分離變量法習(xí)題

1、1 求解混合問題，其中解：用分離變量法：設(shè)混合問題的非零解函數(shù)為，則， 代入混合問題中的微分方程可得：由初始條件可得：由此可得，為如下常微分方程邊值問題的非零解：若0，則此定解問題的微分方程的通解為，代入邊界條件后可得：，所以可取 由所滿足的方程可得：，所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為，設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 ，則由初始條件可得：， （*）所以，原混合問題的解為 ，其中的由（*）給出。2 求解混合問題解：由于邊界條件非齊次，需作函數(shù)變換如下：設(shè)，則 ， ， ，所以，是原混合問題的解的充要條件是：是如下混合問題的解： （*）用分離變量法求解此定解問題，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)

2、步驟可得：，代入初始條件可得：， ，所以，原混合問題的解函數(shù)為3 求解下列阻尼波動問題的解：其中，h為正常數(shù)，且。解：使用分離變量法，設(shè)原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數(shù)滿足邊界條件： 則容易算得：，代入方程后化簡可得：， ， 由的非零性可得，此時，取得：將代入所滿足的方程可得：從而有： ，其中 ， （1）設(shè)原混合問題的解函數(shù)為：，而 ，所以 （2）， 。 （3）所以，原混合問題的解是，其中的 分別由（1）式、（2）式、（3）式給出。4 求解混合問題其中L、C、G、R為常數(shù)，且LG=RC。（提示：作函數(shù)變換）解：記，混合問題的微分方程兩邊同除LC，方程可化為， ，設(shè)，則有 ，而且

3、，所以 ， ，所以，若是原混合問題的解函數(shù)，則是如下混合問題的解函數(shù)：用分離變量法求解此混合問題，設(shè)方程的分離變量解形式的滿足邊界條件的非零解為 ，則 ，由齊次邊界條件可得，為如下定解問題的解：， ，取得， ，設(shè) 代入初始條件可得：，所以 所以，原題目所給的混合問題的解函數(shù)為：。5 用固有函數(shù)法求解解：用分離變量法：設(shè)原混合問題的微分方程對應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的非零解函數(shù)：，利用分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可求得：將展開成的廣義Fourier級數(shù)如下：，注：方程的通解為，代入初始條件即可得此處的結(jié)果。所以，題目所給的混合問題的解函數(shù)為。6求解混合問題。解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程

4、有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：，則，代入方程后化簡再由邊界條件可得：，所以，為如下常微分方程邊值問題的非零解函數(shù)：解之得 ， 。設(shè)原問題的解函數(shù)為 ，由初始條件可得： ，由此可得： ，所以， 7求解混合問題解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：，則，代入方程后化簡，并由邊界條件可得：， ， ，所以，為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：由是非零解可得：，設(shè) ，則所以，設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 ，利用的正交性可求得 。注：可以證明：具有正交性。8求解混合問題，其中，為常數(shù)。解：作函數(shù)變換 ，則， ，所以，是原混合問題的解的充要條件是是如下

5、混合問題的解：（*）用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：，代入初始條件可得：由的正交性可得：，所以，。9求解 。解：用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解： ，則， ， ， ， ，所以，為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)： ，從而有：又由另一個邊界條件可得：，設(shè)原定解問題的解函數(shù)是，則 ，所以， 。10求解邊值問題：。 解： 用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下分離變量形式的滿足齊次邊界條件的非零解： ，則有： ， ，同理 ，所以，是如下二階常微分方程邊值問題的解函數(shù)：，設(shè)原定解問題的解為：，則 ，所以， 。所以，原定解問

6、題的解函數(shù)為，其中的由以上式子給出。11求解邊值問題，提示：令而滿足條件。解：令，則 ，所以， ， ， 所以，是原定解問題的解的充要條件是是如下定解問題的解：（*） ，用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：， ，設(shè)（*）的解函數(shù)為則 ， ，（其中 ）若記 ，則有： ，其中，由以上各式給出。而題目所給的定解問題的解函數(shù)為。12求解邊值問題。解：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得設(shè)原定解問題的解函數(shù)為 ，則由關(guān)于的邊界條件可得：， ， ，所以 ， ，所以， 所以，。13. 求解混合問題。解：用分離變量法求解此混合問題：設(shè)原給定的混合問題中的微分方程對應(yīng)的齊次方

