吳可 金融衍生產(chǎn)品保值與套利技術(shù)第10-14章習(xí)題解答

1、1. 一家英國(guó)跨國(guó)公司，其在美國(guó)的子公司準(zhǔn)備在紐約州信貸市場(chǎng)上借入2400萬美元，期限為年，利息每半年支付一次，借款年利率為5%，而該公司的英鎊借款利率為3%；一家美國(guó)跨國(guó)公司在英國(guó)的子公司準(zhǔn)備借入2000萬英鎊信貸資金，期限也是年，利息每半年支付一次，其借款年利率為6%，而該公司的美元借款利率為4%。目前即期匯率為1英鎊=1.2美元，一家英國(guó)銀行愿意提供貨幣互換安排，并按互換金額的0.05%獲得收益。請(qǐng)回答并計(jì)算下列問題：中介銀行將如何安排兩家公司的借款？若中介銀行安排兩家公司均分節(jié)約成本，各自的利息應(yīng)如何支付？為兩家公司設(shè)計(jì)一個(gè)互換協(xié)議。2. 公司X和公司Y可按如表10-8所示的利率接到2

2、000萬美元5年期的貸款。表10-8 X、Y公司銀行借款利率固定利率浮動(dòng)利率公司X12.0%LIBOR+0.1%公司Y13.4%LIBOR+0.6%公司X想獲得浮動(dòng)利率貸款；公司Y想獲得固定利率貸款。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)互換，一家銀行作為中介，凈收益為年率0.1%，并且使得該互換對(duì)X、Y雙方有同樣的吸引力。3. 甲公司在三年前借入了一筆期限為五年、年利率為9.35%、金額為5000萬美元的債務(wù)，而現(xiàn)在借入同樣期限、同樣金額的債務(wù)只需支付8%的年利率。甲公司準(zhǔn)備再借入一筆金額相同、期限為三年的新債。假設(shè)你是金融工程師：(1)請(qǐng)你為甲公司設(shè)計(jì)一種能同時(shí)實(shí)現(xiàn)以下兩個(gè)目標(biāo)的互換合約。在剩下的兩年時(shí)間里，原有的債

3、務(wù)成本應(yīng)降低到8.8%。 兩年以后按浮動(dòng)利率(LIBOR+0.1%)借入的三年期債務(wù)的成本也應(yīng)降低到8.45%。(2)假定你愿意承擔(dān)的最大損失為1.5%，后三年的LIBOR分別為7.8%、8%、8.1%。問這筆互換你是否愿意做？如果不愿意，為什么？如果愿意，五年中你的利率收益總和為多少？請(qǐng)畫出該互換合約流量示意圖，并說明方案實(shí)現(xiàn)的前提條件。4. 請(qǐng)闡述無套利合成定價(jià)的基本方法。5. 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里交易者具有什么特征？為什么說在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下求得的衍生產(chǎn)品定價(jià)結(jié)論可以“放之四海而皆準(zhǔn)”？6. 請(qǐng)闡述B-S模型對(duì)金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的巨大貢獻(xiàn)意義。7. 某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股

4、息，該股票目前市價(jià)等于30元，所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，請(qǐng)問：該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始值等于多少？3個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到35元，無風(fēng)險(xiǎn)利率仍為6%，此時(shí)遠(yuǎn)期價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？1. 請(qǐng)寫出布朗運(yùn)動(dòng)、一般維納過程以及伊藤過程的模型，并解釋其含義。2. 試述伊藤引理得到的結(jié)論。3. 理解B-S模型的推導(dǎo)原理及方法。4. 請(qǐng)解釋風(fēng)險(xiǎn)中性世界的內(nèi)涵。5. 為什么在風(fēng)險(xiǎn)中性世界下推出的期權(quán)定價(jià)公式在現(xiàn)實(shí)世界里也是成“真”的？6. 如何運(yùn)用二叉樹模型為期權(quán)進(jìn)行定價(jià)？請(qǐng)闡述它與B-S模型的關(guān)系。10.

5、計(jì)算基于無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格，其中執(zhí)行價(jià)格為50元，現(xiàn)價(jià)為50元，有效期為3個(gè)月，無風(fēng)險(xiǎn)年收益率為10%，年波動(dòng)率為30%。11. 若兩個(gè)月后預(yù)期支付的紅利為1.5元，則上題中的計(jì)算會(huì)有何變化？12. 有一個(gè)無紅利支付股票的期權(quán)，股票價(jià)格為30美元，執(zhí)行價(jià)格為29美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，年波動(dòng)率為25%，到期日為4個(gè)月。試計(jì)算下列三種情況的期權(quán)價(jià)格：歐式看漲期權(quán)；美式看漲期權(quán)；歐式看跌期權(quán)。試檢驗(yàn)看漲-看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系是成立的。1、答案 （1）英國(guó)公司按3%的利率水平借入英鎊，換出給美國(guó)公司；美國(guó)公司按4%的利率水平借入美元，換出給英國(guó)公司；雙方均以較低利率貸款，并經(jīng)過互換后

6、得到了自己希望得到的貨幣。見下圖：公 司美元借款利率英鎊借款利率節(jié)約英國(guó)5%3%2%美國(guó)4%6%2%（2） 銀行收益要求：0.05%，其余收益=3.95%英國(guó)公司、美國(guó)公司各得1.975%英國(guó)公司美元貸款利率為5%，節(jié)約1.975%，實(shí)際利率為3.025%；美國(guó)公司英鎊貸款利率為6%，節(jié)約1.975，實(shí)際利率為4.025%。（3）互換協(xié)議英美兩家公司分別以優(yōu)勢(shì)貨幣貸款后通過銀行互換，并通過銀行互換利息。英國(guó)公司按年利率3.025%向互換銀行支付利息，美國(guó)公司按年利率3%向互換銀行支付利息；銀行以3%向英國(guó)公司支付利息，以4%向美國(guó)公司支付利息銀行從美國(guó)公司收取4.025%的利率，并以3%換給英

