[高等教育]橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)

1、.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學備課組雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時

2、，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則

3、或.11. 設P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半

4、徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.2. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.3. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.4. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.5. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.6

5、. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.7. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.8. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.9. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).10. 設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.11. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.12. AB是橢圓的不平行于對

6、稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。13. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.16. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.17. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.18. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）19. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.20. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦

7、P1P2的直線方程是.21. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.22. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,.當在左支上時，,23. 設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.24. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.25. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。

8、26. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A