等積變形習(xí)題

1、六年級(jí)奧數(shù)解析（七十）形體的等積變形2013-3-21 2:57:00 | By: spring 奧賽天天練第42講形體的等積變形。在實(shí)際生活中有些物質(zhì)如金屬、橡皮泥、或裝在容器里的液體等，可以通過 重塑或更換容器等改變?cè)瓉淼男螤?，在這個(gè)變換的過程中物體的形狀發(fā)生了變 化，體積不變，這就是形體的等積變形。本專題學(xué)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握并能靈活運(yùn)用長方體、正方體、圓柱、圓錐 的體積計(jì)算公式。解答此類問題的關(guān)鍵是抓住題中隱藏的等量關(guān)系：物體在改變形狀的過程中體積不變，即形狀發(fā)生改變前后物體的體積相等。奧賽天天練第42講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：在底面半徑是10厘米的圓柱形杯中裝有7厘米高的水，把一

2、小塊鐵浸入水 中，這時(shí)水面上升到9厘米，問這塊鐵塊的體積有多大？【解析】：這塊鐵塊的體積就是圓柱形杯中上升的那部分水的體積（即底面半徑為10厘米，高為2厘米的圓柱形體積）：3.14 X 102X（ 9-7）= 628 （立方厘米）。奧賽天天練第42講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：有甲、乙兩個(gè)容器如圖所示，（長度單位：厘米），先將甲容器注滿水，然 后將水倒入乙容器，求乙容器的水深【解析】：先求出倒入甲容器的水的體積：3.14 X 62X 10X 1/3 = 376.8 （立方厘米）再用水的體積除以乙容器的底面積，求出乙容器的水深：378.6 -（ 3.14 X 42）= 7.5 （厘米）。 注：此

3、類習(xí)題列綜合算式，先約分再計(jì)算，可以使計(jì)算更加簡潔。 奧賽天天練第 42 講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題 1【題目】：把一塊長 19 厘米，寬 5 厘米，高 3 厘米的長方體鋁塊和一個(gè)棱長為 7 厘米 的正方體鋁塊熔鑄成一個(gè)底面周長為 31.4 厘米的圓柱形的鋁塊，求圓柱形鋁塊 的高是多少厘米？【解析】： 熔鑄成的圓柱形鋁塊的體積就等于長方體鋁塊和正方體鋁塊的體積之和：19X 5X 3+ 73= 628 （立方厘米） 用圓柱形鋁塊的體積除以它的底面積，可以求出它的高為： 628-3.14 X（ 31.4 - 3.14 - 2） = 8 （厘米）。奧賽天天練第 42講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題 2【題目】：在一個(gè)底面

4、半徑是 20厘米的圓柱形水桶里， 有一個(gè)底面半徑為 10厘米的圓 柱形鋼材完全浸沒在水中， 當(dāng)鋼材從桶里取出后， 桶里的水面下降 3 厘米， 求這 段鋼材的長?！窘馕觥浚?圓柱形鋼材的體積就等于水桶里下降的那部分水的體積（即底面半徑為 20 厘米，高為 3 厘米的圓柱形體積）：3.14 X 202X 3= 3768 （立方厘米）所求鋼材的長為：3768-（ 3.14 X 102）= 12 （厘米）。奧賽天天練第 42講，拓展提高，習(xí)題 1 【題目】：有兩個(gè)等高的圓柱體，小圓柱體底面積是 50 平方厘米，大圓柱體的底面直 徑比小圓柱體大 20，大圓柱體的體積為 360 立方厘米，求小圓柱體的體積

5、?！窘馕觥浚阂蟪鲂A柱體的體積， 已知小圓柱體的底面積， 還需要先求出小圓柱體的 高。因?yàn)閮蓚€(gè)圓柱體等高，只求出大圓柱體的高就等于小圓柱體的高。由“大圓柱體的底面直徑比小圓柱體大 20”，可以求出大、小圓柱體底 面直徑之比為：（120）：1=6 ：5則兩個(gè)圓柱的底面積比為： 62 ：52= 36 ：25解法一： 又因?yàn)樾A柱體底面積是 50 平方厘米，可以求出大圓柱體的底面 積為：50X 36/25 = 72（平方厘米）則大圓柱體的高為：360- 72= 5 （厘米）即小圓柱體的高也是5厘米，可以求出小圓柱體的體積為：50 X 5 = 250 （立方厘米）。解法二：等高的兩個(gè)圓柱體的體積與底

