高等數(shù)學(xué)-函數(shù)與極限

1、1 / 15高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)教案教案第一章：函數(shù)與極限（第一章：函數(shù)與極限（18 課時(shí)）課時(shí)）第一節(jié)：映射與函數(shù)第一節(jié)：映射與函數(shù)教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，并會(huì)建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)，反函數(shù)及隱函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。一、集合一、集合1、 集合概念集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素。1),321aaaA 2)PxxA的性質(zhì)元素與集合的

2、關(guān)系：Aa，Aa一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系：A、B 是兩個(gè)集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，則稱A 是 B 的子集，記作BA 。如果集合 A 與集合 B 互為子集，則稱 A 與 B 相等，記作BA 若作BA 且BA 則稱 A 是 B 的真子集。全集 I：AiI（I=1，2，3，.） ?？占?A。2、 集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算并集BA：Ax|xBABx或交集BA：Ax|xBABx且差集BA：|BxAxxBA且補(bǔ)集（余集）CA：IA集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則：交換律：ABBA ABBA

3、結(jié)合律：)()(CBACBA，)()(CBACBA分配律： )()()(CBCACBA，)()()(CBCACBA對(duì)偶律： (cccBABA) cccBABA)(笛卡兒積： AB| ),(ByAxyx且3、區(qū)間和鄰域、區(qū)間和鄰域1）有限區(qū)間：開區(qū)間),(ba，閉區(qū)間ba,，半開半閉區(qū)間baba,。2）無限區(qū)間：（,a） ，,a，, a ，, a ，, 。3）鄰域：),(axaxaU注：a 鄰域的中心，鄰域的半徑；去心鄰域記為),(aU。二、映射二、映射映射概念定義 設(shè) X，Y 是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì) X 中的每一個(gè)元素x，按法則f，在 Y 中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱

4、f為從 X 到 Y 的映射，記作 YXf： 其中y稱為元素x的像，并記作)(xf，即)(xfy 。 注意：每個(gè) X 有唯一的像；每個(gè) Y 的原像不唯一。三、函數(shù)三、函數(shù)1、 函數(shù)的概念函數(shù)的概念定義 設(shè)數(shù)集RD ，則稱映射RDf:為定義在 D 上的函數(shù)，記為 Dxxfy, )(。注：函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等。2、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性1）函數(shù)的有界性（上界、下界；有界、無界） ，有界的充要條件：既有上界又有下界。2）函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減） ，在 x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值)(1xf與)(2xf的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)） 。3）函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、)(xf與)( xf 關(guān)系決定

5、)，圖形特點(diǎn) (關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱)。4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：)()(xflxf)3、 函數(shù)與復(fù)合函數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1）反函數(shù)：函數(shù))(:DfDf是單射，則有逆映射xyf)(1，稱此映射1f為f函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)xy 于對(duì)稱。2）復(fù)合函數(shù)：函數(shù))(ygu 定義域?yàn)?D1，函數(shù))(xfy 在 D 上有定義、且1)(DDf。則)()(xfgxfgu為復(fù)合函數(shù)。3）分段函數(shù)：分段函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式。結(jié)論：對(duì)于分段函數(shù) f（x）=12( )()( )()f xxafxxa若初等數(shù)函 f1（x）和 f2（x）滿足 f1（a）= f2（a） ，則 f（x）= f112（x+a-2()

6、xa）+ f112（x+a+2()xa）- f1（a）4、初等函數(shù)、初等函數(shù)1）冪函數(shù)：axy 2)指數(shù)函數(shù)：xay 3)對(duì)數(shù)函數(shù)：)(logxya 4)三角函數(shù)：)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5)反三角函數(shù)：)arcsin(xy ，)arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)。6）雙曲函數(shù)：2xxeeshx，2xxeechx，xxxxeeeechxshxthx注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式：shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxshshychxchy

7、shxyxsh)()()()(7）反雙曲函數(shù)：arthxyarchxyarshxy例 1 已知分段函數(shù) 22 , 10,( )1,0,2,01.xxf xxxx 1）求其定義域并作圖；2）求函數(shù)值1122(),(0),( ).fff例 2求由所給函數(shù)復(fù)合的函數(shù)，并求各復(fù)合函數(shù)的定義域：y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.例 3求函數(shù)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域：y=x2,（0 x） ， 221,01,2(2) ,12.xxyxx作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第二節(jié)：數(shù)列的極限第二節(jié)：數(shù)列的極限教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：理解極限的概念，性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)（

