數(shù)學直角坐標系講義新人教A選修

1、數(shù)學直角坐標系講義新人教A選修一平面直角坐標系的建立思考思考:聲響定位問題聲響定位問題 某中心接到其正東、正西、正北方向某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比其他兩個觀測點晚響的時間比其他兩個觀測點晚4s，已知各，已知各觀測點到中心的距離都是觀測點到中心的距離都是1020m，試確定，試確定該巨響的位置。（假定當時聲音傳播的速該巨響的位置。（假定當時聲音傳播的速度為度為340m/s，各相關(guān)點均在同一平面上），各相關(guān)點均在同一平面上）(2004年廣東高

2、考題年廣東高考題)y yx xB BA AC CP Po o 以接報中心為原點以接報中心為原點O，以，以BA方向為方向為x軸，建立軸，建立直角坐標系直角坐標系.設(shè)設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，分別是西、東、北觀測點， 設(shè)設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由）為巨響為生點，由B、C同時聽同時聽到巨響聲，得到巨響聲，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分線線PO上，上，PO的方程為的方程為y=x，因，因A點比點比B點晚點晚4s聽到爆炸聲，聽到爆炸聲，y yx xB BA AC CP Po o則則 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)故故|PA| |PB

3、|=3404=1360由雙曲線定義知由雙曲線定義知P點在以點在以A、B為焦點的為焦點的雙曲線雙曲線 上，上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故雙曲線方程為10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心距中心 處處.m10680用用y=x代入上式，得代入上式，得 ，|PA|PB|,5680 x 解決此類應用題的關(guān)鍵：解決此類應用題的關(guān)鍵：1、建立平面直角坐標系、建立平面直角坐標系2、設(shè)點（點與坐標的對應）、設(shè)點（點與坐標的

4、對應）3、列式（方程與坐標的對應）、列式（方程與坐標的對應）4、化簡、化簡5、說明、說明坐坐 標標 法法例例1.已知已知ABC的三邊的三邊a,b,c滿足滿足 b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊分別為邊AC,CF上上的中線，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼档闹芯€，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼堤骄刻骄緽E與與CF的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。(A)FBCEOyx以以ABC的頂點為原點的頂點為原點，邊邊AB所在的直線所在的直線x軸，建立直角軸，建立直角坐標系，由已知，點坐標系，由已知，點A、B、F的的坐標分別為坐標分別為解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cCx y設(shè)點

5、 的坐標為(x,y),則點E的坐標為（ ，）.2 22222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因為2()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BE與與CF互相垂直互相垂直. 具體解答過程見書本具體解答過程見書本P4 你能建立不同的直角坐標系解決這你能建立不同的直角坐標系解決這個問題嗎？比較不同的直角坐標系下解個問題嗎？比較不同的直角坐標系下解決問題的過程，建立直角坐標系應注意決問題的過程，建立直角坐標系應注意什么問題？什么問題？建系時，根據(jù)幾何特點選擇適當?shù)闹苯?/p>

6、建系時，根據(jù)幾何特點選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼?。坐標系。?）如果圖形有對稱中心，可以選對）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標原點；稱中心為坐標原點；（2）如果圖形有對稱軸，可以選擇對）如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標軸；稱軸為坐標軸；（3）使圖形上的特殊點盡可能多的在）使圖形上的特殊點盡可能多的在坐標軸上。坐標軸上。二二. .平面直角坐標系中的伸縮變換平面直角坐標系中的伸縮變換思考：思考：（1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=sin2x?xO 2 y=sinxy=sin2x 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點上任取一點P(x,y)，保持縱坐標不變，

7、將橫坐標保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為原來縮為原來的的 ，就得到正弦曲線，就得到正弦曲線y=sin2x.12 上述的變換實質(zhì)上就是一個坐標的上述的變換實質(zhì)上就是一個坐標的壓縮變換，即：壓縮變換，即： 設(shè)設(shè)P(x,y)是平面直角坐標系中任意是平面直角坐標系中任意一點，保持縱坐標不變，將橫坐標一點，保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為縮為原來原來 ，得到點，得到點P(x,y).坐標對應關(guān)系坐標對應關(guān)系為：為：12x= xy=y121通常把通常把 叫做平面直角坐標系中叫做平面直角坐標系中的一個壓縮變換。的一個壓縮變換。1坐標對應關(guān)系為：坐標對應關(guān)系為：（2）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲

8、得到曲線線y=3sinx?寫出其坐標變換。寫出其坐標變換。設(shè)點設(shè)點P（x,y）經(jīng)變換得到點為）經(jīng)變換得到點為P(x,y)x=xy=3y2通常把通常把 叫做平面直角坐標系中叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸長變換。的一個坐標伸長變換。2 在正弦曲線上任取一點在正弦曲線上任取一點P（x,y），），保持橫坐標保持橫坐標x不變，將縱坐標伸長為原不變，將縱坐標伸長為原來的來的3倍，就得到曲線倍，就得到曲線y=3sinx。（3）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=3sin2x? 寫出其坐標變換。寫出其坐標變換。 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點上任取一點P(x,y)，保持

9、縱坐標不變，將橫坐標保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為原來縮為原來的的 ，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標變?yōu)樵?，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標變?yōu)樵瓉淼膩淼?倍，就得到正弦曲線倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.12設(shè)點設(shè)點P（x,y）經(jīng)變換得到點為）經(jīng)變換得到點為P(x,y)x= xy=3y123通常把通常把 叫做平面直角坐標系中叫做平面直角坐標系中的一個坐標伸縮變換。的一個坐標伸縮變換。3定義：設(shè)定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標系中是平面直角坐標系中任意一點，在變換任意一點，在變換(0):(0)xxyy 的作用下，點的作用下，點P(x,y)對應對應P(x,y).稱稱 為平面直角坐標系中的伸縮變換。為平面直角坐標

10、系中的伸縮變換。 4注注 （1） （2）把圖形看成點的運動軌跡，）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角）在伸縮變換下，平面直角坐標系不變，在同一直角坐標系下進坐標系不變，在同一直角坐標系下進行伸縮變換。行伸縮變換。0,0練習：練習：1.在直角坐標系中，求下列方程所對在直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換應的圖形經(jīng)過伸縮變換x=xy=3y后的圖形。后的圖形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐標系下，求滿足下列在同一直角坐標系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線圖形的伸縮變換：曲線4x2+9y2=36變變?yōu)榍€為曲線x2+y2=13.在同一直角坐標系下，經(jīng)過伸縮變在同一直角坐標系下，經(jīng)過伸縮變換換 后，后，曲線曲線C變?yōu)樽優(yōu)閤29y2 =1，求曲線，求曲線C的方的方程并畫出圖形。程并畫出圖形。x=3xy=y思考：在伸縮思考：在伸縮 下，橢圓是否可以下，橢圓是否可以變成圓？拋物線，