圖解剛體力學(xué)——歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

1、本 科 生 畢 業(yè) 論 文 論文題目：圖解剛體力學(xué)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程學(xué)生姓名： 羅加寬 學(xué) 號(hào)： 2008021152 專業(yè)名稱： 物理學(xué) 論文提交日期： 2012年05月17日 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 理學(xué)學(xué)士 論文評(píng)審等級(jí)： 指導(dǎo)教師姓名： 陳洛恩 職 稱： 教授 工 作 單 位： 玉溪師范學(xué)院 學(xué)位授予單位： 玉溪師范學(xué)院 玉溪師范學(xué)院理學(xué)院物理系 2012年05月圖解剛體力學(xué)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程羅加寬（玉溪師范學(xué)院理學(xué)院物理系 08級(jí)物理1班 云南 玉溪 653100）指導(dǎo)教師 ：陳洛恩、楊春艷摘要：本文闡述了描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角及歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的圖解，以期讓復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化得簡(jiǎn)單清晰而易于學(xué)習(xí)者的理

2、解，抽象的概念變得直觀具體而易于學(xué)習(xí)者的掌握；并能在一定程度上對(duì)提高學(xué)習(xí)者的空間思維能力、引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新思維能力有一定的幫助。關(guān)鍵字：圖解；剛體；歐拉角；歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1. 引言 理論力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的科學(xué)；依照牛頓的說(shuō)法，理論力學(xué)“是關(guān)于力產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)和產(chǎn)生任何運(yùn)動(dòng)的力的理論，是精確的論述和證明” 1。理論力學(xué)作為使用數(shù)學(xué)方法的自然知識(shí)的一部分，不僅研究實(shí)際物體，而且研究其模型質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和連續(xù)介質(zhì)。從研究次序來(lái)看，通常先研究描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)學(xué)，然后再進(jìn)一步研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)遵循哪些規(guī)律的動(dòng)力學(xué)。至于研究平衡問題的靜力學(xué)，對(duì)理科來(lái)講可以作為動(dòng)力學(xué)的一部分來(lái)處理，

3、但在工程技術(shù)上，靜力學(xué)卻是十分的重要，因此，常把它和動(dòng)力學(xué)分開，自成一個(gè)系統(tǒng)2。本文圖解的內(nèi)容為剛體力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題之一的剛體的繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)?！皥D解”的方法,較早見于上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1988年翻譯出版的圖解量子力學(xué)，原書名為The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag出版；類似的書還有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特點(diǎn)是通過(guò)將理論物理與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合實(shí)現(xiàn)可視化來(lái)講解物理知識(shí)。國(guó)外對(duì)物理的可視化教學(xué)十分重視，早在1995-1996年間Wiley出版社出版了9本有關(guān)物理多媒體教

4、學(xué)的叢書,是由大學(xué)高等物理軟件聯(lián)盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)編寫該叢書及其所用的教學(xué)軟件3。如今，圖解法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于力學(xué)、電磁學(xué)、模擬電子技術(shù)等方面，理論力學(xué)方面同樣也有不少人已經(jīng)采用了圖解法。如趙宗杰使用3dsmax建立質(zhì)點(diǎn)外彈道運(yùn)動(dòng)規(guī)律的虛擬模型和場(chǎng)景4；樂山師范學(xué)院王峰等利用Matlab分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)受力僅為位置、速度或時(shí)間的函數(shù)進(jìn)行了圖解，并說(shuō)明了Matlab在理論力學(xué)中的應(yīng)用5；阜陽(yáng)師范學(xué)院孫美娟、韓修林利用Mathematica進(jìn)行編程作出了落體的位移時(shí)間圖像6。通過(guò)圖解，使很多抽象繁難的物理問題在解析