7、國(guó)公司，收益1.025%；從英國(guó)公司收取3.025%，以4%換給美國(guó)公司，損失0.975%；凈收益0.05%。2、答案：A公司在固定利率貸款市場(chǎng)上有明顯的比較優(yōu)勢(shì)，但A公司想借的是浮動(dòng)利率貸款。而B公司在浮動(dòng)利率貸款市場(chǎng)上有明顯的比較優(yōu)勢(shì)，但A公司想借的是固定利率貸款。這為互換交易發(fā)揮作用提供了基礎(chǔ)。兩個(gè)公司在固定利率貸款上的年利差是1.4%，在浮動(dòng)利率貸款上的年利差是0.5。如果雙方合作，互換交易每年的總收益將是1.4%0.5%=0.9%。因?yàn)殂y行要獲得0.1%的報(bào)酬，所以A公司和B公司每人將獲得0.4%的收益。這意味著A公司和B公司將分別以LIBOR0.3%和13%的利率借入貸款。合適的協(xié)

8、議安排如圖所示。 12.3% 12.4% 12% A 金融中介 B LIBOR+0.6% LIBOR LIBOR4、其基本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則的話，就可以進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險(xiǎn)收益。5、風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者對(duì)自己承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)并不要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，這樣的世界里,投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要補(bǔ)償,所有證券的預(yù)期收益率都是無風(fēng)險(xiǎn)利率.風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下得到的衍生物估值同樣可以應(yīng)用于非風(fēng)險(xiǎn)中性的世界.真實(shí)世界里的投資者盡管在風(fēng)險(xiǎn)偏好方面存在差異,但當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí),投資者無論風(fēng)險(xiǎn)偏好如何都會(huì)采取套利行為,消除套利機(jī)

9、會(huì)后的均衡價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān),羅斯(Ross,1976)嚴(yán)格證明了這一邏輯。6、1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了兩位美國(guó)學(xué)者，哈佛商學(xué)院教授羅伯特·默頓(RoBert Merton)和斯坦福大學(xué)教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)。他們創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克斯克爾斯期權(quán)定價(jià)模型(Black Scholes Option Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場(chǎng)的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ)。7、答：（1）2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=元遠(yuǎn)期價(jià)格若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)

10、格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)格為0。（2）3個(gè)月后的2個(gè)月派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值元。 遠(yuǎn)期價(jià)格元此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值=元。1、 中文名稱：布朗運(yùn)動(dòng)英文名稱：Brownian motion 定義：懸浮在流體中的微粒受到流體分子與粒子的碰撞而發(fā)生的不停息的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。 若一個(gè)隨機(jī)過程X(t),t0滿足： 其中：a、b為常數(shù)。a稱為期望漂浮率，b為期望方差率。 一般維納過程的漂移率期望為a，方差為。X(t）關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。 則稱X(t),t0是維納過程（Wiener process）或布朗運(yùn)動(dòng)。日本數(shù)學(xué)家伊藤發(fā)展建立了帶有布朗運(yùn)動(dòng)干擾項(xiàng)的隨機(jī)微分方程，。參數(shù)a和b是標(biāo)的變量x和時(shí)間t的函數(shù)。 ，其中 該方程

11、描寫的過程是伊藤過程(Ito)。伊藤過程可看成為一般化的維納過程，它直接把布朗運(yùn)動(dòng)理解為隨機(jī)干擾，從而賦予了布朗運(yùn)動(dòng)最一般的意義。2、如果x遵循隨機(jī)過程，通過伊藤引理可以推導(dǎo)出G(x,t)遵循隨機(jī)過程。由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此隨機(jī)過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。證券價(jià)格遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，衍生證券價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格之間存在函數(shù)關(guān)系，數(shù)學(xué)家伊藤證明了衍生證券價(jià)格的隨機(jī)過程可以由標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的隨機(jī)過程推導(dǎo)出。另外，伊藤引理在期權(quán)定價(jià)理論中起著十分重要的作用。 Black-Scholes正式利用該引理推導(dǎo)出B-S方程的，而后者又是導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。3、假定股票價(jià)格服

12、從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即. S為t時(shí)點(diǎn)股票價(jià)格，為漂移量，為波動(dòng)率，z為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。使用伊藤公式。然后用無套利原理求得BSPDE。4、在這個(gè)世界里，不管個(gè)體投資者各自的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平和期望回報(bào)率的差異，統(tǒng)一以風(fēng)險(xiǎn)中性偏好和無風(fēng)險(xiǎn)利率來代替，進(jìn)行定價(jià)。在無套利的前提下，定價(jià)是惟一的，風(fēng)險(xiǎn)中性世界中定出的價(jià)格也是現(xiàn)實(shí)世界中的價(jià)格，所以可以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中對(duì)現(xiàn)實(shí)世界里衍生證券進(jìn)行定價(jià)。5、同上的第5題6、二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi)，股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格。對(duì)于美式權(quán)證，由于可以提前行權(quán)，每一節(jié)點(diǎn)上權(quán)證的理論價(jià)格應(yīng)為權(quán)證行權(quán)收益和貼現(xiàn)計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格兩者較大者。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型和布萊克-休爾斯期權(quán)定價(jià)模型，是兩種相互補(bǔ)充的方法。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)比較簡(jiǎn)單，更適合說明期權(quán)定價(jià)的基本概念。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給