振動系統(tǒng)地運動微分方程的題目解

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔解:系統(tǒng)具有一個自由度，選復(fù)擺轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，原點及向如如題4-1圖所示。復(fù)擺在任意位置下，根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程JOM得到復(fù)擺運動微分方程為P22(Ca ) Pa cos g22或(ca)gacos 0質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為c，在固定平面上作無滑動滾動,解：系統(tǒng)具有一個自由度，選為廣義坐標(biāo)。半圓柱體在任意位置的動能為:用瞬心法求VC:3-1復(fù)擺重P,對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為C,質(zhì)心距轉(zhuǎn)動軸的距離為a,復(fù)擺由水平位置其中JO-(Ca2)g無初速地釋放，列寫復(fù)擺的運動微分方程。3-2均質(zhì)半圓柱體，質(zhì)心為C,與圓心Oi的距離為e,柱體半徑為R，質(zhì)量為m，對3-2圖所示，列寫該系統(tǒng)的運動

2、微分方程。T - mvC2題 3-13-1 圖2實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔12 2m(e R2 Recos2系統(tǒng)具有理想約束，重力的元功為mgesin d應(yīng)用動能定理的微分形式dT要點及討論(1)本題也可以用平面運動微分方程求解。系統(tǒng)的受力圖與運動分析圖如圖(b)所示。列寫微分方程mxCFmyCN mg2mCF(R ecos )Nesin上述方程包含Xc，yc，F(xiàn)，N五個未知量,必須補(bǔ)充運動學(xué)關(guān)系才能求解。建立質(zhì)心坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系XcResi nycRecosXRecosycesi n所以(CC )2(e2R22Recos )m(e22R22Recosmgesin d2 2m(e R等式兩邊

3、同除m(e2R2C) ddt,C)2mRecos2mRecosmRe2 .sin2mRe sinmgesin dmges in0，等式兩邊同除故微分方程為m(e2R2若為小擺動sin2Recoscos2C) mRe1，并略去二階以上微量，上述非線性微分方程可線性化,2sin mgesin系統(tǒng)微擺動的微分方程為(Rr)2Cge 0實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔xCR ecos esin. 2yCesi necos運動學(xué)方程式與方程聯(lián)立，消去未知約束力N,F，就可以得到與式相同的系統(tǒng)運動微分方程。因為在理想約束的情況下，未知約束力在動能定理的表達(dá)式中并不出現(xiàn)，所以用動能定理解決已知力求運動的問題更簡便、直接

4、。(2)本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。題 3-33-3 圖解：系統(tǒng)具有一個自由度，選為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)在任一位置的動能為T1mvC2丄J22JC由瞬心法求質(zhì)心的速度Vc2，JC-ml2，12系統(tǒng)的動能T2m(e2R22Recos )選半圓柱體中心Oi所在平面為零勢面，系統(tǒng)的勢能VT V E12 2m(e R2mgecos2 Recos )12 2-mCmgecos 2兩邊對時間t求導(dǎo)數(shù)，即可得到與式相同的運動微分方程。3-3均質(zhì)桿AB,長I,質(zhì)量為m，沿光滑墻面滑下，如題3-3圖所示。設(shè)水平面也為光滑的。列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔由動能定理dT W所以系統(tǒng)的運動微分方程為要點

5、及討論2 2計算剛體動能，式中Jc*Jcmd為剛體對瞬心的轉(zhuǎn)動慣量，d為質(zhì)心與瞬心間的距離。所以、T 12系統(tǒng)的主動力圖為圖（a）1. 2 2ml3所示。重力的元功為mg drcmg*sin d1d(21ml23mg1sin d2?32gsinl在本題中質(zhì)心的速度Vc也可用式vC1 .xcsin2yccos2ycy2計算。其中丄2丄2COSsin、坐標(biāo)原點、坐標(biāo)向。廣義坐標(biāo) 的選擇一般不是唯一的， 例如在本題中也可選桿與水平線的夾角為廣義坐標(biāo)，向如圖（b）所示（順時針），廣義坐標(biāo)選定后其它運動量（位移及位移的一階、二階導(dǎo)數(shù)）都根據(jù)廣義 坐標(biāo)確定（包括大小與向）（2）所謂廣義坐標(biāo)應(yīng)包含坐標(biāo)值（線