6、面積成正比例，即它們的體積比就等 于它們的底面積之比：36 : 25可以直接求出小圓柱體的體積為：360-36/25 = 250 （立方厘米）。奧賽天天練第42講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：甲、乙兩個(gè)圓柱體容器，底面積之比為 4 : 3,甲容器水深7厘米，乙容器 水深3厘米，再往兩個(gè)容器各注入同樣多的水， 直到水深相等，這是水深多少厘 米？【解析】：當(dāng)兩個(gè)容器中水深相等時(shí)，容器中水的體積比就等于兩個(gè)容器的底面積之比 為：4 : 3。如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，則乙容器中1厘米深的水量就有 3份。甲容器中已有水量為：4X 7 = 28 （份）乙容器中已有水量為：3X 3 = 9 （份）

7、假設(shè)后來注入兩個(gè)容器中的水都是 x份，由題意可得：（28 + x） ：（ 9 + x） = 4 : 3解比例得：x=48所求水的深度為：（28 + 48）十 4= 19 （厘米）。等積變形練習(xí)題1，一個(gè)盛水的圓柱形 水桶，內(nèi)底面周長為6028分米，當(dāng)一個(gè)長方形的物體投入水中時(shí)，水 面上升1分米，量得這個(gè)長方體的長為3.14分米，寬為1分米，他的高是多少？2, 在長為15厘米，寬為12厘米的長方體水箱中，有10厘米深的水，現(xiàn)沉入一個(gè)高為10厘米的圓錐形鐵塊（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圓錐的底面積 ？3, 甲，乙兩個(gè) 圓柱體容器，底面積比為 4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深 3厘米，

8、再往兩 容器中各注入同樣多的水，直到水深相等，這時(shí)水深多少厘米？4, 一個(gè)棱長為1分米的正方體木塊， 從這個(gè)木塊中各出一個(gè)最大的圓錐，求這個(gè)圓錐的表面積和體積？5，用一張長3米寬1米的長方形 鐵皮可以做成無底的圓柱形管子，此圓柱形管子的最大面積是多少？6，一個(gè)膠水瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是32.4立方厘米，當(dāng)瓶子正放時(shí)， 瓶內(nèi)膠水深為8厘米，瓶子倒放時(shí)，空余部分為2厘米，則瓶內(nèi)所裝水的體積是多少？7. 有A.B兩個(gè)圓柱形容器，最初在容器A里裝有2升水，容器B是空的?，F(xiàn)在往兩個(gè)容器中以每分鐘0.4升的流量注入水，4分鐘后，兩個(gè)容器的水面高度相等。設(shè)B的底面半徑為5厘米，那么A的底

9、面直徑是多少厘米？8. 將一個(gè)圓柱體木塊沿上下底面圓心切成四塊，表面積增加48平方厘米；若將這個(gè) 圓柱體切成三塊小圓柱體，表面積增加50.24平方厘米?，F(xiàn)在把這個(gè)圓柱體木塊削成一個(gè)最大的 圓 錐體，體積減少多少立方厘米？9. 圓鋼切削成一個(gè)最大的 圓錐體，切削掉的部分部分重 8千克，這段 圓鋼重多少kg?10. 棱長是4分米的立方體鋼坯 切削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？11. 一個(gè)體積為60立方厘米的圓柱，削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘 米？12. 一車箱是長方體，長 4米，寬1.5米，高4分米，裝滿沙，堆成一個(gè)高5分米的圓錐，底面積多少m213. 一個(gè)底面

10、周長15.7m高10m的圓柱鐵塊，熔成一個(gè)底面積是25 m的圓錐，圓錐的高是多少m ?14. 把一個(gè)體積是18 cm3的圓柱削成一個(gè)最大的圓錐，削成的圓錐體積是多少cm 3?15. 正方體鋼材，棱長 6分米，把它削成一個(gè)最大的圓錐體零件，零件的體積是多少？奇妙的“等積變形”江蘇省淮安市新民路小學(xué) 單廣紅江蘇省淮安市武墩中心小學(xué)高德洋幾何知識(shí)在小學(xué)階段一向是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。高年級(jí)立體圖形的表面積、體積的應(yīng)用問題更主讓學(xué)生望而卻步。針對(duì)這種現(xiàn)象，迫使教者去思考：如何在教學(xué)過程中化難為易，讓學(xué)生不再懼怕數(shù)學(xué)中的幾何問題。通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，“等積變形”可以減少計(jì)算上的繁瑣、掃除理解上的障礙，用數(shù)學(xué)獨(dú)有的內(nèi)

