二協(xié)整分析的模型和方法

1、2協(xié)整分析的模型和方法2.1時(shí)間序列變量的平穩(wěn)性時(shí)間序列的平穩(wěn)性指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化，即生成時(shí)間序列的隨機(jī)過(guò)程的特征不隨時(shí)間的變化而變化。直觀上，一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以看作是一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。定義1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程如果時(shí)間序列Xj(t=1,2,)的聯(lián)合概率分布隨時(shí)間的平移而不變，則稱(chēng)該時(shí)間序列是嚴(yán)平穩(wěn)的，即無(wú)論對(duì)T的任何時(shí)間子集(ti,t2,tn)以及任何正整數(shù)k都有：F(x(ti),x(t2),，x(tn)=F(x(tik),x(t2k),，x(tnk)(2.1)成立，其中F()表示n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。定義2弱平穩(wěn)過(guò)程若

2、時(shí)間序列Xt(t=1,2,.)滿(mǎn)足下列條件：(l)均值E(xJ=u,與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。(2.2)(2)方差Var(xt)=。2,與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。一一(2.3)(3)協(xié)方差Cov(xt,xt«)=I,只與時(shí)間間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。一一(2.4)則稱(chēng)該隨機(jī)時(shí)間序列是弱平穩(wěn)的，本文所說(shuō)的平穩(wěn)就是這種弱平穩(wěn)。平穩(wěn)時(shí)間序列是短時(shí)記憶的，也就是說(shuō)它的當(dāng)前值不受較遠(yuǎn)以前的值的影響，只受近期值的影響。而非平穩(wěn)時(shí)間序列的當(dāng)前值則要受很久以前的數(shù)值的影響。非平穩(wěn)時(shí)間序列常有明顯趨勢(shì)，均值或方差或兩者都與時(shí)間有關(guān)，且方差會(huì)隨著時(shí)間推移而無(wú)限地增大。現(xiàn)實(shí)中我們接觸到的許多變量并不是平穩(wěn)的，對(duì)于

3、非平穩(wěn)的時(shí)間序列變量，一種處理辦法就是對(duì)變量進(jìn)行差分。2.2時(shí)間序列變量的單位根檢驗(yàn)、協(xié)整檢驗(yàn)定義1單整過(guò)程單整過(guò)程是一類(lèi)特殊的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)言之，單整過(guò)程是指經(jīng)過(guò)差分可以達(dá)到平穩(wěn)的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。如果一個(gè)原始時(shí)間序列平穩(wěn)，我們稱(chēng)之為1(0)過(guò)程。如果一個(gè)原始時(shí)間序列非平穩(wěn)、而經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，即I(0) Axt =為-乂以為I (0)過(guò)程)(2.5)我們就說(shuō)原時(shí)間序列是一階單整，記為1(1)。如果一次差分變換后仍然是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，則還可以對(duì)差分序列再作差分變換，在進(jìn)行了d次差分后才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，這種經(jīng)過(guò)d次差分才平穩(wěn)的時(shí)間序列稱(chēng)為d階單整，記為I(d)。定義2單位根過(guò)程對(duì)時(shí)間序

4、列變量xt建立下面的回歸式：xt=PxtJ(2.6)其中，當(dāng)P=1時(shí)，山為一平穩(wěn)過(guò)程，此時(shí)E(Ut)=0,Cov(Ut,Uf)=限，這里k=0,1,2.,將(3.6)式改寫(xiě)成一下形式：Ut-J1-Lxt(2.7)其中L為滯后算子，Lxt=xt,，(1-PL港為滯后多項(xiàng)式，它的特征方程：1-PZ=0(2.8)的根為1/P。當(dāng)P=1時(shí)，(2.8)式有一特征根。這就是單位根過(guò)程。2.2.1 單位根檢驗(yàn)在用時(shí)間序列建模前首要的是考慮變量的平穩(wěn)性，因而平穩(wěn)性的檢驗(yàn)則成為建立模型之前的重要問(wèn)題。相對(duì)應(yīng)的辦法是對(duì)序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，如果一個(gè)序列的特征方程有一個(gè)單位根，那么它就是非平穩(wěn)的，單位根檢驗(yàn)常用的方法

5、是DF(DickeyFuller)檢驗(yàn)或ADF(AugmentDiekeyFuller)檢驗(yàn)。我們對(duì)(2.6)式兩邊減去為得：xt=(-1)xt4-ut(2.9)(2.9)式中的系數(shù)P提出如下零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0:B=1(%非平穩(wěn))Hi:P<1(為平穩(wěn))在零假設(shè)成立的前提下，用DF統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。?-1,、DF=(2.10)s(u)/JZx；_4其中s（u）=JX?2（2.11）.n-1tz2對(duì)（3.6）式進(jìn)行最小二乘法回歸并計(jì)算DF統(tǒng)計(jì)量，Dickey和Fuller通過(guò)蒙特卡羅模擬的方法得到了DF分布表，我們可以通過(guò)查表得到DF統(tǒng)計(jì)量在一定顯著性下的臨界值。若DF統(tǒng)計(jì)量臨界值，