6、位移或角位移）。如質(zhì)心C的位移與速度，向應(yīng)如圖所示，大小分別為J d2d系統(tǒng)的動能1 -ml3主動力的元功lmg 3 cos根據(jù)動能定理建立的方程為d（i】ml2 2)3mg cos d所以（1）平面運動剛體可用式T12JC*實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔Mxm(xxrcos整理后可分別列寫兩個方程1 、21(M m)x2 23 mxrmxxrcos2mgxrsinMx m(x xrcos ) C式中為系統(tǒng)微分方程的首次積分，對時間3(m M)2-2 mcost求導(dǎo)后，即可得到系統(tǒng)運動微分方程。1&坐丄0cos要點及討論3 g cos2 l“一”號說明當(dāng)取正值時 為負(fù)，即反時針方向。(3)本題也

7、可用平面運動微分方程求解，讀者試列出方程。3-4如題3-4圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m,半徑為r，沿傾斜角為的三角塊作無滑動滾動，質(zhì)量為M的三角塊置于光滑的水平面上。列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。mgxrsin，水平方向動量守恒。PxC解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選 外力為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒：X、xr為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)具有理想約束,且在水平方向的T1Mx&221m()&2& cos )22(&sin )1mr22X XL L2rMx2 121M)&22m&121m&2mX&rcos1m&243m&22m&2題 3-

8、43-4 圖實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔（1）在理想約束的情況下，動能定理建立了系統(tǒng)的動能與主動力之間的關(guān)系，直接給出了系統(tǒng)的速度（或角速度）與位移（或角位移）之間的關(guān)系，對時間t求導(dǎo)一次可得到系統(tǒng)的運動微分方程。（2）用動能定理建立系統(tǒng)運動微分方程的步驟為：1分析系統(tǒng)受力，在理想約束的情況下只有主動力作功，所以一般在受力圖上只畫主動力。2建立廣義坐標(biāo)，確定其原點和向；分析系統(tǒng)運動，重點是分析速度（角速度），將速度（角速度）用廣義速度表示。3計算系統(tǒng)在任意位置的動能，將動能表示為廣義坐標(biāo)、廣義速度的函數(shù)。4計算力的功，若用積分形式動能定理，則計算主動力在有限路程上的功，若用微分形式的動能定理，則計算力

9、的元功。5應(yīng)用動能定理建立系統(tǒng)的受力與運動間的關(guān)系。（3）在理想約束、主動力又為勢力的情況下，可用機(jī)械能守恒定律建立系統(tǒng)運動微分 方程。（4）對于多自由度系統(tǒng)，如兩個自由度系統(tǒng)，動能定理只給出一個方程，必須與其他 定理，如動量定理或動量矩定理聯(lián)合應(yīng)用，才能得到另外一個方程。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3-5題3-5圖所示為剛性建筑模型。剛性基礎(chǔ)質(zhì)量為m，剛性建筑的質(zhì)量為M，對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為lc。兩剛體在0處鉸接并附有剛度系數(shù)為ki的扭轉(zhuǎn)彈簧。其他參數(shù)如圖示。設(shè)地基有水平運動z（t），試建立系統(tǒng)微幅運動微分方程。圖中kk2-,ci也實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔題 3-53-5 圖題3-5圖(b)、(c)所示

10、。對于圖(b)，建立剛體的水平運動微分方程為mx k(x z) c(x z) Fox(1)對于圖(c):建立剛體在鉛垂平面的運動微分方程為MxcFoxMycFoyMgIcFoyasinFxacos(4)其中XC、yc及x均是對固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)，同時考慮到微小運動的假說，于是有xCx a sin x aycacos a由方程 、消去未知力，F(xiàn)ox并考慮式 得又由方程 、(3)和消去未知力Foy、Fox，并考慮式 和(6)，得方程(7)和(8)為系統(tǒng)微幅運動微分方程，若令x和 為確定系統(tǒng)位置的廣義坐標(biāo)，寫為矩陣形解：應(yīng)用牛頓矢量力學(xué)建立剛體運動的微分方程時,首先要畫出每個剛體的受力圖，如(M m)

11、x Macx kx cz kzMax (IcMa2)(k1Mga) 0(8)實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔那么，方程 和(8)改寫為矩陣形式如下:實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔(M m)Maxc0 xMa(ICMa2)00(9)k0 xcz kz0 (k1Mga)0由此例題可以看出，應(yīng)用牛頓矢量力學(xué)建立系統(tǒng)的運動微分方程， 一定要畫受力圖，于 是必然要涉及未知約束力， 因此較為繁瑣，特別是該例中的組合剛體系統(tǒng)更是如此。 然而對 于多自由度系統(tǒng)，應(yīng)用拉格朗日方程建立運動微分方程較為簡單。另解：由動靜法得，以整體為研究對象X 0mX& MX& k(x z) c(X Z) Ma %osM &as

