第四章習題與復習題詳解線性空間)----高等代數(shù)

1、習題5. 11.判斷全體n階實對稱矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.答是.因為是通常意義的矩陣加法與數(shù)乘，所以只需檢驗集合對加法與數(shù)乘運算的封閉性.由n階實對稱矩陣的性質(zhì)知，n階實對稱矩陣加n階實對稱矩陣仍然是 n階實對稱矩陣， 數(shù)乘n階實對稱矩陣仍然是 n階實對稱矩陣，所以集合對矩陣加法與數(shù)乘運算封閉 ，構(gòu)成實 數(shù)域上的線性空間.2.全體正實數(shù)R+,其加法與數(shù)乘定義為a 田 b =abk 0 a = ak其中a,b亡Rtk亡R判斷R+按上面定義的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間因為 /a,b 迂 r+二 ab =ab r +Va R,a 迂 R += A0a = a 幾迂

2、所以R塢定義的加法與數(shù)乘運算封閉(1)下面一一驗證八條線性運算規(guī)律a Ob =ab =ba =b0 a ;(a b)c =(ab)c =(ab)c =abc =a(bc) =a (b C);R + 中存在零元素 1, V a c R有a1=a”1=a；對r+中任一元素a，存在負元素a亡Rn,使aa=aa4=1;Jd(5)12 =a =a ；n / M卒(6) A I：(A 0a )=J： a =! a= aP =(汕 fl a；J(7) (a + 卩)i：a =a + 4 =aa =a a = aS a 卩()a ；(8)(ab) =)0 (ab) =(ab 十=ab =a b =a Oa a

3、 Ob.所以R+對定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間3.全體實n階矩陣，其加法定義為A B =AB BA按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間T A B = A B BAB A B* A(B AB BA”A B與B 不一定相等.故定義的加法不滿足加法的交換律即運算規(guī)則（1）,全體實n階矩陣按定義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間4.在P2涙中，W=a/|A =0,A迂P濮判斷W是否是P哄的子空間.例如2和Q 2丿1的行列式都為零，但3丿(24X列式不為零,也就是說集合對加法不封閉.習題5.2aj,A3的線性相關(guān)性.解 設為 A +X2A2+X3A3+X4A4+X2 +X3

4、+X4 Xt +ax2 +X3 +X4 Xt +x2 +ax3 +X4 捲 +x2 +x3 + ax4=0=0=0=0由系數(shù)行列式=(a +3)(a-1)3知，a HQ且aH1時，方程組只有零解，這組向量線性無關(guān);a =_3或a =1時,方程組有非零解，這組向量線性相關(guān)2.在R4中，求向量0在基（/2,03,口4下的坐標.其中a =解 設 a =為01 +乂22 +x3a3 +x4a4由(8 a2 a3 a4: a彳2 1 0010 0 01:11110初等行變換一0 10 000 3 0-100 0 10-1J 10-11丿0 0 0 10得 a =80（3.故向量 a在基 5, 2, a3

5、, oq下的坐標為(1,0 , - 1 , 0 ).3.在P2獎中求a =6基b丿3 4（1-10 V下的坐標.0J解 設 a =XiOti +X2a2 +X3a3 +X4a4I 為 +0X2 +X3 +X4 =2I X1 X2 -Xa +0X4 =3% +X2 +0X3 +0X4 =4為 +0x2 +0x3 +0x40A101A002 y0003初等行變換01001140010-217p00130 1000得 a = -7(/1+112-2103 +30(/4.故向量a在基gg下的坐標為(-7, 11, -21, 30).74.已知R3的兩組基f1L耳=|1，02= 0，=l0t1丿I1丿(

6、n) ：(V2，P2= 3，P 3 =44；(1)求由基（I）到基（n）的過渡矩陣;已知向量a在基a“企心彳下的坐標為10 ,求a在基取p2,P3下的坐標；I-1丿解（1）已知向量P在基P1,P2,P3下的坐標為求在兩組基下坐標互為相反數(shù)的向量I211-1求P在基8,（/2,03下的坐標；I2丿C是由基（I）到基（n）的過渡矩陣，由（p1,p2,p3）=（a1,a2,a3）C=11L -1 1丿11、-n23f234、知基（）到基（n）的過渡矩陣為C = |1100I213401-10111韻b1v431V-10-b（2）首先計算得C-=f 1201J32-132-2于是a在基Pi, p2,

7、P3下的坐標為C-r1丿3201（3） P 在基 a2c ,a3下的坐標為C I1II2丿=1 1I設Y在基Pi,需，p3下的坐標為234、iy2,據(jù)題意有10-10|y2=j -y2 ,L 0 一1 丿y丿日3丿”Y=4kp2 -3kP3 =k1 y2=k i 411rQ1k為任意常數(shù).W丿解此方程組可得0 , k為任意常數(shù).5 .已知Px4的兩組基232（I） ： f1（x） =1 +x+x +x , f2（x） =X +x , f3（x） =1 -X, f4（x） =10110111、Z1000 :1110、 P1-1-101011初等行變換0100 :00-11+11001101001

