北航線代期末考試模擬題1(含答案)

1、Ai線性代數(shù)期末考試模擬題、單項(xiàng)選擇題1 .設(shè)A為3階方陣,數(shù)=2, |A| =3,則I A| =(A. 24; B.24; C. 6; D.6.A22. 設(shè) A 為 n 階方陣，ni+n 2+n3=n,且 |A| 0,即 A則 A-1=(A11A11A21C. AA31A31A31A21A11A13. 設(shè)A為n階方陣,A的秩R(A)=rv n,那么在A的n個(gè)列向量中(A .必有r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；B .任意r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；C. 任意r個(gè)列向量都構(gòu)成最大線性無(wú)關(guān)組；D. 任何一個(gè)列向量都可以由其它r個(gè)列向量線性表出.4 .若方程組AX=0有非零解,則AX= P (工0 ()A .必有無(wú)窮多

2、組解；B .必有唯一解；C .必定沒(méi)有解；D . A、B、C都不對(duì).1 1 21, 1； C. 1,2, 3； D. 2, 1, 35.設(shè)A、B均為3階方陣,且A與B相似,A的特征值為1,2, 3,則(2B)-1 特征值為(A. 2, 1, 32且 R (A) =R (B),則(階矩陣,6.設(shè)A, B為nA. AB=BA;B .存在可逆矩陣P,使P-1AP=B;C. 存在可逆矩陣D. 存在可逆矩陣C, 使 CTAC=B;P、Q,使 PAQ=B.7實(shí)二次型 f x1,x2,x3x12 2x22 x32 2x1x2 是（A 正定二次型 ;B .半正定二次型; C.半負(fù)定二次型;D 不定二次型 .A

3、的列向量線性相關(guān)，B的行向量線性相關(guān)； A 的列向量線性相關(guān) ,B 的列向量線性相關(guān)； A的行向量線性相關(guān)，B的行向量線性相關(guān)；A 的行向量線性相關(guān) ,B 的列向量線性相關(guān) .8 .設(shè)A, B為滿足AB=0的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有（ABCD、填空題1若行列式的每一行（或每一列）元素之和全為零，則行列式的值等于2.設(shè)n階矩陣A滿足A2A+3E=O,貝U A-1 =3. 設(shè) 10, 3, 1, 22 1,1,TT2, 4 , 33, 0, 7, 13, 則123 的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組為4. 設(shè) 0 是非齊次方程組 AX=b 的一個(gè)解向量，12n r 是對(duì)應(yīng)的齊次方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則r

4、線性與之對(duì)應(yīng)的_矩陣 A 的特5. 設(shè) 1 , 2 為 n 階方陣 A 的兩個(gè)互不相等的特征值，特征向量分別為 X1, X2,則X1+X2征向量。，6.設(shè)A為n階方陣，若A有特征值1 , 2, , n,則| A2+E|=7. n維向量空間的子空間W=(x1，,X2,X2Xn)：XX2XnXn 0 0的維數(shù)是8.設(shè) A (3), B3,4 3, 1 3 2 9 3)如果 A|=1,那么|B| =三、解矩陣方程2XAXB，其中X1X2X3設(shè)方程組X1X2X3X1X22X3問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，(1)方程組有唯一解；(2)方程組無(wú)解；(3)方程組有無(wú)窮多解，求其通解(用解向量形式表示)四、1,六、 設(shè) 1

5、(1,1,1) ， 2 (0,1,2)， 3 (2,0,3)是 R 3中的向量組，用施密特正交化(1) 寫(xiě)出此二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 A; 求一個(gè)正交變換x=Q y,把二次型f(xi, X2, X3)化為標(biāo)準(zhǔn)型.方法把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交組 .七、設(shè)A為n階方陣,求證：A = A的充分必要條件是： R(A)+R(A-E) = n.1. B2.C3.A1.2.01 2E3.試題一參考答案4.D5.B6.D7.A8.A4.5.無(wú)關(guān)不是6.(121)(n 1)7.8.2XAXB，得(2EA)XB.因?yàn)閨2EA|所以矩陣2E A可逆,(2EA)1B(2EA)* B|2E A|1)(1021)(4)2(1)(1當(dāng)

6、A0,即(12)(102)01且10時(shí)，有唯一解.當(dāng)(1)(10 )0且(1)(4)0，即10時(shí)，無(wú)解.22當(dāng)(1)(10 )0且(1)(4)0,即1時(shí)，有無(wú)窮多解22此時(shí)，增廣矩陣為X1221原方程組的解為X2k11 k2 00X301051五.1.二次型f所對(duì)應(yīng)的矩陣為：A1 5332.可求得det(A E)(4)(9),于是A的特征值10，24,3 9，111特征向量P11，P21 ,P31201將其單位化得1/761/72q1p1/76q1/72P12/76P201/73q3P31/73.P31/73(ki,k2 R)33 ,3故正交變換為:2111X1苗近屈y1111X276近73y2,X3201y376.解：易驗(yàn)證1 1,2, 3線性無(wú)關(guān),令11 (1,1,1),六2212，11 , 13,2標(biāo)準(zhǔn)型:(2,0, 3)2， 212( 1,0,1)從而可施行施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化(0,1,2) 3(1,1,1) (1,0,1)，33，111, 15 -(1,1,1)31.充分性R(A)+R(A-E) = n 可得:故A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量七.證法由n - R(A)+n - R(A -E) = n則方程組AX=0與(A-E)X=0兩個(gè)解空間的維數(shù)之和為n,i 0i 1,2, ,n分別屬于特征值0,1存在P(P可逆),使得：P-1A