5、時(shí)達(dá)到空間立體直觀，概念形成清晰，邏輯鏈路曉暢明朗，數(shù)式轉(zhuǎn)換準(zhǔn)確易見。 理論力學(xué)因理論性較強(qiáng)，與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，一些概念的形成、公式的推導(dǎo)、邏輯推理等較抽象、繁難、復(fù)雜，往往使教授者感到教學(xué)很難達(dá)到預(yù)期的效果，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺不但學(xué)起來(lái)困難吃力，而且學(xué)習(xí)的效率很低，以致容易產(chǎn)生怕學(xué)、厭學(xué)的心理?；谏鲜龇治?，本文試圖通過(guò)以圖解的形式講解描述剛體運(yùn)動(dòng)的三個(gè)歐拉角的獲得及用其描述的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立過(guò)程，來(lái)呈現(xiàn)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的圖解形式。本文第二部分為對(duì)剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的表述；第三部分為以圖解的形式呈現(xiàn)歐拉角；第四部分為歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；第五部分為圖解過(guò)程的縮影。2. 剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)表

6、述 剛體可以視為質(zhì)點(diǎn)組，但卻有著區(qū)別于一般質(zhì)點(diǎn)組的特殊性：其內(nèi)的所有質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置不論在何種情況下都保持不動(dòng)，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變。通常在三維空間中，若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組包含有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么就需要3N個(gè)坐標(biāo)變量才能確定整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的位形。然而，因剛體具有上述特殊性，所以無(wú)論構(gòu)成剛體質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為多少，可以獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量只有6個(gè)，即與其內(nèi)包含有的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的多少無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，也就是若我們把描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量的數(shù)目稱為自由度，那么一般情況（沒有任何約束）下剛體運(yùn)動(dòng)的自由度為6。若受到某些約束，自由度就將更少。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若剛體內(nèi)只有一點(diǎn)始終固定不動(dòng)，整個(gè)剛體圍繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，

7、則稱為剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。圖1 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體譬如，陀螺（圖1-a），安裝在萬(wàn)向支架上的陀螺儀轉(zhuǎn)子（圖1-b），和錐形行星齒輪（圖1-c）等。由于一點(diǎn)始終固定不動(dòng)（即我們說(shuō)剛體受到約束），所以6個(gè)可獨(dú)立變化的坐標(biāo)中有3個(gè)是給定不變了，因而此時(shí)剛體可以獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量只剩下3個(gè)，亦即剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度為3。圖1b中，陀螺儀中轉(zhuǎn)子可以繞自身對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸又可隨同內(nèi)環(huán)一起繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而軸又可隨同外環(huán)一起繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。這樣三個(gè)彼此獨(dú)立的繞相交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)使轉(zhuǎn)子可以繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到任何空間位置，而三軸交點(diǎn)始終固定不動(dòng)。圖1-a和圖1-c中的陀螺、錐形行星齒輪的運(yùn)動(dòng)都可以做同樣的理解。由此可知，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在某瞬時(shí)

8、的運(yùn)動(dòng)，可視為是繞通過(guò)定點(diǎn)的某一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)7；但與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同，這一轉(zhuǎn)動(dòng)軸是瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，簡(jiǎn)稱瞬軸，它在空間的取向是隨著時(shí)間的改變而改變的8。3. 歐拉角 由以上可知，為了確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某一時(shí)刻的位置，可選定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，用兩個(gè)獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量來(lái)確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向，再用另一個(gè)獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量來(lái)確定整個(gè)剛體繞該軸線所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。通常這三個(gè)獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量取為歐拉角較為方便，下面將闡明如何來(lái)定義選取三個(gè)獨(dú)立變化的歐拉角。取兩套右手正交坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)均選在固定點(diǎn)，一組是定坐標(biāo)系，固定在空間不動(dòng)；而另一組是動(dòng)坐標(biāo)系，固連于剛體本身,隨著剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)(圖2）。則剛體的空間位置可以由動(dòng)

9、坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的位置來(lái)確定9，如圖3所示。圖2.坐標(biāo)系設(shè)某瞬時(shí)，剛體處于圖3所示的位置。動(dòng)坐標(biāo)平面與定坐標(biāo)平面的交線，用表示，稱為節(jié)線。節(jié)線與定軸的夾角稱為進(jìn)動(dòng)角，動(dòng)軸與定軸的夾角稱為章動(dòng)角，節(jié)線與動(dòng)軸的夾角稱為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角合稱為歐拉角（歐勒角）。規(guī)定從軸、正端看來(lái)，由軸、按逆鐘向量得的角度為正，反之為負(fù)10。從圖2中可以看出：節(jié)線既在平面上也在平面上，所以它既垂直于軸也垂直于軸，是兩軸所構(gòu)成的平面的法線。因此，節(jié)線與定軸的夾角這一進(jìn)動(dòng)角可以用來(lái)確定平面的位置。當(dāng)進(jìn)動(dòng)角和動(dòng)軸與定軸的夾角這一章動(dòng)角共同確定之后，軸連同平面的位置便確定。而動(dòng)軸和在平面的位置則可用節(jié)線與動(dòng)軸的夾角這一自轉(zhuǎn)

