高三數(shù)學試題：相互獨立事件同時發(fā)生的概率

1、第七節(jié)相互獨立事件同時發(fā)生的概率一、基本知識概要：1.相互獨立事件：如果事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，那么稱事件A，B為相互獨立事件。注： 如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也是相互獨立的。兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生的概率為：P（A·B）=P（A）·P（B）；如果事件A1，A2，彼此獨立，則P（A1·A2·）=P（A1）·P（A2）·P（）；2.事件的積：設(shè)事件A、B是兩個事件，A與B同時發(fā)生的事件叫做事件的積，記作A·B。（此概念可推廣到有限多個的情形）3.獨立重復試驗（又叫貝努里試

2、驗）：在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗。n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率記為Pn（k），設(shè)在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為P，則Pn（k）=。二、重點難點: 對相互獨立事件、獨立重復試驗的概念的理解及公式的運用是重點與難點。三、思維方式: 分類討論，逆向思維（即利用P（A）=1P（）四、特別注意：1.事件A與B(不一定互斥)中至少有一個發(fā)生的概率可按下式計算：P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB)。特別地，當事件A與B互斥時，P(AB)0，于是上式變?yōu)镻(A+B)P(A)+P(B)2.事件間的“互斥”與“相互獨立”是兩個不同的概念：兩事件互斥是指兩個事件不可能

3、同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.五、例題：例1.（2004年廣州模擬題）某班有兩個課外活動小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張；第二小組有足球票4張，排球票6張。甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張。（1）兩人都抽到足球票的概率是多少？（2）兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解：記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件A，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事件B；記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件，“乙從第二小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事件事件

4、，于是由于甲（或乙）是否抽到足球票，對乙（或甲）是否抽到足球票沒有影響，因此A與B是相互獨立事件。（1）甲、乙兩人都抽到足球票就是事件發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，得到答：兩人都抽到足球票的概率為。（2）甲、乙兩人均未抽到足球票（事件發(fā)生）的概率為P（）。兩人中至少有1人抽到足球票的概率為P（）1。答：兩人中至少有1人抽到足球票的概率是。思維點撥：對題中出現(xiàn)的相互獨立事件、對立事件的分析，進而正確地選用公式是解題的關(guān)鍵。例2：有外形相同的球分別裝在三個不同的盒子中，每個盒子中有10個小球。其中第一個盒子中有7個球標有字母A，3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中

5、有紅球8個，白球2個。試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球。如果第二次取得的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。解：設(shè)事件A：從第一個盒子中取得一個標有字母A的球；事件B：從第一個盒子中取得標有字母B的球，則A、B互斥，且P（A），P（B）；事件C：從第二個盒子中取一個紅球，事件D：從第三個盒子中取一個紅球，則C、D互斥，且P（C），P（D）。顯然，事件與事件互斥，且事件A與C是相互獨立的，B與D也是相互獨立的。所以試驗成功的概率為本次試驗成功的概率為思維點撥：對題中出現(xiàn)的事件進

6、行正確分類與重組是解題的關(guān)鍵。例3：甲、乙、丙3人各進行一次射擊，如果甲、乙2人擊中目標的概率是0.8，丙擊中目標的概率是0.6，計算：(1)3人都擊中目標的概率； (2)至少有2人擊中目標的概率；(3)其中恰有1人擊中目標的概率.解：(1)記“甲、乙、丙各射擊一次，擊中目標”分別為事件A、B、C彼此獨立，三人都擊中目標就是事件A·B·C發(fā)生，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)P(A)·P(B)·P(C)0.8×0.8×0.60.384(2)至少有2人擊中目標包括兩種情況：一種是恰有2人擊中，另一種

7、是3人都擊中，其中恰有2人擊中，又有3種情形，即事件A·B·，A··C，·B·C分別發(fā)生，而這3種事件又互斥， 故所求的概率是P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)+P(A·B·C)P(A) ·P(B)·P()+P(A) ·P()·P(C)+P()·P(B) ·P(C)+P(A) ·P(B) ·P(C) 0.8×0.8×0.4+0.8×0.

8、2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.60.832(3)恰有1人擊中目標有3種情況，即事件A··， ·B·， ··C，且事件分別互斥，故所求的概率是P(A··)+P(·B·)+P(··C) P(A)·P()·P()+P()·P(B) ·P()+P()·P()·P(C)0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.

9、4+0.2×0.2×0.60.152.說明：題(3)還可用逆向思考，先求出3人都未擊中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.練習：(2003 江蘇)有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗. （）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001）解: 設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C.（）， 因為事件A，B，C相互獨立，恰有一件不合格的概率為（）解法一：至少有兩件不合格的概率為 解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為由（）知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至有兩件不合格的概率為

10、思維點撥：解題時要注意把一個事件分拆為n個互斥事件時，要考慮周全。例4：一個元件能正常工作的概率叫做這個元件的可靠性，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2A3B3B2（）（）靠性為P（0P1，且每個元件能否正常工作是相互獨立的。今有6個元件按圖所示的兩種聯(lián)接方式構(gòu)成兩個系統(tǒng)（）、（），試分別求出它們的可靠性，并比較它們可靠性的大小。解：系統(tǒng)（）有兩個道路，它們能正常工作當且僅當兩條道路至少有一條能正常工作，而每條道路能正常工作當且僅當它的每個元件能正常工作。系統(tǒng)（）每條道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1P3，系統(tǒng)（）不能工作的概率為(1P3)2。故系統(tǒng)（）正常

11、工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3)；系統(tǒng)（）有3對并聯(lián)元件串聯(lián)而成，它能正常工作，當且僅當每對并聯(lián)元件都能正常工作，由于每對并聯(lián)元件不能工作的概率為(1P)2,因而每對并聯(lián)元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系統(tǒng)（）正常工作的概率是：P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2，故系統(tǒng)()的可靠性大。思維點撥：本題的基本思路是從正反兩個方面加以分析,先求出每個系統(tǒng)的可靠性再進行比較.練習：設(shè)每門高射炮命中飛機的概率為0.6，試求：（1）兩門高射炮同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率；（2）若今有一飛機來犯，問需要多少

12、門高射炮射擊，才能以至少99的概率命中它？解：（1）P=0.84（2）設(shè)需要n門高射炮才能達目的，用A表示“命中飛機”這一事件，用Ai表示“第i門高射炮命中飛機”，則A1、A2An相互獨立，故也相互獨立，故P（A）=1P()=1P()=1P()P()P()=1.據(jù)題意P(A)0.99,199,得n5.02.答：至少需6門高射炮才能以99的概率命中。思維點撥： 本題若用直接法就不可能求解，故轉(zhuǎn)化為間接考慮。例5：（2004年福州模擬題）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取一瓶甲種飲料或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等。（1） 求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率；（

13、2） 求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率。解：（1）由題意知，甲種已飲用5瓶，乙種已飲用2瓶。記“飲用一次，飲用的是甲種飲料”為事件A，則PP（A）。題（1）中即求7次獨立重復試驗中事件A發(fā)生5次的概率為。(2) 有且僅有3種情況滿足要求：甲種飲用5瓶，乙種飲用1瓶；甲被飲用5瓶，乙沒有被飲用；甲被飲用4瓶，乙沒有被飲用。所求概率為。答：甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率為，甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率為。思維點撥：對事件分類時要做到不重不漏。練習：（2002年全國高考）某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）。(1)求至少3人同時上網(wǎng)的概率。(2)至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3。解：（1）至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率。即1。(2)至少