12、in 03-6題3-6圖所示兩端簡支的均勻梁， 已知彎曲剛度為 布載荷為F(y,t)。試用哈密頓原理求運動方程。以M為研究對象：g 0Mxa cos Ma亀Ic凰Mga sink1Q很小sin=,cos=1又忽略高階小量&,所以以上兩式化簡后得：(m M)舷Ma毅c(& & k(xz) 0Max& (IcMa2)險(k1Mga)0化成矩陣形式為：(M m)Maxc 0Ma(ICMa2)0 0EI，單位長度的質(zhì)量為m，分實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔解：若梁的撓曲函數(shù)為w(y,t),則動能為l2mw0(y,t)dyS2.4-2應(yīng)變(勢能)為lEIw02(y,t)dy(b)題

13、 3-63-6 圖外力功lo F(y,t)w(y,t)dy(c)將式(a)、 式(b)與式(c)代入變分式t2t1(Tt2)dtat1Adt(d)得到t2lmwawdydt0ti對式(e)進(jìn)行分部積分運算，得到lmwawdy0t2t2t1t2tilEIw0aw dydtlmwawdydt0t2t2t1lF (y,t)awdydt 00(EIw )aw 0dt(e)(f)t2(EIw )aw0dtt1l(EIw )awdydt0lF (y, t)awdydt 0W0由于，t t1t2時，哈密頓原理要求t2t1lmwawdydt0til(EIw )awdydt0t2w= 0,因而式(f)變?yōu)閠2t

14、1(EIw )aw 0dtt2(EIw )aw0dtt1t2t1lF(y, t)awdydt 00(f)因為，t1與t2區(qū)間的虛位移w不可能為零,由此，得到梁的邊界條件(CEI m )aW(CEIW)aW00(h)與運動方程mw (EIw ) F(y,t)(i)兩端簡支的梁，顯然是滿足邊界條件式(h)的。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3-7應(yīng)用拉格朗日方程導(dǎo)出題4-7圖所示系統(tǒng)的運動微分方程。題 3-73-7 圖則系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能為計算拉格朗日方程中的各項導(dǎo)數(shù)如下:dTT門q1X1m1x1;0dtX1X1V一k1X1k2(X2X1) (k1k2)X1k2x2X1dTTq2X2m)2X2 0dtX2X

15、2Vk2(X2X1)k3(X3X2)k2x1(k2k3)X2k3X3X2dTT門q3X33X3；0dtX3X3Vk3(X3X2)k4(X4X3)k3X2(k3k4)X3k4x4X3dTT cq4X4m4x4;0dtX4X4Vk4(X4X3)k4x3k4x4解：取各質(zhì)量偏離其平衡位置的XI、X2、X3、X4為廣義坐標(biāo)。即qiXi123,4(1)1m1X11m2X2212m3X321m4X421k2(X2X1)2X2)12才4(X4 X3)實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔X4實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔將以上各項導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程得m1x1(kik2)xik2X20m2x2k2x-!(k2k3)X2k3X303X3

16、k3X2(k3k4)X3k4X40m4x4k4X3k4X40寫成矩陣形式mq kq 0其中m10000m200m質(zhì)量矩陣00m30000m4k1k2k200k21 k2k3k30k剛度矩陣0k3k3k4k400k4k4TqXiX2X3X4位移列陣實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3-8在地震研究中，建筑物可簡化為支承在兩彈簧上的質(zhì)量為m的剛體，其中直線彈 簧的彈性系數(shù)為k,扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù)為kT，如題3-8圖所示。設(shè) IG為建筑物相對質(zhì)心G的轉(zhuǎn)動慣量，試?yán)米鴺?biāo)x(相對于平衡位置的直線運動)及描述建筑物轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)，求出運動方程。(a)題 3-83-8 圖解：運動的分離體圖如圖(b)所示。地震中可設(shè)為微小角

17、度，因此m(x h ) kxIGm(x h )hkTmgh因此運動方程為mh hx kx 02 2mh A1m A2kA202 2 2mh A2(mhIG) A1(mgh kT)A10則頻率方程為(b)2mhx (mh IG)(mgh kT)0如果Asin t, x A2sin t,則/ZZZ實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔mh2km2(mh2IG)2(mghkT)mh2)2(k m2)(mh2IG)2(mghkJ 0(mh2實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔mlG2(mkh2另解：動靜法得。以剛體 m 為研究對象：X0m&hcos mx& m&hsinkx 0叫0m品2lG皺kTmxhcosm