10、角來(lái)確定。這樣，通過(guò)圖3.歐拉角圖4. 初始位置歐拉角（、）就能唯一確定動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的位置，又因?yàn)閯?dòng)坐標(biāo)系和剛體固連，所以也就確定了剛體的位置。進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自轉(zhuǎn)角是彼此獨(dú)立的，當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，、一般都隨著時(shí)間改變而改變，是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，可寫為 ， （1-1） 這一組方程就是剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程11。假定在初瞬時(shí)動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系重合（圖4），則可通過(guò)如下三次轉(zhuǎn)動(dòng)而達(dá)到圖3的任意位置。31進(jìn)動(dòng)角令動(dòng)坐標(biāo)系（剛體與之一起）繞著軸沿逆時(shí)針方向（下同）轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)圖5.進(jìn)動(dòng)角圖6.章動(dòng)角角度。于是軸同軸分開，到達(dá)另一個(gè)位置（即位置）；軸同軸分開，到達(dá)另一個(gè)位置；但因是繞與軸重合的軸轉(zhuǎn)

11、動(dòng)，所以軸同軸仍舊重合在一起，如圖5所示。32章動(dòng)角在上面進(jìn)動(dòng)角的基礎(chǔ)上，令動(dòng)坐標(biāo)系繞著（即)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。于是軸同軸分開，到達(dá)另一個(gè)位置；軸再轉(zhuǎn)動(dòng)到另一個(gè)位置，如圖6所示。這時(shí)軸與軸的夾角是，動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系的夾角亦是。33自轉(zhuǎn)角在圖6的基礎(chǔ)上，再令動(dòng)坐標(biāo)系繞著自身z軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。于是同（原來(lái)位置）分開，再轉(zhuǎn)動(dòng)到另一位置。這時(shí)，剛體便轉(zhuǎn)動(dòng)到我們所需要的位置，如圖3中的位置。 若要得到剛體可能具有的其他各種位形，只需要在下列區(qū)間內(nèi)改變、的數(shù)值： ， 歐拉角的這種取法并不是唯一的，在陀螺儀實(shí)用理論中，可根據(jù)具體結(jié)構(gòu)和裝置情況，選取不同的歐拉角度系統(tǒng)，這里的取法是古典的或稱古典歐拉角11。4.

12、 歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程因?yàn)榻撬俣仁且粋€(gè)矢量，所以它符合一般的矢量的運(yùn)算法則，如合成和分解等。 圖8. 角速度方向的確定圖9. 角速度的分解（一）現(xiàn)在來(lái)求剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。為便于更好地理解接下來(lái)所要作的分析推理，首先在圖3中依次標(biāo)出剛體在進(jìn)動(dòng)角度后動(dòng)軸和所到達(dá)的位置為（亦即的位置）和，在章動(dòng)角度后動(dòng)軸所到達(dá)的位置為，如圖8所示；并分別設(shè)定沿動(dòng)坐標(biāo)系、軸的單位矢量為、，沿定坐標(biāo)系、軸的單位矢量為、；而沿軸、和的單位矢量則分別為、和。圖中剛體的角速度分解為各個(gè)歐拉角速度的矢量和表為 （1-2）若把向動(dòng)坐標(biāo)系各軸分解，則可表為 （1-3）而由幾何關(guān)系可知：可沿、三個(gè)軸分解，但在這里，由于與和之間的夾角

