第三章 內(nèi)積空間 正規(guī)矩陣 Hermite矩陣

1、 第三章 內(nèi)積空間 正規(guī)矩陣 Hermite矩陣31 (1)證明：= ，()，因為A為正定H矩陣，所以，當(dāng)且僅當(dāng)由上可知是酉空間。証畢。 （2）解： ，由Cauchy-Schwarz不等式有：32解：根據(jù)核空間的定義知道N(A)是方程組33（1）解：由|E-A| = (+1)得 = 1是A的特征值，當(dāng)1時，可得|E-A|于是（0，1，0）是A的特征向量。選擇與正交，并且互相也正交兩個向量組成酉陣：U= 則U*A U= 取A= ，|E- A| = (+1) = 1是A的特征值。當(dāng)1時，可得|E- A|，于是， （ -，）是A的特征向量，選擇與正交的向量組成酉陣U = ，U*AU = =33（2）

2、解：首先求出其特征多項式 34證明：由教材定理3.4.9可知正交投影矩陣為,其中35（1）解：易證是Hermite矩陣.35（2）解： 35（3）解：35（4）解：36（1）解： 36（2）解:37（1）解：37（2）解法仿37（1）解題方法.38證明：由于n階酉矩陣U的特征值不等于1，所以由此可知為滿秩矩陣.39 證明：令，又S，T分別是實對稱矩陣和反實對稱矩陣，即有，則有，因為顯然有，同理可得，即，即證。310 證明：必要性 由于相似矩陣具有相同的特征值，所以A與B的特征值相同. 充分性 A,B均為實對稱矩陣，所以分別存在正交矩陣使得311 證明:必要性 由于相似矩陣具有相同的特征值，所以

3、A與B的特征值相同. 充分性 A,B均為實對稱矩陣，所以分別存在酉矩陣使得3-12證明：（1）必要性：因為A，B是正規(guī)矩陣，所以存在使得，存在使得又因為A酉相似于B，所以存在，使得所以又因為，所以可記為：即A與B特征值相同。（2）充分性：存在使得，存在使得因為所以即A酉相似于B。3-13 證明： A是Hermite矩陣，則存在，使得UAU=diag（，）則A=,由=A可得A=， ，,從而可知0，1是A的特征值,取，得出UAU=，題目得證。3-14 證明：A是Hermite矩陣，則存在，使得則，則-1和1為A的特征值，可記， ，即有UAU=題目得證。3-15 解：（僅供參考） 3-16 解：于是

4、 其中 .由于A為一個Hermite矩陣，所以A可以酉對角化.A的特征值的正交單位特征向： A的特征值的單位特征向：，于是3-17 證明：3-18 證明：令，顯然P為Hermite矩陣而且正定唯一，A正定A的特征值全大于0。所以A可逆，P可逆；所以AB與BA 相似，則AB與BA的特征值相同，也為H矩陣的特征值為實數(shù)，所以AB，BA的特征值都是實數(shù)3-19 證明：由于A是一個半正定的Hermite矩陣，所以A的n個特征值均為非負(fù)實數(shù)，又由于，于是不能全為零，3-20 證明：3-21證明：由，所以，由題314可知，的特征值為又是正定的，所以的特征值全部為1，則存在所以可得 即證。322證明：（1）

5、令A(yù)，B為半正定Hermite矩陣，則存在，使得又由Hermite矩陣的簡單性質(zhì)，為Hermite矩陣，且存在，使得；則為半正定Hermite矩陣。（2）令A(yù)為半正定Hermite矩陣，B為正定Hermite矩陣，則有，使得又由Hermite矩陣的簡單性質(zhì)，為Hermite矩陣，且存在，使得；則為正定Hermite矩陣。323證明：由于矩陣A是一個正定的Hermite矩陣，所以A可逆，于是3-24 證明：充分條件：因為A，B是n階正規(guī)矩陣，則存在,使得，其中；分別是A與B的特征值。又因為A與B相似，所以其對應(yīng)的特征值相同。則有。令，則，因為U、V是酉矩陣，則W也是酉矩陣。所以A與B酉相似。必要

6、條件：因為A與B酉相似，則使得，又由于 則 ，因而A與B相似。3-25 證明： 3-26 證明：3-27 證明：由已知條件可得3-28 證明：329 證明：（1） ，則，；所以和都是半正定的Hermite矩陣。（2）令則，則又因為為可逆矩陣，則則與有相同的非零解330 證明：因為A是正規(guī)矩陣，所以，則存在使，其中為的特征值； （1） (2) 即的特征值都為實數(shù)又為正規(guī)矩陣（3）同理 即331 證明：332設(shè)，那么A可以唯一的寫成，其中為Hermite矩陣，且A可以唯一的寫成，其中B是Hermite矩陣，C是反Hermite矩陣。證：令，且 A=S+iT,。 下證唯一性：用反證法。假設(shè)存在使,且

