因式分解典型題目

1、分解因式一、判斷是否是是分解因式一、判斷是否是是分解因式把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。這個多項式分解因式。練習(xí)：練習(xí)：1、下列從左到右是分解因式的是（、下列從左到右是分解因式的是（ ）A. x(ab)=axbx B. x 3=x(1- )C. x21=(x+1)(x1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c E.(x+3)(x3) =(x3)(x+3)a2b=3ab2aC2、下列分解因式中，正確的是（、下列分解因式中，正確的是（ ）A3m26m=m(3m6) Ba2b+ab+a=a(ab+b)Cx2+2

2、xyy2=(xy)2 Dx2+y2=(x+y)2Cx3322236129xyyxyx562b3612xxab和二、找公因式二、找公因式找公因式的方法：找公因式的方法：1：系數(shù)為：系數(shù)為 ； 2、字母是、字母是 ；3、字母的次數(shù)、字母的次數(shù) 。各系數(shù)的最大公倍數(shù)各系數(shù)的最大公倍數(shù)相同字母相同字母相同字母的最低次數(shù)相同字母的最低次數(shù)練習(xí)：練習(xí)：5x225x的公因式為的公因式為 ；2ab24a2b3的公因式為的公因式為 ，多項式多項式x21與與(x1)2的公因式是的公因式是 。 例題：把下列各式分解因式例題：把下列各式分解因式 m2（a-2）+m（2-a） (x-y)3-y(y-x)2ab(m-2)

3、+b(2-m)(4)n(m-n)3-m(n-m)2三、（三、（1）、提公因式法：）、提公因式法：（2）運用公式法：）運用公式法：a2b2（ab）（）（ab） 平方差公式平方差公式 1、有且只有兩個平方項；、有且只有兩個平方項；2、兩個平方項異號。、兩個平方項異號。能使用能使用平方差公式分解因式平方差公式分解因式的多項式的特點：的多項式的特點： 例題：把下列各式分解因式例題：把下列各式分解因式 x24y2 （3）運用公式法：）運用公式法： a2 2ab b2 （ab）2 a2 2ab+ + b2 （ab）2 完全平方式完全平方式 能使用能使用完全平方公式分解因式完全平方公式分解因式的多項式的特點

4、：的多項式的特點： 1、有兩個平方項；、有兩個平方項；2、兩個平方項同號。、兩個平方項同號。3、含有交叉項的正負、含有交叉項的正負2倍。倍。例題：把下列各式分解因式例題：把下列各式分解因式 9x9x2 2-6x+1-6x+1解：原式=(3x)2-2(3x) 1+1 =（3x-1)2 習(xí)題：注意解題步驟！習(xí)題：注意解題步驟！1、若若4x2+（m-1）xy+25y2是完全是完全平方式，求平方式，求m的值。的值。2、x2+x+a=（x+b）2，求，求a，b的值。的值。習(xí)題習(xí)題1：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式 4（m+n）2-12（m+n）+9 -a2+2a3-a44a2-12a（x-y）+

5、9（x-y）2222164)4(xx四、利用分解因式進行計算：四、利用分解因式進行計算： (1)（-2）2012+（-2）2013 ; (2) ; 224 ; 4392981002計算： 22221011411311211)4(五、利用完全平方式配方求值：五、利用完全平方式配方求值： (1)x2-6x+8y+y2 +25=0，求，求2x-3y的值的值 ; (2) m2+2mn+2n2-6n+9=0，求，求m、n ; 六、說理題：六、說理題： (1)不論不論a、b為何值，代數(shù)式為何值，代數(shù)式a2b2-2ab+3一定為正值嗎？一定為正值嗎？(2)對于任意的自然數(shù)對于任意的自然數(shù)n，3n+2-2n+

6、3 +3n-2n+1一定是一定是10的整數(shù)的整數(shù)倍嗎？說明理由。倍嗎？說明理由。七、討論：已知七、討論：已知m、n為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且m2=n2+45，求數(shù)對（，求數(shù)對（m，n）八、應(yīng)用：八、應(yīng)用： (1)把把20cm長的一根鐵絲分成兩段，長的一根鐵絲分成兩段，將每一段圍成一個正方形，如果這將每一段圍成一個正方形，如果這兩個正方形的面積之差是兩個正方形的面積之差是5cm2，求這兩段鐵絲的長？求這兩段鐵絲的長？(2)已知已知x+y=m，2x+3y=m-1若若A=x（2x+3y）+y（2x+3y）-2x-3y，求，求A的最小值；的最小值；若若B=3（3x+2y）2-12x（3x+2y）+12x