8、0 :011-210001110丿0001 :4-1-1-13有(1,X, X2令 11131 0 11、10 11231-1-10= (1,x,x , X )110 1110 01110,10 0 03，X )/.Cc1+3g)=0,a, P)弓.(2) ；(a,鬥=1X3 +2X1 +2X5 +3x1=18,|叫=/2 +22 +22 +32 =屆，I 円| =a/3 +12 +512 =6,18兀二 e, P J =arccos1= =.6山84(3) ；(a, P )=1X3+1X1 +1X(_1)+2X0 =3,| = 丁1 +1 +1 +4 =萬 , I P| =(9 +1 +1

9、+0 =711,”(a, P) =arccos3=J773.設0, P, Y為n維歐氏空間中的向量，證明：d(S P)d(a,Y)+d(V P).證明 因為I aP2 =|a -Y + Y _P|2 =(a -Y + Y -P,a -Y + Y- P)=3 -Y, a -Y)+(a -7 Y-P)+(Y-P,a -Y)+(Y-P,Y-P)=(a S _丫)+2(a-7| p-P|+|7-P-I2+2-V| 屮-P|)2,從而 d(a,P)d(a,Y)+d(Y,P).習題5.51.在R4中，求一個單位向量使它與向量組a(1,1,-1-，a2 =(1,1,1,1 )，a3= (1,1,1,1)正父

10、.解 設向量a =(Xi, X2 ,X3,X4)與向量 W2, g正交，則有(Ct, aj =0心,口2)=0(gOa) =0x + x 廠X 歹X p0 即彳XlX -X 3x =40(*).XiX 尹X 歹X =40齊次線性方程組(*)的一個解為Xt =X2 =X3 =兀=1.取a =(1,1,1,1),將向量a單位化所得向量a*=(1,1,1,1)即為所求.2 2 2 22.將R3的一組基cti卩、亠 心3 = I -1化為標準正交基.III解(1 )正交化，取P2 =2(險02)n麗卩1I1丿1X1+1X2 +1x11x1 +1x1 +1x1-3233丿1)cf0 )(認)p丄(02,

11、02)2 打 V丿1 2 10 + 2X(1) +(1)X1 _0_3(-1)2+白2+(-1)2333323二丿2丿1(2 )將P1，P2，P3單位化f 1 762761f 1 7201J2丿則B：禺*, K為R3的一組基標準正交基.3.求齊次線性方程組I Xl +X2 -X3 +X4 -3X5 =0W +X2 -X3+ X5 =0的解空間的一組標準正交基 分析因齊次線性方程組的一個基礎解系就是其解空間的一組基，所以只需求出一個基礎解 系再將其標準正交化即可解對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個基礎解系V100015*3 =00041丿e丿J丿

12、由施密特正交化方法，取彳/2、-1/31,g+知1/2，K 卩 2=-1/3011/30045小丿.1丿Pi f =將Pl, %, P3單位化得單位正交向量組1/2i-1/3、11/2廠T/301P*J3，32用1/30043丿.1丿因為齊次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以 是解空間的一組標準正交基 3.設aa；，an是n維實列向量空間 Rn中的一組標準正交基，A是n階正交矩陣， 證明：Ax1, At;，Aotn也是Rn中的一組標準正交基.證明 因為,（/；,，otn是n維實列向量空間 Rn中的一組標準正交基，所以(ctiCtj) 0=（i j 1山；，n又因為A是n

13、階正交矩陣,所以AtA = E.(AsZ) =(As)T(Aaj)iT(ATAj故A*i,Af , Aotn也是Rn中的一組標準正交基.5設 gjg是3維歐氏空間V的一組標準正交基，證明H.j(i，j= 1，|；|，n，i = I111A =3（紹 g 7），P；匕（納 _a；說3），P3 TS3；亠3）也是V的一組標準正交基.證明由題知（；（冃，P；，P3 ）=（5，02，口3 F ；3r1；-1；1、-；-；因為 隅,a； ,03是一組標準正交基，且-；-11、-；的行向量組是單位正交向量組I-1；所以和-j ；-1；都是正交矩陣.從而（XP；，P3也是正交矩陣.所以取P；，P3是單位正交

14、向量組，構(gòu)成V的一組標準正交基.習題五(A)一、填空題1.當k滿足時，S =(1,2,1 )02 =(2,3,k=(3,k,3 為 R3的一組基.三個三維向量為 R3的一組基的充要條件是|ai,a2,a3|工0 , g卩kHZ且kH6.2.3.由向量a= (1,2,3 )所生成的子空間的維數(shù)為向量a =(1,2,3 )所生成的子空間的維數(shù)為向量組a的秩，故答案為1.R3中的向量 a = (3,7,1 在基 4 =(1,3,5 )口2 =(6,3,2 )(/3 =(3,1,0下的坐標為根據(jù)定義，求解方程組就可得答案設所求坐標為(X1,X2,X3),據(jù)題意有a為了便于計算，取下列增廣矩陣進行運算仔

