2017年度年新人教A版本數(shù)學必修一 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案精講

1、讀教材·填要點1二分法的定義對于區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法2二分法的步驟給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間a，b，驗證f(a)·f(b)0，給定精確度；(2)求區(qū)間(a，b)的中點c；(3)計算f(c)：若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點；若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點x0(a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點x0(c，b)(4)判斷是否達到精確度：即若|ab|，

2、則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)(4)小問題·大思維1能否用二分法求任何函數(shù)(圖象是連續(xù)的)的近似零點？提示：不能看一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且在該零點左右兩側函數(shù)值異號2由二分法的步驟，你認為“精確度”與“精確到”是一回事嗎？提示：不是一回事這里所謂的“精確度”是指區(qū)間的長度達到某個規(guī)定的數(shù)值，即|ab|<.而“精確到”是指某個數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位，如計算1精確到0.01，即為0.33.3當區(qū)間(a，b)的長度達到精確度，即|ab|<時，通常如何確定零點的近似值？提示：當區(qū)間長度達到精確度時，可取區(qū)間內的任何

3、一個數(shù)值作為零點為方便，常取區(qū)間的端點a(或b)作為零點用二分法求函數(shù)零點例1求函數(shù)f(x)x32x23x6的一個正數(shù)零點(精確度為0.1)自主解答由于f(1)6<0，f(2)4>0，可取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值(1,2)1.5(1.5,2)0.234 4(1.5,1.75)1.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 5<0.1，所以可將1.687 5作為函數(shù)零點的近似值用二分法求函數(shù)零點近似值的過程

4、中，首先依據(jù)函數(shù)性質確定函數(shù)零點存在的一個區(qū)間，此區(qū)間選取應盡量小，并且易于計算，再不斷取區(qū)間中點，把區(qū)間的范圍逐步縮小，使得在縮小的區(qū)間內存在一零點當達到精確度時，這個區(qū)間內的任何一個值均可作為函數(shù)的零點1判斷函數(shù)yx3x1在區(qū)間1,1.5內有無零點，如果有，求出一個近似零點(精確度為0.1)解：因為f(1)10，f(1.5)0.8750，且函數(shù)yx3x1的圖象是連續(xù)的曲線，所以它在區(qū)間1,1.5內有零點，用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(1,1.5) (1.25,1.5)(1.25,1.375)1.312 5 5,1.375)1.343 75由于|1.3751.312

5、5|0.062 50.1，所以函數(shù)的一個近似零點為1.312 5.用二分法求方程的近似解例2求方程x22x1 的一個近似解(精確度0.1)自主解答設f(x)x22x1.f(2)1<0，f(3)2>0，在區(qū)間(2,3)內，方程x22x10有一實數(shù)根，記為x0取2與3的平均數(shù)2.5，f(2.5)0.25>0，2<x0<2.5.再取2與2.5的平均數(shù)2.25，f(2.25)0.437 5<0，2.25<x0<2.5.如此繼續(xù)下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0x0(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375

6、)>0x0(2.375,2.4375)|2.3752.4375|0.062 5<0.1，方程x22x1的一個精確度為0.1的近似解可取為2.437 5.2求方程lg x2x的近似解(精確度為0.1)解：在同一坐標系中，作出ylg x，y2x的圖象如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)方程lg x2x 有唯一解，記為x0，并且解在區(qū)間(1,2)內設f(x)lg xx2，則f(x)的零點為x0.用計算器計算得f(1)<0，f(2)>0x0(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0x0(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0x0(1.75,2)，f(1.75)&l

7、t;0，f(1.875)>0x0(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.812 5)>0x0(1.75,1.812 5)|1.812 51.75|0.062 5<0.1，方程的近似解可取為1.8125.解題高手妙解題同樣的結果，不一樣的過程，節(jié)省解題時間，也是得分！探索函數(shù)yx與函數(shù)ylogx的圖象有無交點，如有交點，求出交點的坐標(精確度為0.1)巧思探究函數(shù)圖象的交點問題，就是探究兩個函數(shù)，當函數(shù)值相等時，自變量x的值，即方程的根的存在性問題，確定存在后，再用二分法求近似值妙解設函數(shù)f(xxlogx，因為f(1)1.3>0，f(2)0.95<

8、;0，且函數(shù)f(xxlogxxlogx0在區(qū)間(1,2)內有實數(shù)解x0.取區(qū)間(1,2)的中點x11.5，用計算器可算得f(1.5)0.06<0.因為f(1)·f(1.5)<0，所以x0(1,1.5)取區(qū)間(1,1.5)的中點x21.25，用計算器可算得ff(1.25)·f(1.5)<0，所以x0(1.25,1.5)同理可得x0(1.375,1.5)，x0(1.437 5,1.5)，x0(1.468 75,1.5)由于|1.51.468 75|<0.1，所以此時區(qū)間(1.468 75，1.5)的兩個端點均可作為函數(shù) f(xxlogx0在區(qū)間(1,2)