13、不容易確定，所以我們先將其分解到軸和軸上（因?yàn)?、同在一平面，且與垂直），如圖9。則有然后再把軸上的分量分解到和上，即最終得： 由于與垂直，因此只能沿軸和軸分解，而在軸上沒有分量，即而沿著軸，故在軸和軸上沒有分量。 集合、在、軸上的各個(gè)分量，并聯(lián)立式（1-3），得 (1-4)由此我們便得到用歐拉角及其對(duì)時(shí)間的微商來(lái)表示角速度沿動(dòng)坐標(biāo)系的、各軸的投影的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：(1-5)或以矩陣式表示為：剛體的角速度同樣也可以向定坐標(biāo)系的、各軸進(jìn)行分解：沿著軸，故在軸和上沒有分量。由于與垂直，因此只能沿軸和軸分解，即而則可沿、各軸分解，但是與和之間的夾角不容易確定，所以我們先將其分解到軸和軸上（因?yàn)椤⒃谕?/p>

14、平面內(nèi)，且與垂直），如圖10。便有圖10. 角速度分解（二）然后把在軸上的分量沿軸和軸分解，即最后便得到在各個(gè)軸的矢量和：至此便得到用歐拉角及其對(duì)時(shí)間的微商來(lái)表示角速度沿定坐標(biāo)系的、各軸的投影的表示式：(1-6) (1-7)或5. 圖解縮影 至此，可以把總的過(guò)程簡(jiǎn)縮為一個(gè)圖解流程鏈路，如下所示。 定義:(ON， ) 定義域:可確定對(duì)象：自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)軸 的方向：章動(dòng)角節(jié)線ON可確定對(duì)象：自轉(zhuǎn)軸的方向：定義:(Z， ) 定義域: 定義:(X，ON ) 自轉(zhuǎn)角可確定對(duì)象：自轉(zhuǎn)角度定義域:的方向：自轉(zhuǎn)軸Z 或或角速度投影在定坐標(biāo)系角速度 在動(dòng)坐標(biāo)系投影6.結(jié)論 本文以圖解的形式呈現(xiàn)了描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛

15、體的三個(gè)獨(dú)立變量（歐拉角）及用其表示的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；并對(duì)陳洛恩老師的課件作一定的修改。在一定程度上使復(fù)雜的問題得到簡(jiǎn)化分步，空間描述達(dá)到立體直觀，大大地削弱了間接抽象感。把直觀的圖解應(yīng)用于教學(xué)中，對(duì)提高學(xué)習(xí)者的空間思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新能力有一定的幫助。致謝 論文寫作過(guò)程中很是得到楊春艷老師的關(guān)心、指導(dǎo)和幫助，在此表示衷心的感謝！ 參考文獻(xiàn)：1A馬爾契夫李俊峰譯理論力學(xué)M高等教育出版社，20062周衍柏理論力學(xué)教程M高等教育出版社,20093彭芳麟“圖解”數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實(shí)踐J物理，2007，（02）4趙宗杰. 質(zhì)點(diǎn)外彈道運(yùn)動(dòng)規(guī)律的虛擬實(shí)驗(yàn)的研究J.中北大學(xué)，2008.5王峰、李秀芬、

16、王小容等.Matlab在求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題中的應(yīng)用J.江內(nèi)科技（高校論壇），2008，（6）6孫美娟，韓修林.空氣阻力與地球自轉(zhuǎn)影響下自由落體的運(yùn)動(dòng)J.宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，25（8）7同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)教研室理論力學(xué)（上冊(cè)）M同濟(jì)大學(xué)出版社8周衍柏.理論力學(xué)教程M.高等教育出版社,2009.9周衍柏.理論力學(xué)教程M.高等教育出版社,2009.10郭應(yīng)征，周志紅理論力學(xué)M清華大學(xué)出版社11同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)教研室理論力學(xué)（上冊(cè)）M同濟(jì)大學(xué)出版社12肖尚斌，董秋泉陀螺力學(xué)M人民教育出版社Graphic rigid body mechanicsEuler kinematic equationsJia

17、-kuan Luo(Department of physics, Yuxi normal university, Yuxi 653100)Directed by Dr.Luo-en Chen and Chun-yan YangAbstract: This paper describes the diagram of the Euler angles and Euler kinematic equations describe the rigid body point rotation in order to make the complex transformation of simple and clear and easy understanding of the learner, abstract concepts become i