全等三角形中的倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短法

1、倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短法輔助線一般作法三角形三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 例1：ABC中，AB=5

2、，AC=3，求中線AD的取值范圍 提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊 例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE 方法1：過(guò)D作DGAE交BC于G， 方法2：過(guò)E作EGAB交BC的延長(zhǎng)線于G， 方法3：過(guò)D作DGBC于G，過(guò)E作EHBC的延長(zhǎng)線于H?F?E?C?A?B?D 例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF 提示：倍長(zhǎng)AD至G，連接BG， 證明BDG CDA ?三角形BEG是等腰三角形?F?E?D?A?B?C 例4：已知：如圖

3、，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC. 求證：AE平分BAC 提示： 方法1：倍長(zhǎng)AE至G，連結(jié)DG 方法2：倍長(zhǎng)FE至H，連結(jié)CHBACBAC?第?1?題圖?A?B?F?D?E?C在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖例如：如圖5-1：AD為為 ABC的中線，求證：的中線，求證：AB+AC2AD分析：要證分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：由圖想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能

4、直接證出此題，故不能直接證出此題，而由而由2AD想到要構(gòu)造想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)AD至至E，使，使DE=AD，連接，連接BE，CE AD為為ABC的中線的中線 （已知）（已知） BD=CD （中線定義）（中線定義） 在在ACD和和EBD中中 BD=CD （已證）（已證） 1=2 （對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等） AD=ED （輔助線作法）（輔助線作法） ACD EBD （SAS） BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形兩

5、邊之和大（三角形兩邊之和大于第三邊）于第三邊） AB+AC2AD。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí) 已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，?求證EF=2AD。? ABCDEF25 -圖二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線?要證明兩條線段之和等于第三條線段，可以采取“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。?截長(zhǎng)法即在較長(zhǎng)線段上截取一段等于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一段較短線段。?所謂補(bǔ)短，即把兩短線段補(bǔ)成一條，再證它與長(zhǎng)線段相等。讓我們來(lái)大顯身手吧！例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)?求

6、證：AB-ACPB-PC。?要證：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證明。因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。思路導(dǎo)航證明：（截長(zhǎng)法）在證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取上截取AN=AC連接連接PN 在在APN和和APC中中 AN=AC（輔助線作法）（輔助線作法） 1=2 （已知）（已知） AP=AP （公共邊）（公共邊） APN APC （SAS）PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在在BPN中，有中，有 PB-P

7、NBN （三角形兩邊之差小于第（三角形兩邊之差小于第三邊）三邊） BP-PCPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊三角形兩邊之差小于第三邊) AB-ACPB-PC。 在在?ABC中，中，ACB=90，AC=BC,直線直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且且ADMN于于D，BEMN于于E。求證：求證：DE=AD+BE證明：證明：213?1+3=90.?1+2=90. 2=3.ADC= CEB ADC CEB AD=CE,CD=BE?DE=AD+BE?ACB=90?，BEMN，ADMN,?ADC= CEB=90.在在?ADC和和CEB中中,AC=BC2=3?DE=CE+CD例例題題講講解解1.在在ABC中中,

8、B2C, AD平分平分BAC.求證：求證：AB+BD=ACABCDE證明：證明：在在AC上截取上截取A E=AB，連結(jié)，連結(jié)D E AD平分平分BAC 12, 在在ABD和和 AED中中12A B=AEA D=AD ABD AEDBD=DE, B3 3= 4+ C B2C 3=2C 2C = 4+ CDE=CEBD=CEAE+EC=AC AB+BD=AC1234 C 4截長(zhǎng)法截長(zhǎng)法例例題題講講解解在在ABC中中, B2C, AD平分平分BAC.求證：求證：AB+BD=ACABCDE在在AB的延長(zhǎng)線截取的延長(zhǎng)線截取B E=BD，連結(jié)連結(jié)D E.證明：證明：補(bǔ)短法補(bǔ)短法在射線在射線 AB截取截取B

9、 E=BD，連結(jié)連結(jié)D E. 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)使之與特定線段相等，是將某條線段延長(zhǎng)使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目分等類的題目?如圖，如圖，ADBC，AE, BE分別平分分別平分DAB,CBA， CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，求證：求證：ABAD+BC E D C B A練習(xí)練習(xí) 在等邊在等邊ABC的兩邊的兩邊AB、AC所在直線

10、上所在直線上分別有兩點(diǎn)分別有兩點(diǎn)M、N，D為為ABC外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當(dāng)探究：當(dāng)M、N分別在直線分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系. 如圖如圖1，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M、N邊邊AB、AC上，且上，且DM=DN時(shí)，時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是之間的數(shù)量關(guān)系是?ABCDMN思考題思考題 在等邊在等邊ABC的兩邊的兩邊AB、AC所在直線上所在直線上分別有兩點(diǎn)分別有兩點(diǎn)M、N，D為為ABC外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當(dāng)探究：當(dāng)M、N分別在直線分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系. 如圖如圖2，點(diǎn)，點(diǎn)M、N邊邊AB、AC上，且上，且當(dāng)當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（時(shí)，猜想（I）的結(jié)論還成立嗎