7、程有如下分離變量形式的滿足邊界條件的非零解：， ， ,由邊界條件可得：， ，所以，是如下邊值問題的非零解函數(shù)：求解此問題，可當(dāng)時，問題有非零解，其解函數(shù)集構(gòu)成一個一維線性空間，它的一個基向量函數(shù)為，令 ，則令為如下初值問題的解函數(shù)：， （1）則，對于n=2,可用常數(shù)變易法來求：設(shè)（1）的解函數(shù)為 ，則令 ，則 ，也就是： ，求解此線性方程組得：，所以，（1）的解為：由初始條件可得：，所以， ，所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為：。14求解混合問題。解：作函數(shù)變換，其中為待定函數(shù)，則， ，設(shè)是原定解問題的解函數(shù)，取，即，則有：，而 ， ，所以，為如下定解問題的解函數(shù)：（*），用分離變量法求解此定

8、解問題：由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得：， 設(shè)（*）的解函數(shù)為，由初始條件可得：可得： ， 所以，所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為。15 求解混合問題。注：此定解問題中的微分方程非齊次項中的應(yīng)為，才能得到書中答案。解：先將邊界條件齊次化：令，則 ，若是原定解問題的解函數(shù)，則， ， ，所以，是如下定解問題的解函數(shù)：，所以，原定解問題的解函數(shù)為 16 求解。解：作如下函數(shù)變換：，若是原定解問題的解函數(shù)，則經(jīng)驗證可得：是如下定解問題的解函數(shù)：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得：，由所滿足的方程可得：，由邊界條件可得：，取，則得， ，所以， ，其中， 是方程的所有正解。因為 ，令

9、 則 ，設(shè)原定解問題的解函數(shù)為，則 ，從而有： ，由初始條件可得：，所以，為如下初值問題的解函數(shù)：用常數(shù)變易法：，設(shè)此邊值問題的解為： ，經(jīng)簡單推導(dǎo)得： ，解此線性方程級：積分并利用初始條件可得：，所以， ，其中的、和均由以上各式給定。注課本上的答案為此處的a=1。17 求解 。解：設(shè)是原定解問題的解函數(shù)，作函數(shù)變換，則 ，所以，是如下定解問題的解函數(shù)：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)為微分方程的滿足齊次邊界條件的非零解函數(shù)，則將代入方程后化簡可得：， ，所以，為如下邊值問題的非零解函數(shù)：將代入的方程可得：，所以， 。設(shè) ，則由初始條件可得：可得： ，所以， 。18 求解 。解：設(shè)， ， ， ，

10、 ，所以，是如下定解問題的解函數(shù)：，用分離變量法可求得：，其中，。所以， 。21在扇形區(qū)域內(nèi)求解邊值問題。解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：。用分離變量法求解此定解問題：設(shè)，代入以上微分方程化簡后可得：，所以，是如下邊值問題的非零解函數(shù)：， ，又顯然有：，也就是：，所以， ，設(shè)原定解問題的解函數(shù)是 ，由關(guān)于r的邊界條件可得：，其中 ，所以， 。22 求解邊值問題 。解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：用分離變量法求解：設(shè)代入方程中并化簡得：， ，將代入所滿足的方程可得：，設(shè)原定解問題的解函數(shù)為 ，由r的邊界條件可得： ，容易得到： ， ，所以， 。23 求解邊值問題 解：作函數(shù)變換 ，則有： 此時，有： ，所以，是如下邊值問題的解函數(shù)：將此定解問題由直角坐標(biāo)改為極坐標(biāo)：，用分離變量法求解此定解問題：設(shè)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟容易得到： ，由的實際意義可知：是以為周期的周期函數(shù)，所以 ，設(shè) 由關(guān)于r的邊界條件可得：，而 ，所以， ，其余的、的值均為零。所以， ， 。24. 求解邊值問題 。解：因為其自變量的取值區(qū)域是扇形區(qū)域，所以可在極坐標(biāo)系下用分離變量法求解此定解問題，因為， ，設(shè)，求出其各階偏導(dǎo)數(shù)并代入方程后化簡可得： 由關(guān)于的邊界條件可得所以 設(shè)原定解