8、難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：極限的概念的理解及應(yīng)用。一、數(shù)列一、數(shù)列 數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。 1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。2）序列中有無限多個(gè)成員。一般寫成：naaaaa4321縮寫為 nu例 1 數(shù)列n1是這樣一個(gè)數(shù)列 nx，其中 nxn1，5 , 4 , 3 , 2 , 1n也可寫為：514131211可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近 0，記為01limnn。1、 限的限的N定義定義axNnNn0，則稱數(shù)列 nx的極限為a，記成 axnnlim也可等價(jià)表述：1）)(0axNnNn 2）)(0aOxNnNn。極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系

9、。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理 1 如果數(shù)列 nx收斂，那么它的極限是唯一。定理 2 如果數(shù)列 nx收斂，那么數(shù)列 nx一定有界。定理 3 如果axnxlim且 a0(a0，當(dāng) nN 時(shí)，)0(0nnxx。例 2證明數(shù)列 1nn的極限是 1。例 3作出數(shù)列1( 1)nnn 圖形，討論其極限值。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第三節(jié)：函數(shù)的極限第三節(jié)：函數(shù)的極限教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：理解函數(shù)左極限與右極限，極限性質(zhì)。一、極限的定義一、極限的定義1、在、在0 x點(diǎn)的極限點(diǎn)的極限1）0 x

10、可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在0 x有沒有定義，以及函數(shù)值)(0 xf的大小。只要滿足：存在某個(gè)0使：Dxxxx),(),(0000。2）如果自變量x趨于0 x時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf有一個(gè)總趨勢以某個(gè)實(shí)數(shù)A為極限 ，則記為 ：Axfxx)(lim0。形式定義為： Axfxxx)()0(002、x的極限的極限設(shè)),()(xxfy，如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值 )(xf有一個(gè)總趨勢-該曲線有一條水平漸近線Ay -則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)有極限。記為：Axfx)(lim。 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的左右極限： )(lim)(xffx， )(lim)(xffx關(guān)系為：)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx二

11、、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、極限的唯一性2、函數(shù)極限的局部有界性3、限的局部保號(hào)性4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系例 1 討論函數(shù)xxy 在 x0的極限。例 2求下面函數(shù)極限： limn221nn， 331111lim()xxx 。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第四節(jié)：無窮小與無窮大第四節(jié)：無窮小與無窮大教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：掌握無窮小與無窮大概念。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：理解無窮小與無窮大的關(guān)系。一、無窮小定義一、無窮小定義定義 對(duì)一個(gè)數(shù)列 nx，如果成立如下的命題： nxNnN0 則稱它為無窮小量，即0limnxx注：1）的意義；2）nx可寫成0nx；), 0(nx

12、； 3）上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)，存在一個(gè)號(hào)碼 N，使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼n，相應(yīng)的nx與極限 0 的距離比這個(gè)給定的還小。它是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于 0 的認(rèn)識(shí)。定理 1 在自變量的同一變化過程0 xx （或)x中，函數(shù) xf具有極限 A 的充分必要條件是 Axf)(，其中是無窮小。二、無窮大定義二、無窮大定義一個(gè)數(shù)列 nx，如果成立：GxNnNGn0那么稱它為無窮大量。記成：nxxlim。特別地，如果GxNnNGn0，則稱為正無窮大，記成nxxlim。特別地，如果GxNnNGn0，則稱為負(fù)無窮大，記成nxxlim。注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。三、無

13、窮小和無窮大的關(guān)系三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理 2 在自變量的同一變化過程中，如果)(xf為無窮大，則)(1xf為無窮??；反之，如果)(xf為無窮小，且0)(xf則)(1xf為無窮大。即非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)0nx時(shí)：有 nxxx1lim0lim01limlimnxxx注意是在自變量的同一個(gè)變化過程中。四、無窮小的性質(zhì)四、無窮小的性質(zhì)設(shè) nx和 ny是無窮小量于是：1）兩個(gè)無窮小量的和差也是無窮小量：0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx2）對(duì)于任意常數(shù) C，數(shù)列nxc也是無窮小量： 0)(lim0limnxnxxcx3）nyxn也是無窮小量，兩個(gè)無窮小量的積是一個(gè)

14、無窮小量。 0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx4） nx也是無窮小量：0lim0lim00nxxnxxxx 5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。五、函數(shù)極限的四則運(yùn)算五、函數(shù)極限的四則運(yùn)算1）若函數(shù)f和g在點(diǎn)0 x有極限，則)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx2）函數(shù)f在點(diǎn)0 x有極限，則對(duì)任何常數(shù)a成立 )(lim)(lim00 xfaxfaxxxx3）若函數(shù)f和g在點(diǎn)0 x有極限，則 )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx4）函數(shù)f和g在點(diǎn)0 x有極限，并且0)(lim0 xgxx，則 )(lim)(lim)(