7、均為Hermite矩陣。則由：A=S1+iT1同理有：S1=S2，T1=T2 可知：A可唯一的寫成A=S+iT。令B=S，C=iT，則顯然B為Hermite矩陣，C為反Hermite矩陣則A可唯一寫成A=B+C,其中証畢。3-33. 設(shè)是n維實(列)向量空間，若： ， 令 容易驗證，所規(guī)定的(,)滿足定義3.1.1中的四個條件.因此在這樣定義內(nèi)積后成為歐氏空間. 3-34. 解： 這只需驗證滿足內(nèi)積的四個條件即可. 等式成立的充要條件是3-35. 解： 設(shè)，不難驗證等號成立當(dāng)且僅當(dāng)所以是歐式空間. 3-36. 用表示閉區(qū)間上的所有實值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的實線性空間，對任意、，規(guī)定 容易驗證，這樣規(guī)定

8、的是上的一個內(nèi)積，從而成為一個歐氏空間.3-37. 設(shè)A為n階正定矩陣，對于中任意兩個列向量X,Y.規(guī)定 容易驗證是上的一個內(nèi)積，于是成為一個歐氏空間.3-38. 設(shè)是n維復(fù)(列)向量空間，若 命 容易驗證，所規(guī)定的滿足定義3.1.2中的四個條件，因此成為一個酉空間. 3-39. 在中，對任意定義 容易驗證是的一個內(nèi)積，從而成為一個酉空間. 表示A的跡，即是A的主對角元素之和. 3-40. 在空間中，設(shè) 求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.解： 應(yīng)用Schmidt正交化方法得到 因為=0，故，線性相關(guān)，容易，線性無關(guān)，因此,把單位化后，的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基 3-41. 已知 求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.解： 命 把單位化

9、得 則為所求之基 3-42. 設(shè)，且，若 則H是酉矩陣.解： 故H是酉矩陣. 3-43. 試證 是正交矩陣.解：易知，故A是正交矩陣.該矩陣所代表的正交變換為吉文斯變換.3-44. 2階矩陣 是正交矩陣，它表示平面上的繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)變換3階矩陣 是正交矩陣，它表示三位空間繞x軸的旋轉(zhuǎn)變換.3-45. 設(shè)是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則與是正交的.3-46. 已知，求T的正交補.解：取 不難知線性方程組的基礎(chǔ)解系為，則，便是T的正交補.3-47. 設(shè)W是歐式空間V的一個子空間，那么V在W上的正交投影變換P就是一個對稱變換. 3-48. 在中，設(shè)u為過直角坐標(biāo)系原點的平面的單位法矢量.變換A是 容易驗證：對

10、于任意的，任意實數(shù)k,l都有 因此A既是正交變換，又是對稱變換，稱其為鏡面反射.3-49. 已知 試求酉矩陣W，使得 解： 3-50. 已知 驗證A是正規(guī)矩陣，且求酉矩陣U，使為對角矩陣.解：由于,經(jīng)計算得： ， 所以A是正規(guī)矩陣A的特征多項式 當(dāng)時，特征矩陣 故 所以屬于的單位特征向量當(dāng)時，特征矩陣 故 所以屬于的單位特征向量命 U是酉矩陣，且滿足 3-51. 已知 驗證A是正規(guī)舉證，且求酉矩陣U，使為對角矩陣.解： A是Hermite矩陣 對的特征矩陣作初等行變換得 解得屬于特征值-1的特征向量為 用Schmidt方法把 ，單位化并正交化得 對的特征矩陣作初等行變換得 故A的屬于的單位特征

11、向量為 命： 3-52. 已知 .解： 存在，滿足 3-53. 已知U是n階酉矩陣，且U-E可逆，試證 是反Hermite矩陣.解：由于： 3-54. 設(shè)A為歐式空間V上的一個對稱變換，那么有因為根據(jù)對稱變換的定義有 設(shè)A為歐式空間V上的一個反對稱變換，那么有根據(jù)反對稱變換的定義有 3-55. 設(shè)A為歐氏空間V上的一個Hermite變換，那么有Hermite變換也經(jīng)常被稱做自伴隨變換.3-56. 設(shè)A為歐氏空間V上的一個正交變換，那么有由定義有 3-57. 設(shè)A為酉空間V上的一個酉變換，那么有3-58. 對于任意給定的n階矩陣A，根據(jù)定義不難證明： 3-59. 已知正規(guī)矩陣 試求酉矩陣U，使得為對角矩陣.解： 3-60. 已知Hermite二次型 求酉變換Z=Uy 將變?yōu)镠ermite標(biāo)準(zhǔn)二次型.解： 所給Hermite二次型對應(yīng)的Hermite矩陣 于是 其中 .由于A為一個Hermite矩陣，所以A可以酉對角化.A的特征值的正交單位特征向量： A的特征值的單位特征向量：，于是3-61. 已知A、B是n階正定Hermite矩陣，則的根全身正的實數(shù).證明： 因為B是正定的，存在，滿足 且是正定的Hermite