6、則接受H。，xt非平穩(wěn)。若DF統(tǒng)計(jì)量臨界值，則拒絕H。，不平穩(wěn)。當(dāng)已經(jīng)驗(yàn)證非平穩(wěn)，則繼續(xù)檢驗(yàn)Axt的平穩(wěn)性，用到A2Xt=（P-1）xt+ut,不斷作下去直到結(jié)論為平穩(wěn)時(shí)為止，從而獲得Xt為幾階單整序列。當(dāng)單位根檢驗(yàn)估計(jì)式D-W值很小，就是誤差項(xiàng)u存在序列自相關(guān)，應(yīng)采用如下形式檢驗(yàn)單位根。nXt=（P-1）Xt/+£“血十”（2.12）t=2這種帶有Axt滯后項(xiàng)的單整檢驗(yàn)叫做ADF檢驗(yàn)，做法與DF檢驗(yàn)一樣，只不過(guò)臨界值在ADF表中查找。實(shí)際中我們還常運(yùn)用到在（2.12）式的基礎(chǔ)上相應(yīng)加入位移項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的檢驗(yàn)式：nXt=u,（-1），二,Ut（3.13）t=2nxt=uat(：-1)x

7、t，.二'k：xtut(3.14)t=2其中u是位移項(xiàng)（也稱(chēng)截距），t是時(shí)間趨勢(shì)，通過(guò)對(duì)（2.12）、（2.13）、（2.14）三個(gè)回歸式的檢驗(yàn)判定是否含有截距項(xiàng)、時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，并檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性。以上三式中加入Axt的滯后項(xiàng)的是為了校正自相關(guān)性，因此滯后階數(shù)的選取既要校正自相關(guān)性，同時(shí)又要減少因選取滯后項(xiàng)而帶來(lái)的信息損失（滯后階越大，用于估計(jì)的有效樣本就越少）。實(shí)證中常用的方法有兩種：其一，漸進(jìn)t檢驗(yàn)，即對(duì)較大的滯后階數(shù)p用t檢驗(yàn)確認(rèn)片是否顯著。若不顯著，則減少p值直到對(duì)應(yīng)系數(shù)的t值顯著；其二，基于最小信息準(zhǔn)則來(lái)選取滯后階p,定義:Ik =log；?2p Ct/T(2.15)令Ct=2,

8、稱(chēng)Ik為Akaike信息準(zhǔn)則(AIC);令Ct=logT,則稱(chēng)鼠為Sehwarz貝葉斯信息準(zhǔn)則(SIC),即2一，一一、AIC-logc?2p/T(2.16)SIC=logc?2plogT/T(2.17)選取較大的滯后階數(shù)P,計(jì)算對(duì)應(yīng)的AIC(或SIC)值，然后減少P,直至AIC(SIC)值最小并基于此確定最終滯后階數(shù)。由于aic和sic漸近一致，故使用aic或sic均是可行的。2.2.2協(xié)整檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列用OLS方法直接進(jìn)行回歸，可能會(huì)出現(xiàn)決定系數(shù)R2接近于1,但D-W值很小的“偽回歸”現(xiàn)象。所謂偽回歸就是在有限樣本回歸中雖然各變量的相關(guān)系數(shù)較大，但事實(shí)上這些變量之間并不存

9、在實(shí)際的關(guān)系。要識(shí)別回歸的真?zhèn)?，就要用到協(xié)整檢驗(yàn)。協(xié)整的定義：如果一組時(shí)間序列X2t,.,Xnt,都是d階單整，存在向量口=(%,豆2，,心)使ccXtI(d-b),其中drb10,Xt=(Xt,X2t,.,Xnt),則稱(chēng)時(shí)間序列xa,.,4是b階協(xié)整(co-integration),«為協(xié)整向量。協(xié)整檢驗(yàn)的思想在于：如果某兩個(gè)或多個(gè)同階時(shí)間序列向量的某種線性組合可以得到一個(gè)平穩(wěn)的誤差序列，則這些非平穩(wěn)時(shí)間序列存在不受短期波動(dòng)影響的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，或者說(shuō)這些序列具有協(xié)整性。協(xié)整檢驗(yàn)分兩個(gè)變量之間和多個(gè)變量之間的協(xié)整性檢驗(yàn)，兩個(gè)變量之間的協(xié)整檢驗(yàn)通常用EngleGrange:兩步法(19

10、57),多個(gè)變量之間的協(xié)整檢驗(yàn)通常用Johansen(1988)l出的一種用向量自回歸的檢驗(yàn)方法，通常稱(chēng)為Johansen方法。EngleGranger兩步法的基本步驟如下：步驟1:用用OLS法估計(jì)同階單整的x和兒，之間可能的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，形式如下：yt=205(2.18)步驟2:用用，彳表示回歸系數(shù)的估計(jì)值，則模型殘差估計(jì)值為U?=yt-丹-耳X。對(duì)U?作平穩(wěn)性檢驗(yàn)。若殘差序列是平穩(wěn)的，則xt和yt之間存在(1,1)階協(xié)整關(guān)系，即存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系，否則就不存在協(xié)整關(guān)系。Johansen要稍復(fù)雜一些，是基于向量自回歸模型的系數(shù)矩陣的檢驗(yàn)，由于本研究的對(duì)象只涉及到兩個(gè)變量，故不再贅述。2.3誤差