15、613100154 (矢耳耳山)=h337初等行變換【0110七2,251丿0133丿所以(X1,X2,X3)= (33,-82,154).4.R3中的基 1,逐，爲到基 S =(2,1,3 )2 =(1,0,1 嚴3-2-2 -1-210-5,所以過渡矩陣為10-521-b1-b=(-2, -5, -1 的過渡矩陣為因為(6 ,(/2,03)=($, 3)5.正交矩陣A的行列式為atA =|e|= IA解四個四維向量不是R4的一組基的充要條件是妝1,0r(D) s解A, B為同階正交矩陣二AB（AB）T =ABBTAT =AAT =E故選（C）.7.線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣（A）一定

16、不可逆（B） 定可逆（C）不一定可逆（D）是正交矩陣(B)1.已知R4的兩組基(I) ：% 企，3, 4(n) :R =6 +2 +a3 +a4, 02 =口2 中耳中訊，卩3 二氓 +4, P4（1 ）求由基（n）到（I）的過渡矩陣;（2 ）求在兩組基下有相同坐標的向量解（1）設C是由基（I）到基（n）的過渡矩陣,已知(P1，P2，P3, P4)=(8,02,03，%)0011000b所以由基（n）到基（I）的過渡矩陣為01-10001T000（2）設在兩組基下有相同坐標的向量為又設a在基（I）和基（n）下的坐標均為（X1,X2,X3,X4）,由坐標變換公式可得pe1X2=cX2X3X3(E

17、 -C)|X2X3=0 ( *)齊次線性方程（*）的一個基礎解系為 n =（0,0,0,1）,通解為X* = （0,0,0, k） （k迂R）.故在基（I）和基（n）下有相同坐標的全體向量為a 二也 +02 +03 +&4 = kot4(k 亡 R).2.已知a02,03是R3的基，向量組3, p2,p3滿足Pl+p3= 8機2機3,P1 + 氏=口2 畑，P2 + P3 = 5+03（1）證明p1,氏，p3是R3的基；求由基 百，P2, P3到基8,4,03的過渡矩陣；求向量a= 8 +2ot2 -（/3在基,艮，03下的坐標.解（1 ）由題有（2 ）因為11f1(P1, P2, P3)I0

18、I1p=,2,(X3) 11I1=（8亠如=（日衛(wèi)衛(wèi)）|-1I1=(Pl, P2, P3)=(102,3)r011I _1-1000121012丿011200121012H0,所以Pi,p2,p3線性無關(guān)故Pl, P2, P3是3個線性無關(guān)向量，構(gòu)成R3的基0QaS) =(P1,P2, P3)|-11-10020丿1-100 r200所以從基B,氏，訊到基6 gg的過渡矩陣為-1 DV1Q7(3) a =8 + 2(X2 口3 =( ai,a2，a(1、3)I 2 =( P1 , p2 , p3)I-1丿*0-111-10丫12=(P 1,p2,p3)i-5人一1丿I1丿f2 所以向量a在基R

19、, ft,p3下的坐標為!I1丿3.設R4的兩組基8,(/2,口3, 04與P1 =|2l01。丿(2、101。丿,P3 =且由基Sq, g到基Pl, P2, P3, P4的過渡矩陣為(2101。心01(2丿11000031心02b0、052丿(1 求基 0,g,g, g;求向量a = 01*5 +3 -24在基p1, p2, p3, p4下的坐標.解(1)因為由基Sg到基02,03, P4的過渡矩陣為2101110000310052丿,所以,(/2,/3,(/4)=(Pi, P2, P3, P4)C(1 2 0 0 ：”.向量 = 8中口2中03-204在基P1,P2,P3,P4下的坐標為1

20、124.證明(x) =1 +x+ X2, f2(x) =1 +x+ 2x2,f3(x) =1 +2x+3x2是線性空間 Px3的一組基， 并求f(x) =6+9x+14x2在這組基下的坐標.證明 設 tifi(X)+t2f2(X)+t3f3(X)=0,貝y有 ti(1 +x + x) +t2(1 +x + 2) +13(1 +2x +3x2)=0I 卄2 +t3 =0即牡 +12 +2t3 =0 (*)因為系數(shù)行列式IR + 2t2 +3t3 =0所以方程組（* ）只有零解.故fi （x）, f2（X）, f3（X）線性無關(guān)，構(gòu)成線性空間Px3的一組基.設 f(x) =yifi(x)+y2f2(x) +y3f3(x)/ 、 y1y2=2丿3丿% 中y2 中y3 =6則有 f %+丫2 +2y3 =9 =M +2y2 +3y3 =14所以 f(x)在基 fi(x), f2(x), f3(x)下的坐標 為(1,2, 3).5.當a、b、c為何值時，矩陣A =是正交