11、涵點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué) 習(xí)熱情。下面就圓柱的表面積、體積的教學(xué)，來談?wù)勂婷畹摹暗确e變形”體現(xiàn)的“巧”。一、剪拼變形，化繁為簡巧計(jì)算圓柱表面積的計(jì)算看似簡單：只要求三個(gè)面的面積和就行了。實(shí)際在學(xué)習(xí)過程中正確率非常低，有些學(xué)生分不清圓的周長和面積公式，在算側(cè)面積時(shí)常會(huì)用“底面積x高”；有些學(xué)生好不容易列式正確，但面對(duì)長長的三道算式（底面積計(jì)算、側(cè)面積計(jì)算、底面積x2+側(cè)面積）而“望式生嘆”，動(dòng)筆就錯(cuò)；就連很優(yōu)秀的學(xué)生也不容易把幾道式子都做正確。面對(duì)此景，我聯(lián)想起學(xué)生五年級(jí)學(xué)習(xí)圓的面積公式推導(dǎo)時(shí)用“化曲為直” 的方法，索性引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作 ,去找出更快捷、 簡便的方法。 學(xué)生迫不及待地動(dòng)起手來， 有了驚喜的

12、發(fā)現(xiàn)：S表=2r x (r+h)。操作思考思路如下圖：學(xué)會(huì)了如此解題后，大大提高了運(yùn)算速度和正確率，現(xiàn)在的計(jì)算量只相當(dāng)于原來的。但要提醒學(xué)生注意 ,這只適用于圓柱的表面積是由三個(gè)面組成 ,遇其他情況要隨機(jī)應(yīng)變。二、等積變通，移花接木巧變形 圓柱表面積通過“等積變形”簡化了計(jì)算。實(shí)際，等積變形在體積計(jì)算中運(yùn)用更加廣泛。如最常見的測 量土豆、石塊等不規(guī)則物體的體積，只要在玻璃容器中放適量的水，然后完全浸沒水中只要求出上升部份 水的體積即可，本文不再細(xì)細(xì)贅述。 下面舉例來談?wù)劇耙苹ń幽尽钡淖冃畏椒ㄓ?jì)算有趣的飲料體積問題。例 一個(gè)飲料瓶里面飲料深 10 厘米，把瓶子塞緊后倒置 (瓶口向下 ),這時(shí)上面

13、空白部份深為 2.5 厘米 ,已知瓶 子的容積是 600 毫升，你能算出瓶內(nèi)飲料是多少毫升嗎 ?在處理這一題時(shí)，典型的教學(xué)方法是：把 600 毫升的飲料按 10 ： 2.5 進(jìn)行按比例分配，其中 即為飲料的體 積。可是講解后大部分學(xué)生仍面露茫然。筆者是這樣處理的：出示此題后，用圖標(biāo)出題意，然后問：瓶子 倒置后瓶子的大小變了沒有？飲料的多少變了沒有？你發(fā)現(xiàn)了什么？和小組同學(xué)說說發(fā)現(xiàn)。學(xué)生本來對(duì)這 類題就充滿了好奇，馬上帶著問題很快進(jìn)入了探討、爭論的狀態(tài)中去。一會(huì)兒，每個(gè)學(xué)生小臉爭得紅紅， 小手兒舉得高高，發(fā)現(xiàn)：瓶子大小沒變、飲料的多少也沒變，那么空白的部份的容積就也是一樣大了，所 以把前面不規(guī)則

14、的空白部份換成后面的規(guī)則的空白部份，這樣就把不規(guī)則的飲料瓶子變成一個(gè)圓柱體了，如圖：所以，用“體積-兩個(gè)高的和 =底面積”，再用“底面積X 10”就是飲料的體積了。算術(shù)為 600*( 10+2.5)x 10=500(毫升 )。把這位同學(xué)的思路用上面的圖呈現(xiàn)出來，很快贏得了同學(xué)們的共鳴，學(xué)生感受到圖形問 題原來并不可怕，通過變形后它變得那么的神奇、有趣、簡單。三、拓展變式，異中求同巧聯(lián)系布魯姆曾說過： “學(xué)習(xí)中經(jīng)常取得成功可能會(huì)導(dǎo)致更大的學(xué)習(xí)興趣。 ”作為教師在教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)造獲得 成功的機(jī)會(huì)。勤鉆研、細(xì)分析，幫助學(xué)生克服困難，獲取成功。比如在體積應(yīng)用教學(xué)中，物體是否完全沒 入水中 ,會(huì)引起不