11、修正模型雖然誤差修正模型的產(chǎn)生先于協(xié)整理論，但現(xiàn)在研究中普遍把誤差修正模型作為協(xié)整模型分析的一個(gè)延伸，這樣做的根據(jù)來(lái)自于Engle和Granger于1987年在協(xié)整與誤差修正模型之間建立了同構(gòu)，即著名的Granger定理，其文字表述如下：某兩個(gè)(或n個(gè))經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間軌跡，在長(zhǎng)期，這種軌跡被牽制著以大致相同的速率做同向運(yùn)動(dòng)且不至于分岔太遠(yuǎn)；在短期，它們有可能分岔(即偏離運(yùn)行軌道)，但經(jīng)過(guò)若干期調(diào)整，它們似乎又返回原有的運(yùn)行軌道或朝著原有的軌道運(yùn)行，則這兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量存在協(xié)整關(guān)系。Granger定理說(shuō)明存在協(xié)整關(guān)系的變量之間一定可以建立誤差修正模型。誤差修正模型是有協(xié)整關(guān)系的單整時(shí)間序列之間包含的

12、、一個(gè)反映長(zhǎng)期均衡對(duì)短期波動(dòng)影響的“誤差修正機(jī)制”的、特定形式的差分方程模型。誤差修正模型(ECM:ErrorCorreetionModel)是由Englel(1957)等提出的.考慮如下的(1,1)階自回歸分布滯后模型：yt=飛：1%：2%.二歿5(2.19)在模型的兩邊同時(shí)減去ytA,在右邊加、減P1xt，得yt=00+01Ax+(02-1)ecm,+ut(2.20)其中(2.21)P+P13ecmu=ytxt41-2p+p所以ecm=ytxt(2.22)t1-2t、一P+P對(duì)(3.22)式進(jìn)行整理得yt=Uxt+ec0(2.23)1 -：2(2.（20） 是誤差修正模型，(2.21)是誤

13、差修正項(xiàng)，(2.23)是反映長(zhǎng)期均衡關(guān)系的模型。誤差修正模型反映了影響因變量yt的短期波動(dòng)Ayt的各個(gè)因素。一方面，Ayt受自變量短期波動(dòng)Axt的影響，另一方面，Ayt受ecmu的調(diào)節(jié)，將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。卜面分析誤差修正項(xiàng)ecmu對(duì)Z的調(diào)節(jié)作用：一般地，模型中久1,在(2.（21） 若（t1）時(shí)刻yt大于其長(zhǎng)期均衡值01+03xt,此時(shí)ecmt為正，而表現(xiàn)1-'2在誤差修正模型（2.20）中，（P2-1）ecm為負(fù)，從而使Ayt變小；若（t-1）時(shí)刻yt小于其長(zhǎng)期均衡值-x-,此時(shí)ecmt為負(fù)，而表現(xiàn)在誤差修正模型（2.20）中，1-'2（民-1）ec或?yàn)檎瑥亩箖?/p>

14、變大。這說(shuō)明，該模型有一種對(duì)前期波動(dòng)的自動(dòng)修正作用，因此被稱(chēng)為“誤差修正模型”。誤差修正模型的自動(dòng)調(diào)整機(jī)制類(lèi)似于適應(yīng)性預(yù)期模型。若誤差修正項(xiàng)的系數(shù)P2-1在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，它將告訴我們yt在一個(gè)時(shí)期里的失衡有多大一個(gè)比例部分可在下一期得到糾正，或者說(shuō)“失衡”對(duì)下一期yt水平變化的影響的大小。通常由協(xié)整檢驗(yàn)的階數(shù)確定誤差修正模型的階數(shù)，更高階數(shù)的誤差修正模型具有更加復(fù)雜的形式。2.4格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)對(duì)于兩個(gè)時(shí)間序列變量為和見(jiàn)，如果變量有助于預(yù)測(cè)變量見(jiàn)，即根據(jù)的過(guò)去值對(duì)yt進(jìn)行自回歸時(shí)，如果再加上x(chóng)t的過(guò)去值，能顯著地增強(qiáng)回歸的解釋能力，則稱(chēng)為是yt的格蘭杰原因，否則，稱(chēng)為非格蘭杰原因。格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)要求估計(jì)以下回歸：qqyt:-iXt_L''yt_j-u1t（2.24）i1j1ssXt八'"天qyj,u2t（2.25）i1j1對(duì)（2.24）而百,零假設(shè)出：口1=%=.=%=0,Xt不是引起yt變化的原因。對(duì)（2.25）而言，零假設(shè)H0:初=62=2=。，yt不是引起xt變化的原因。對(duì)（2.24）式，在零假設(shè)成立的條件下，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 F(q,n -k)(2.26)(RSSr-R