知抽樣允許誤差）12251175112510751025 975 925 875組中

15、值x100合計 11200以上 31150-1200 91100-1150 431050-1100 351000-1050 6950-1000 2900-950 1900以下 元件數(shù)f耐用時間（小時）105550 1225 3525 10125 46225 35875 5850 1850 875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f第5章 參數(shù)估計29解：依據(jù)已知計算樣本均值和標準差作為總體均值和標準差的點估計值： 因此可以作如下估計，即以概率為95.45%的保證程度，

16、估計該批電子元件的耐用時數(shù)在1045-1066小時之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構造總體均值的估計區(qū)間：計算z值：計算樣本均值的抽樣平均誤差：下限為上限為對應置信水平為0.9545。第5章 參數(shù)估計30抽取樣本，計算樣本估計量計算樣本估計量（均值或比率），作為相應總體參數(shù)的點估計值。若總體標準差已知，進入下一步。否則， 計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差計算樣本標準差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的置信水平,反查標準正態(tài)分布概率表得到Z Z值值。用抽樣平均誤差乘Z值計算抽樣極限誤差計算抽樣極限誤差，估計參估計參數(shù)的區(qū)間數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計區(qū)間。得出結論結論。2、已知置信水平，估計給定概率下

17、的區(qū)間、已知置信水平，估計給定概率下的區(qū)間例3：某紗廠某時期內生產(chǎn)10萬個單位的紗，按隨機不重復抽樣方式抽取2000個單位檢驗，結果合格率為95%。試以95%的把握程度，估計該批紗合格品率及合格品數(shù)量的區(qū)間范圍。解：已知100000N2000n95p% %51 p110 950 052000120001000000 48pppNnnN.().%21 960 480 94p/pEZ.%.%合格率區(qū)間下限：0 9 50 0 0 9 49 4 0 6ppE.%合格率區(qū)間上限：0 9 50 0 0 9 49 5 9 4ppE.%因此以95%的置信水平估計該批紗合格率在94.06%和95.94%之間，合

18、格品數(shù)量在9406095940個之間。合格品數(shù)量上限：個）(94060%06.94100000 x個）(95940%94.95100000 x合格品數(shù)量下限：樣本比率的抽樣平均誤差：195% 由得Z/2=1.96第5章 參數(shù)估計32（二）總體均值的區(qū)間估計（小樣本下）（二）總體均值的區(qū)間估計（小樣本下）小樣本條件下，總體若服從正態(tài)分布，但標準差未小樣本條件下，總體若服從正態(tài)分布，但標準差未知，則構造估計量的知，則構造估計量的t t分布進行參數(shù)估計。分布進行參數(shù)估計。 (1)/xtt nsn1 0/ 2t/ 2t22第5章 參數(shù)估計33正態(tài)分布的小樣本條件下，均值區(qū)間估計步驟：正態(tài)分布的小樣本條

19、件下，均值區(qū)間估計步驟：抽取樣本，計算樣本估計量計算樣本估計量（如均值或比率），作為相應總體參數(shù)的點估計值。計算樣本標準差計算樣本標準差。根據(jù)給定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，確定t值。估計參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間下限和上限，給出估計區(qū)間。給出結論結論。應用：P140第5章 參數(shù)估計34根據(jù)置信水平和自由度，根據(jù)置信水平和自由度，推算推算 分位數(shù)分位數(shù)。（三）總體方差的區(qū)間估計（三）總體方差的區(qū)間估計抽取樣本，抽取樣本，計算修正樣本方差計算修正樣本方差，作為總體方差的，作為總體方差的點估計值。點估計值。2給出給出估計區(qū)間估計區(qū)間222210 21給出給出結論結論。22222122(1)(1),(1)(1)nsnsxnxn解：依