18、ghsin0Q很小sin=,cos=1又忽略高階小量&，所以以上兩式化簡后得：mhX& (mh2IG)& (mgh kT)0圖中：kx、m x應(yīng)反向。方程應(yīng)為mh hx kx 02mhx (mh IG) (mgh kT)0mh& mX& kx 02IGk m gh mkT) mghk kkT03-9為了使結(jié)構(gòu)隔離機(jī)器產(chǎn)生的振動，將機(jī)器安裝在一很大的機(jī)座上，機(jī)座由彈簧支承，如題3-9圖所示。試求機(jī)座在圖示平面的運動方程。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔題 3-93-9 圖解：選擇坐標(biāo)qi、q2、qa，這些坐標(biāo)已能完全描述該系統(tǒng)的運動，并相互獨立。設(shè)機(jī)器和機(jī)座的總質(zhì)量為

19、M，總質(zhì)量對質(zhì)心G點的慣性矩為 IG,則121212T二Mqj-Mqf二Lq：22212121212V - k1（q1bqa）僉勺dqa）k2（q2aqa）- k2（q2aqa）2222式中，V為貯存在彈簧中的勢能。有:由拉格朗日方程得則運動方程為為q2aqaX4q2aqax2xa0* y40y2q bqayaqdqaI)q1q2qaVq1k1(q1bqa) kjdqa)Vqa2k2q22k2aqaVqakQ bqa) kjd(qdqa) akzGaqa) ak?( q?aqa)實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔Mq12k1q1k1(b d)q30Mq22k2q22ak2q3022203 kb d)q12a

20、k2q2(b d沐&2a kzq?0因此系統(tǒng)具有三坐標(biāo)耦合的運動方程。假定qiA sin t，由頻率方程可求出系統(tǒng)的各階固有頻率。3-10題3-10圖是一個帶有附有質(zhì)量m1和m2上的約束彈簧的雙擺，采用質(zhì)量的微小水平平動X1和X2為坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)運動的作用力方程。WWW解：禾U用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣 k。設(shè)Xi1, X20，分別畫出mi與m2的受力圖，并施加二物塊力kn,k2i，列平衡萬程,對mi:實用標(biāo)準(zhǔn)文案0精彩文檔Y0 ,T1cos1T2cos2m1g 0對m2:X0 ,k21T2sin20Y0 ,T2cos2m2g 0設(shè)X0,X21, 分別畫出m1與m2的受力圖, 并施加二

21、物塊力k12, k22, 列平衡方程,對m1:X0 ,k12T2sin0Y0 ,T1T2cosgg 0對m2:X0,k22k2T2sin0X 0,k11T|sin1T2sin2k10題 3-103-10 圖實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3-11題3-11圖為一剛性桿豎直支承于可移動的支座上，剛桿頂面和底面受水平彈簧 的約束，質(zhì)心C上受水平力Pc和扭矩Me的作用。設(shè)剛桿長度、橫截面積和質(zhì)量密度分別 為I、A及， 以質(zhì)心c的微小位移xc與c為坐標(biāo)，列出系統(tǒng)運動的作用力方程。解：設(shè)XC質(zhì)心的水平位移與C相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為 廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣 k。設(shè)Xc1,C0，畫出受力圖，并施加物體力與力

22、偶kii,k2i，列平衡方程，X 0，k11k1k20Mc0，k21k1- k202 2設(shè)Xc0,c1，畫出受力圖，并施加物體力與力偶k12Y 0，N mg 0k12, k22，列平衡萬程,1sin tan ，解得,2T2COS由，sin1tan11 .，sin2l111，COS，COS1COS212,(mi1kn km2)gm2gI2，k21I1得作用力方程為k1(gm2)gmi0XfII10m2x2m2gm2g，k12m2g,m2gk22k2I2I2I2，m2gm2gI2I2X1R(t)k2m2gX2P2(t)I2m2g 0tan21,k12題 3-113-11 圖實用標(biāo)準(zhǔn)文案0精彩文檔得作用力方程為3-12題3-12圖是兩層樓建筑框架的示意圖，假設(shè)梁是剛性的，框架中各根柱為棱柱運動X1及X2為坐標(biāo)，列出系統(tǒng)運動的位移方程。廣義坐標(biāo)如圖（a）示。利用剛度影響系數(shù) 法求剛度矩陣 k。設(shè)X11, X20，畫出受力圖，并施加物體力kn , k21，列平衡方程，可得到knkk2，k21k2同理可求得k12, k22。最后求得剛度矩陣為k1kiiMe0,k1k2,k21(k2 ki)2，ki222丄k244(k2 ki)2，k22(kik2)4mgl2lA00Al312Xeekik2(k2lki