15、)(lim000 xgxfxgxfxxxxxx極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)f 和 g在點(diǎn)0 x 有極限。定理 3 設(shè)函數(shù))(xgfy 是由函數(shù))(ufy 與)(xgu 復(fù)合而成，)(xgf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義，若0)(lim0uxgxx，Aufuu)(lim0，且存在00，當(dāng) ),(000 xux時(shí)，有0)(uxg，則例 1下面函數(shù)在 x 趨向什么時(shí)是無窮小，又當(dāng) x 趨向什么時(shí)是無窮大： 21,x sin1 cosxx 。例 2 求下面函數(shù)極限： 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。Aufxgfuuxx)(lim)(lim0093lim23xxx4532lim21xxxx第五節(jié)：極限存在準(zhǔn)

16、則第五節(jié)：極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：掌握極限存在準(zhǔn)則，透徹理解兩個(gè)重要極限。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。定理 1（夾逼定理） 三數(shù)列 nx、 ny和 nz，如果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1）nnnzyx，并且已知 nx和 nz收斂， 2）nxnxzaxlimlim，則有結(jié)論：aynxlim定理 2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。 極限0limxsinx/x =1該極限的證明，關(guān)鍵是證不等式:sinxxtanx (0 x/2).如圖.設(shè)單位圓O 的漸開線為AA.若記T

17、OAx，并過作軸于，C 切且交AA A C X及軸分別于、，則Sinx =THATAA=（x）=TB1- 1/n=（2(1/2)+（n-2） ）/n （1/2）21n-2n-2=（1/4）1/n則 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n即數(shù)列An有上界。于是，極限存在，并記為數(shù) e。例 1 求下面函數(shù)極限：xxxtanlim0，20cos1limxxx ，xxxarcsinlim0例 2 證明xxx)11 (lim有界，并求 xxx)11 (lim的極限。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第六節(jié)：無窮小的比較第六節(jié)：無窮小的比較教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：理解無窮小的比較概念。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教

18、學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：熟練應(yīng)用等價(jià)無窮小求極限。定義 若,為無窮小，且 1lim0lim0limlim0limccK 則與的關(guān)系，依次是高階、低階、同階、k 階、等價(jià)（） 1）若,為等價(jià)無窮小，則)(。 2）若1、1且11lim存在，則：11limlim 例 1證明下面各無窮小量之間的關(guān)系： sinxx與 x（x 0+） tanx-sinx 與 sinx（x 0） 。例 2求下面函數(shù)極限： xxx5sin2tanlim0， xxxx3sinlim30， 1cos1)1 (lim3120 xxx。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與

19、要求：利用定義判斷連續(xù)或間斷點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：判斷函數(shù)連續(xù) 。一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)f在點(diǎn)0 x連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值)(0 xf、左極限)0(0 xf與右極限)0(0 xf三者相等： )0()()0(000 xfxfxf或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點(diǎn)0 x有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值 。)()(lim00 xfxfxx 其形式定義如下：)()()(000 xfxfxxx函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù)時(shí)包括端點(diǎn)。注：1）左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))； 2）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線。 二、間

20、斷點(diǎn)二、間斷點(diǎn) 若：)0()()0(000 xfxfxf中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：1、第一類間斷點(diǎn)、第一類間斷點(diǎn) )0()0(00 xfxf即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。2、第二類間斷點(diǎn)、第二類間斷點(diǎn)0 x左極限)0(0 xf與右極限)0(0 xf兩者之中至少有一個(gè)不存在。例 1討論函數(shù)在 x=0 處的連續(xù)性：,0,( )1,0.x xf xx例 2求下面函數(shù)的間斷點(diǎn)，判斷其類型： 1(1) ,xyx 1cosxyx 。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第八節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第八節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：理

21、解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，并會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限。 教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：函數(shù)連續(xù)性判定。一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算1） )()(lim00 xfxfxx且)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx2） )()(lim00 xfxfxx且)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx3） )()(lim00 xfxfxx且0)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx二、反函數(shù)連續(xù)定理二、反函數(shù)連續(xù)定理如果函數(shù)fDxxfyf)

22、(:是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)1f：fDyyfx)(1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)。注：1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2）通常慣用 X 表示自變量，Y 表示因變量。反函數(shù)也可表成1)(1fDxxfy三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理： 設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件gfD，若函數(shù)g在點(diǎn) x0連續(xù)；00)(uxg，又若f函數(shù)在點(diǎn)0u連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)gf 在點(diǎn)0 x連續(xù)。 注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)與函數(shù)符號(hào)的交換：)(lim()(lim00 xgfxgfxxxx從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。例 1求下面函數(shù)的連續(xù)區(qū)間： lnsinyx， 11xxy 。例 2 求下面函數(shù)極限： 2arctansin()limaxalogxxa， 2arctansin()limaxalogxxa 。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第九節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第九節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)目的與要求：教學(xué)目的與要求：了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）：利用性質(zhì)解決問題。一、最