9、內的解約為1.5(不唯一)所以函數(shù)yx與函數(shù)ylogx在區(qū)間(1,2)內的交點坐標約為(1.5,)，即(1.5,1.5)1如圖所示，下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點，但不能用二分法求交點橫坐標的是()解析：按定義，f(x)在a，b上是連續(xù)的，且f(a)·f(b)<0，才能不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，進而利用二分法求出函數(shù)的零點故結合各圖象可得選項B、C、D滿足條件，而選項A不滿足，在A中，圖象經過零點x0時，函數(shù)值不變號，因此不能用二分法求解答案：A2用二分法求函數(shù)f(x)2x3的零點時，初始區(qū)間可選為()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：f(1)3&

10、lt;0，f(0)13<0，f(1)23<0，f(2)431>0.答案：C3已知f(x)的一個零點x0x0近似值時，判斷各區(qū)間中點的函數(shù)值的符號最多需要的次數(shù)為()A6 B7C8 D9解析：函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的長度是1，用二分法經過7次分割后區(qū)間的長度變?yōu)?lt;0.01.答案：B4用二分法研究函數(shù)f(x)x23x1的零點時，第一次經過計算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個零點x0_，第二次應計算_解析：由零點的存在性可知，x0(0,0.5)，取該區(qū)間的中點0.25.第二次應計算f(0.25)答案：(0,0.5)f(0.25)5在用二分法求方程f(x)0在0,1

11、上的近似解時，經計算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一個近似解為_(精確度為0.1)解析：f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，方程解在(0.687 5,0.75)上，而|0.750.687 5|<0.1.解為0.718 75.答案：0.718 756用二分法求方程x250的一個近似正解(精確度為0.1)解：令f(x)x25，因為f(2.2)0.16<0，f(2.4)0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(2.2，2

12、.4)內有零點x0，取區(qū)間(2.2,2.4)的中點x12.3，f(2.3)0.29，因為f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0(2.2,2.3)，再取區(qū)間(2.2,2.3)的中點x22.25，f(2.25)0.0625，因為f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0(2.2,2.25)，由于|2.252.2|0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取為2.25.一、選擇題f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()A4,4B3,4C5,4 D4,3解析：圖象與x軸有4個交點，所以解的個數(shù)為4；左、右函數(shù)值異號的有3個零點，所以可以

13、用二分法求解的個數(shù)為3.答案：D2定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有一個零點x0，且f(a)·f(b)<0，用二分法求x0時，當f()0時，則函數(shù)f(x)的零點是()A(a，b)外的點BxC區(qū)間(a，)或(，b)內的任意一個實數(shù)Dxa或xb答案：B3設f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)內近似解的過程中，計算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能確定解析：f(1)<0，f(1.5

14、)>0，f(1.25)<0，則由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上答案：B4用二分法求函數(shù)的零點，函數(shù)的零點總位于區(qū)間(an，bn)內，當|anbn|<時，函數(shù)的近似零點與真正的零點的誤差不超過()AB.C2D.解析：最大誤差即為區(qū)間長度.答案：A二、填空題5已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下的對應值表：x21012345678f(x)136216191318242998則下列判斷正確的是_函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)內有零點；函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內有零點；函數(shù)f(x)在區(qū)間(5,6)內有零點；函數(shù)f(x)在

15、區(qū)間(1,7)內有三個零點解析：f(1)·f(0)0，f(2)·f(3)0，f(5)·f(6)0，又f(x)的圖象連續(xù)不斷，所以函數(shù)f(x)在(1,0)，(2,3)，(5,6)三個區(qū)間上均有零點，但不能斷定有幾個零點，故正確，不正確答案：6用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內的實根，取區(qū)間中點x02.5，那么下一個有根區(qū)間是_解析：令f(x)x32x5，f(x)圖象在2,3上連續(xù)不斷，f(2)10，f(3)160，f(x0)f(2.5)5.6250，f(2)·f(2.5)0，故下一個有根區(qū)間是(2,2.5)答案：(2,2.5)7已知方程mx2x10在

16、(0,1)區(qū)間恰有一解，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：設f(x)mx2x1，方程mx2x10在(0,1)內恰有一解，當m0時，方程x10在(0,1)內無解，當m0時，由f(0)f(1)<0，即1(m11)<0，解得m>2.答案：(2，)8從上海到舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)某處接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點，一般最多需要檢查接點個數(shù)是_解析：先檢查中間的1個接點，若正常，則可斷定故障在其另一側的7個接點中；然后檢查這一段中間的1個接點，若仍正常，則可斷定故障在其另一側的3個接點中；最后只需檢查這3個接點中間的1個，即可找出故障所在故一般最多只需檢查3

17、個接點答案：3三、解答題9求方程2x33x30的一個近似解(精確度0.1)解：設f(x)2x33x3，經計算，f(0)3<0，f(1)2>0，所以函數(shù)在(0,1)內存在零點，即方程2x33x30在(0,1)內有實數(shù)解，取(0,1)的中點0.5，經計算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內有解如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b) 的中點f(a)f(b)f()(0,1)f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0 (0.5,1)f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>

18、;0(0.5,0.75)f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因為|0.687 50.75|0.0625<0.1，所以方程2x33x30的精確度為0.1的一個近似解可取為0.75.10證明方程63x2x在區(qū)間(1,2)內有唯一的實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解(精確度為0.1)解：設函數(shù)f(x)63x2x，f(1)63210，f(2)63×22240，并且f(x)63x2x在(1,2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)63x2x在區(qū)間(1,2)內有唯一的零點，則方程63x2x在區(qū)間(1,2)有唯一的實數(shù)解設該解為