7、2，求求B的值。的值。十字相乘十字相乘法法公式：公式：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)11ab例題：把下列各式分解因式例題：把下列各式分解因式 X2-5x+6 a2-a-211-2-3111-2解：原式=（x-2)(x-3)解：原式=(a+1)(a-2)例例2 分解因式分解因式 3x 10 x32解：解：3x 10 x3213319xx=10 x=(x3)(3x1)例例3 分解因式分解因式 5x 17x122解：解：5x 17x122513420 x3x=17x=(5x3)(x4)1331223103yxyx)3)(3(yxyx原

8、式二次齊次方程二次齊次方程1.十字相乘法分解因式：十字相乘法分解因式： (1)x2-5x-6 ; (2) a2b2-7ab+10 (3)m3-m2-20m; (4)3a3b-6a2b-45ab; 2.十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式: (1)3x2+11x+10; (2)2x2-7x+3(3)6x2-7x-5; (4)5x2+6xy-8y2;(5)2x215x+7; (6)3a2-8a+4(7)5x2+7x-6; (8)6y2-11y+-103.已知多項式已知多項式2x3-x2-13x+k有一個因式有一個因式是是2x+1,求求K的值的值.分組分解法：分組的原則：分組后要能使因式分組的原則：

9、分組后要能使因式分解繼續(xù)下去分解繼續(xù)下去1 1、分組后可以提公因式、分組后可以提公因式2 2、分組后可以運用公式、分組后可以運用公式(1)可按相同的系數(shù)或相可按相同的系數(shù)或相 同同 的系數(shù)比進行分組。如：的系數(shù)比進行分組。如：2ax3ay3by2bx(2ax+2bx)+(3ay+3by)1、分組后能提取公因式、分組后能提取公因式2、分組后能運用公式，如：、分組后能運用公式，如：a22ab21（a22a1）b2分解因式（分解因式（xy+1）（）（x+1）（）（y+1）+xy例題：把下列各式分解因式例題：把下列各式分解因式 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1解：原式=(x2-y2)+(

10、3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3) 原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)*4)分組分解：分組分解： (1)分組后提取公因式；分組后提取公因式； (2)分組后用公式。分組后用公式。*分解因式分解因式: (1)20(x+y)+x+y; (2)2m-2n-4x(m-n);(3)ac+bc+2a+2b;(4)a2+ab-ac-bc;(5)xy-y2-yx+xz;(6)4x2+3z-3xz-4x.(7)x2-y2+ax+ay;(8)4a2-b2+6a-3b;(9) 1-m2-n2+2mn;(10)9m2-6m

11、+2n-n2.(11)4x2-4xy+y2-a2;(12)a2-b2+2bc-c2.*2.分解因式：分解因式： (1)3ab-2a+6bc-4c (2) 4m2-6m+3n-n2 (3) x2-6x-y2+9 (4) (ax-by)2-(bx-ay)2 (5)2x2+x-1 (6)3a2b2-4ab+13.(x-2)2+y2-2y+1=0,求求xy的值的值.*2+4y2+2x+4y+2=0,求求x2-4y的的 值。值。5配方法：通過加減項配出完全平方式后，再把通過加減項配出完全平方式后，再把二次三項式分解因式的方法叫配方法。二次三項式分解因式的方法叫配方法。2232aaxx224aax2222

12、32aaaaxxaaxaax22axax32282yxyx練習(xí)w 對任意多項式分解因式，都必須首先考對任意多項式分解因式，都必須首先考慮提取公因式。慮提取公因式。 對于二項式，考慮應(yīng)用平方差公式分解。對于二項式，考慮應(yīng)用平方差公式分解。對于三項式，考慮應(yīng)用完全平方公式或十字相對于三項式，考慮應(yīng)用完全平方公式或十字相乘法分解乘法分解。 一提二套三分四查再考慮分組分解法再考慮分組分解法檢查：特別看看多項式因式是否檢查：特別看看多項式因式是否分解徹底分解徹底先看有無公因式，先看有無公因式，再看能否套公式，再看能否套公式，十字相乘試一試，十字相乘試一試，分組分解要徹底。分組分解要徹底。四種方法反復(fù)用，四種方法反復(fù)用，不能分解連乘式。不能分解連乘式。4、敘述因式分解的一般步驟：、敘述因式分解的一般步驟：因式分解的規(guī)律：因式分解的規(guī)律： 1、首先考慮提取公因式法；、首先考慮提取公因式法； 2、兩項的在考慮提公因后多數(shù)考慮平方差公、兩