15、同的變化效果，這時(shí)要多引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、歸納，充分發(fā)揮“等積變形”的神奇功能， 利用規(guī)律解決各種難題。例有一圓柱形的玻璃容器 ,底面半徑是 10厘米,高20分米,水高8厘米,在容器中垂直放入一底面直徑為 8厘 米，高為 30 厘米的圓柱形物體 ,這時(shí)的水高為多少厘米 ?這類練習(xí)學(xué)生理解起來很困難 ,如果我們借助媒體 ,將上面的問題簡化成水柱的“體積變形”，并進(jìn)行演示，使之形象化 ,可以幫助學(xué)生更清晰的明白題目所要表達(dá)的內(nèi)容.如圖演示后學(xué)生明白 :變化前后水的體積不變， 只是水柱的形狀發(fā)生了變化 ,由左邊的半徑是 10厘米,高是8厘米的圓柱體變成了右面的底面是空心的圓柱了。由此不難理解列式:1

16、02x 3.14x 8*3.14x 102-3.14x (8*2)2。借助媒體 ,形象展示了變形過程，更有效的發(fā)現(xiàn)了規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系。其實(shí)，“等積變形”在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用還有很多。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很講究一個(gè)“巧”字，有的問題解答的方法有很 多，若找到了巧的方法不僅易懂，更節(jié)時(shí)、高效。同樣在其他知識(shí)的教、學(xué)中，也要不斷的研究、分析， 探索其中規(guī)律，尋出解題捷徑。作者簡介 單廣紅，女，黨員，本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師。畢業(yè)于江蘇省淮安師范學(xué)?！，F(xiàn)任江蘇省淮安市新民路小 學(xué)教務(wù)副主任。論文讓“錯(cuò)誤”演繹課堂的精彩發(fā)表在國家級(jí)核心刊物小學(xué)教學(xué)研究上，還有幾 篇文章分別被中小學(xué)教育 、小學(xué)教學(xué)參考 (數(shù)學(xué)版) 、山西教育

17、錄用。多篇文章在省市級(jí)評(píng)比中獲 獎(jiǎng)。參加過淮安市青年教師“十項(xiàng)全能基本功大賽”獲得“優(yōu)秀選選手”光榮稱號(hào)。曾被評(píng)為“十佳教師”“優(yōu)秀共青團(tuán)標(biāo)兵” 。在去年下鄉(xiāng)支教中深受同行和學(xué)生的好評(píng) ,被區(qū)教育局表彰為“優(yōu)秀支教工作者” 。本 人的座右銘是： 只要努力，一切皆有可能！圓柱與圓錐奇妙的等積變形數(shù)學(xué)課堂應(yīng)幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維能力，從而提高課堂效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。等積變形是小學(xué)階段要滲透落實(shí)的重要思想方法之一。生活中大量存在其身影。在實(shí)際生活中有些 物質(zhì)如金屬、橡皮泥、或裝在容器里的液體等，可以通過熔鑄、鍛造、重塑或更換容器等改變?cè)瓉淼男螤睿?在這個(gè)變換的過程中物體的形狀

18、發(fā)生了變化，體積不變，這就是形體的等積變形。本專題學(xué)習(xí)，需要學(xué)生 熟練掌握并能靈活運(yùn)用長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積計(jì)算公式。解答此類問題的關(guān)鍵是抓住題中隱 藏的等量關(guān)系，于是我們分層設(shè)計(jì)了以下三組題目，由易到難，不斷充盈學(xué)生智慧的錦囊，化繁為簡。一、充分體會(huì)用等積變形的規(guī)律和特點(diǎn)解決問題。（敘述較明顯的直柱體之間變形）1. 在一個(gè)長4米，寬3米，深2米的水池里裝滿水，將這個(gè)水池里的水全部抽到一個(gè)深2米的水池里時(shí)，水深1.5米，這個(gè)圓柱體水池的底面積是多少？（倒水問題）這道題中液體的形狀隨著容器形狀的改變而改變，此時(shí)雖然容器的形狀不同，但兩個(gè)水池所容納水的體積 是相等的。抓住等積變形 V長=

