高中數(shù)學(xué)知識點大全—圓錐曲線

1、 高中數(shù)學(xué)知識點大全圓錐曲線一、考點（限考）概要：    1、橢圓：      （1）軌跡定義：           定義一：在平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大于焦距2c。用集合表示為：；           定義二：在平面內(nèi)到定點的距離和它到一條定直線的

2、距離之比是個常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。              用集合表示為：；     （2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：                     注意：當(dāng)沒有明確焦點在個坐標(biāo)軸

3、上時，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個。       （3）參數(shù)方程：（為參數(shù)）；     3、雙曲線：       （1）軌跡定義：            定義一：在平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表示為：      &

4、#160;     定義二：到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫焦點，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。               用集合表示為：       （2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：          

5、0;                注意：當(dāng)沒有明確焦點在個坐標(biāo)軸上時，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個。                    4、拋物線：         （1）軌跡定義

6、：在平面內(nèi)到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點是焦點，定直線是準(zhǔn)線，定點與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為：        （2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：                           焦點坐標(biāo)的符號與方程符號一致，與準(zhǔn)線方程的符號相反； 

7、;             標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的字母與對稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致；              標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，有別于一元二次函數(shù)的圖像；二、復(fù)習(xí)點睛：    1、平面解析幾何的知識結(jié)構(gòu)：        &

8、#160;        2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請記熟 “六點六線，一個三角形”，即六點：四個頂點，兩個焦點；六線：兩條準(zhǔn)線，長軸短軸，焦點線和垂線PQ；三角形：焦點三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個圖中找到。                     3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當(dāng)e0，c0，橢圓圓，直至成為極限位置的圓，則認(rèn)為圓是

9、橢圓在e=0時的特例。當(dāng)e1，ca橢圓變扁，直至成為極限位置的線段，此時也可認(rèn)為是橢圓在e=1時的特例。     4、利用焦半徑公式計算焦點弦長：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則弦長              這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。     5、若過橢圓左（或右）焦點的焦點弦為AB，則；   

10、0; 6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點八線，一個三角形”，即：四點：頂點和焦點；八線：實軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點弦、垂線PQ。三角形：焦點三角形。                      7、雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。    

11、; 8、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b。     9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?。    10、過雙曲線外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：       （1）P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分

12、別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；       （2）P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；       （3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；       （4）P為原點時不存在這樣的直線；   11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點兩線，一個直角梯形”，即：兩點：頂點和焦

13、點；兩線：準(zhǔn)線、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。              12、對于拋物線上的點的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡化計算；   13、拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且 ，則有如下結(jié)論：          14、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線；   15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代

14、點相減法：即設(shè) 為曲線上不同的兩點，是的中點，則可得到弦中點與兩點間關(guān)系：         16、當(dāng)涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù)（即設(shè)而不求）；二是點差法，即設(shè)出交點坐標(biāo)，然后把交點坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減后，再求相關(guān)參數(shù)。在利用點差法時，必須檢驗條件0是否成立。5、圓錐曲線：      （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：，其中F為定點，d為點P到定直線的l 距離， e為常數(shù)，如圖

15、。                          （2）當(dāng)0e1時，點P的軌跡是橢圓；當(dāng)e1時，點P的軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時，點P的軌跡是拋物線。      （3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不因為位置的改變而改變。     

16、;      定性：焦點在與準(zhǔn)線垂直的對稱軸上             橢圓及雙曲線：中心為兩焦點中點，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對稱；             橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對稱，關(guān)于中心為中心對稱；       

17、0;     拋物線的對稱軸是坐標(biāo)軸，對稱中心是原點。          定量：                   （4）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變）          以

18、焦點在x軸上的方程為例：                6、曲線與方程：    （1）軌跡法求曲線方程的程序：         建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；         設(shè)曲線上任一點（動點）M的坐標(biāo)為(x,y)；     &

19、#160;   列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0；         化簡方程f(x,y)=0為最簡形式；         證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上；   （2）曲線的交點：        由方程組確定，方程組有幾組不同的實數(shù)解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點。二、復(fù)習(xí)點睛

20、：   1、圓錐曲線：用不通過圓錐面頂點的平面去截該圓錐面時所得到的截痕（根據(jù)截的方法不同，可得到不同的截痕），總稱為圓錐曲線。    （1）用不平行于母線的平面去截圓錐時，如果截痕全在頂點的一側(cè)，則得到的圖形是橢圓；如果截痕出現(xiàn)在兩側(cè)，則得到的圖形是雙曲線；    （2）用平行于母線的平面去截圓錐時，得到的圖形則是拋物線；    （3）用平行于底面，或垂直于軸的平面去截時，得到的圖形則是圓；這些曲線的方程都是二次方程，所以圓錐曲線又稱為二次曲線。   2、研究圓錐

21、曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。掌握橢圓，雙曲線，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要理解它們的意義，不僅要掌握怎么依據(jù)這些定義得到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)方程的，也要能依據(jù)定義去處理一些有關(guān)的概念性問題，還要注意區(qū)分不同曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同特點，方程的系數(shù)的不同的意義，并能結(jié)合圖形認(rèn)識這些導(dǎo)致之間不同的關(guān)系，從而能迅速而正確的求出相關(guān)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。   3、以標(biāo)準(zhǔn)方程為依據(jù)，研究圓錐曲線的性質(zhì)，對圓來講比較簡單，仍然要注意適當(dāng)運用平面幾何中已學(xué)過的知識和方法，對于橢圓、雙曲線、拋物線來講，則要注意標(biāo)準(zhǔn)方

22、程不同形式時，所得性質(zhì)的不同表示，復(fù)習(xí)中要注意從數(shù)和形兩個方面都有所理解，并使之結(jié)合，達(dá)到能熟練的由標(biāo)準(zhǔn)方程，得出有關(guān)圓錐曲線幾何性質(zhì)的要求，還能由給出圓錐曲線的某些性質(zhì)，正確求出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程   4、用解析法研究圓錐曲線的性質(zhì)，重點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，這里的基本要求是會利用方程組判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，會求直線被圓錐曲線所截得的弦的長，中點坐標(biāo)，會處理圓錐曲線的有關(guān)對稱問題，以及其他一些綜合問題。而綜合問題大致可分三類：一類是研究對象的綜合，一個問題中同時出直線或圓錐曲線中的某幾種，二是研究課題的綜合，既研究求方程或其他有關(guān)軌跡的問題，又研究有關(guān)的性質(zhì)問題

23、，三是數(shù)學(xué)思想方法的綜合，研究過程中要求對數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程思想，函數(shù)思想等等作綜合運用，復(fù)習(xí)中不應(yīng)過于強調(diào)題型，過于強調(diào)不同題型和方法的對照，而要著眼于對問題的全面分析，把解析幾何的基本思想，基本知識和方法，怎么用于問題解決中去的思考上   5、涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題，橢圓和雙曲線的兩個定義間是等價的，它們是這兩種曲線不同的定義方式。   6、直線和圓錐曲線位置關(guān)系      （1）位置關(guān)系判斷：法（適用對象是二次方程，二次項系數(shù)不為0）。    

24、   其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一種情形下，消元后關(guān)于或方程的二次項系數(shù)為0。直線和拋物線只有一個公共點，包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；后一種情形下，消元后關(guān)于或方程的二次項系數(shù)為0。     （2）直線和圓錐曲線相交時，交點坐標(biāo)就是方程組的解。  7、求軌跡方程的常用方法：  （1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；  （2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系

25、數(shù)。  （3）定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；  （4）代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程； （5）參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 （6）注意：      如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，

26、還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。      曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.      在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.      如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么