19、V柱，這道題即能迎刃而解。類似的題目比比皆是，到處都有其身影。如口：2. 把一塊長19厘米，寬5厘米，高3厘米的長方體鋁塊和一個(gè)棱長為7厘米的正方體鋁塊熔鑄成一個(gè)底面周長為31.4厘米的圓柱形的鋁塊，求圓柱形鋁塊的高是多少厘米？（熔鑄問題）此題抓住V長+V正=V柱的等積變形，再配合逆向公式學(xué)以致用。3. 有一個(gè)近似圓錐形的沙堆， 底面周長是25.12米，高1.8米，用這堆沙在10米寬的公路上鋪3厘米厚的路面，能鋪多少米？（得數(shù)保留整數(shù)）（鋪路問題）此題敘述也比較直白，抓住 V錐=V長的等積變形。布魯姆曾說過：“學(xué)習(xí)中經(jīng)常取得成功可能會(huì)導(dǎo)致更大的學(xué)習(xí)興趣。”作為教師在教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)造獲得成功的

20、機(jī)會(huì)。勤鉆研、細(xì)分析，幫助學(xué)生克服困難，獲取成功。例如物體是否完全沒入水中，會(huì)引起不同的變化效果，這時(shí)要多引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、歸納，充分發(fā)揮“等積變形”的神奇功能，利用規(guī)律解決各種 難題。4. 在底面積是60平方分米的圓柱形容器里，注入 4分米深的水。若把底面積是20平方分米，高是3分米 的一個(gè)圓柱形鐵棒豎直放在水中完全浸沒。水面將上升多少分米？（完全浸沒問題）此題抓住V柱棒=V升柱水的等積變形。由于學(xué)生具有五年級(jí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)好理解：如果完全浸沒，浸沒物體 的體積等于上升那部分圓柱體水的體積。V上升水圓柱V3分米高圓柱鐵棒二、學(xué)會(huì)利用所學(xué)的知識(shí)用轉(zhuǎn)化法解決稍復(fù)雜的等積變形。（敘述稍靈活一些的直柱

21、體變形）1.、在底面積是60平方分米的圓柱形容器里，注入 4分米深的水。若把底面積是 20平方分米，高是8分 米的一個(gè)圓柱形鐵棒豎直放在水中未完全浸沒。水面將上升多少分米？（未完全浸沒問題）此題需要學(xué)生讀懂題后，準(zhǔn)確分析岀來究竟抓住哪部分的體積變形后是相等的，與完全浸沒進(jìn)行區(qū)分。對(duì)于學(xué)生來說理解起來還是有困難的 ，如果我們借助媒體，將上面的問題簡化成水柱的“體積變形”，并進(jìn)行演示，使之形象化，可以幫助學(xué)生更清晰的明白題目所要表達(dá)的內(nèi)容.如圖V水柱=V空心水柱,形象演示后學(xué)生明白：變化前后水的體積不變，只是水柱的形狀發(fā)生了變化，由左邊的底面積是60平方分米，高是 4分米深的圓柱體水柱變成了右面的

22、底面是空心的圓柱水了。由此不難找到解題方法。由于借助媒體 展示了變形過程，會(huì)更有效的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，解題方法多樣化。（需配課件演示）2、一個(gè)飲料瓶里面飲料深 10厘米，把瓶子塞緊后倒置（瓶口向下），這時(shí)上面空白部分深為 2.5厘米，已知 瓶子的容積是600毫升，你能算出瓶內(nèi)飲料是多少毫升嗎？（飲料體積問題）此題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)揮想象用等積變形的思想把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。岀示此題后，用圖標(biāo)岀題意，然后問：瓶子倒置后瓶子的大小變了沒有？飲料的多少變了沒有？你發(fā)現(xiàn)了什么？和小組同學(xué)說說發(fā)現(xiàn)。學(xué) 生本來對(duì)這類題就充滿了好奇，馬上帶著問題很快會(huì)進(jìn)入探討、爭論的狀態(tài)。他們會(huì)發(fā)現(xiàn)：瓶子大小沒變、 飲料的多少也沒變，那么空白的部分的容積就一樣大了，所以把前面不規(guī)則的空白部分換成后面的規(guī)則的 空白部分，這樣就把不規(guī)則