龐繼娟的畢業(yè)論文

1、畢 業(yè) 論 文（設計） 論文（設計）題目：關于幾類不定積分求解方法的探討 系 別： 數學系 專 業(yè)： 數學與應用數學 學 號： 2008104223 姓 名： 龐娟 指導教師： 黃妙 時 間： 2012年5月 河 池 學 院畢 業(yè) 論 文（設 計） 開 題 報 告系別: 數學系 專業(yè):數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目關于幾類不定積分求解方法的探討命題來源教師命題 學生自主命題 教師課題選題意義(不少于300字)：不定積分是求導問題的逆運算, 而定積分的計算主要依賴于萊布尼茲公式, 而使用萊布尼茲公式的前提是求被積函數的任一原函數.由此可見, 不定積分是聯系微分

2、學和定積分的一條紐帶，不定積分的計算是微積分中的重要一環(huán).因此，探討不定積分的求解方法是很有意義的.不定積分在理論上十分簡明,但利用基本積分公式及性質,只能求出一些簡單的積分,對于比較復雜的積分,在運算上則有一定難度.正確選用不定積分的方法取決于對被積函數的分析, 從被積函數的特點出發(fā),由易到難進行剖析,著眼點不同就有不同的方法.由此可見,在求不定積分時,要想靈活運用基本方法得到解法,必須抓住被積函數的特點,進行多角度、多方位的剖析,對各類不同函數進行歸納總結,經過多次這樣的嘗試與探索才能豐富解題經驗,產生解題意識,從而提高求不定積分的解題能力.研究綜述(前人的研究現狀及進展情況，不少于600

3、字):恩格斯說:“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現那樣被看作人類精神的最高勝利了如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里”微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數學的發(fā)展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力而不定積分是一元微積分中非常重要的內容之一，是積分學中最基本的問題之一，又是求定積分的基礎，因此人們對不定積分求解方法的研究已有一定的成果，并且還將不斷的研究下去目前人們常用的四種基本不定積分求解方法是：直接積分法、第一類換元積分法（也稱湊微分法）、第二類換元積分法和分部積分法此外還有特殊類型函數的積分

4、：有理分式函數的積分、簡單無理函數的積分（化無理為有理）但是，由于不定積分計算方法多種多樣且技巧性強、題目多、題型復雜，有時候教師采用機械的方法教授，不能展現其作為生動智力斗爭的成果所具有的魅力，學生學習時，也往往陷入單純尋求技巧來計算不定積分費時多效果差見到生題又無從下手因此，牢固掌握不定積分的理論和運算方法是非常重要的，這不僅能使學生進一步鞏固所學的導數和微分概念，而且也將為學習定積分，微分方程和多元函數的積分學以及其他課程打好基礎研究的目標和主要內容（不少于400字）一 研究的目標探討不定積分的簡易求解方法，在熟記基本公式、性質及常用微分關系式的基礎上，注意分析被積函數的特點，進行分類歸

5、納，從而找出規(guī)律性的方法和技巧。同時，遇到具體問題要仔細分析，選擇一個合適而簡單的方法，達到靈活運用、熟練掌握不定積分的計算方法與技巧的目標。二 主要內容 1、在分部積分中的應用2、關于形如的解法3、的遞推公式擬采用的研究方法文獻法 、網絡搜索法 、探究分析、歸納總結、教師指導法研究工作的進度安排2012年1月至2012年2月，閱讀相關方向文獻資料，與指導教師商定題目.2012年3月，大量閱讀與所撰寫內容相關的參考資料，擬定論文（設計）詳細寫作提綱，填寫河池學院畢業(yè)論文（設計）開題報告，交指導教師審核批準.2012年4月到5月上旬，撰寫論文初稿，及時與指導老師聯系，匯報寫作進展，遇到難以解決的

6、問題應及時向指導老師請教，完成初稿，交指導教師審閱.2012年5月中旬接受指導教師整改意見，反復修改，最后定稿.2012年5月下旬至6月上旬準備論文答辯，答辯結束后，把論文和各種表格裝訂成冊交數學系辦公室歸檔.參考文獻目錄（作者、書名或論文題目、出版社或刊號、出版年月日或出版期號）1 華東師范大學數學系.數學分析（上冊）M.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一類不定積分的計算及應用J.山東師大學報（自然科學版），2001,16（3）:317-318.3 蕭勝中.淺談不定積分的求解方法J.廣東民族學院學報（自然科學版），1998（4）:92-95.4 高麗，齊瓊，謝瑞.關于三類特

7、殊不定積分求解方法的討論J.西南民族大學學報自然科學版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，劉展.一類三角函數有理式積分計算的簡便方法及推廣J.平頂山學院學報，2009,24（5）：68-70.6 陳慶軒.介紹一類不定積分的解法J.重慶交通學院學報，1986,（3）:184-194.7 展丙軍，李兆興.兩類不定積分的巧解J.高等數學研究，2005，8（6）：20-24.指導教師意見該生的選題擬采查閱資料、歸納分析的方法，探討幾類不定積分的求解方法，歸納總結出幾種簡便方法以求相應類型的不定積分，選題有意義，符合專業(yè)研究目標，有一定的創(chuàng)新性，并且難度適中，對工作量的要求合理，估計能夠

8、完成既定目標，同意開題.簽名： 2012 年 月 日教研室主任意見同意指導教師的意見，同意開題. 簽名： 2012年 月 日目 錄摘要 1關鍵詞1引言11 在分部積分中的應用 21.1 求 21.2 求和 22 關于形如的解 42.1 求 4 2.2 對的推廣 4 3 的遞推公式 8 參考文獻 9Abstract11Key words11 圖11致謝 12 關于幾類不定積分求解方法的探討專業(yè)：數學與應用數學 龐繼娟 指導教師：黃春妙摘 要不定積分是數學分析的一個重要內容，我們常用的求不定積分的方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法等. 不定積分在理論上十分簡明，但利用基本積分公式及性質，只

9、能求出一些簡單的積分，對于比較復雜的積分，在運算上則有一定難度 有時，我們在計算中也發(fā)現有些不定積分不能用直接的方法來計算，這就要求我們在平時運算的過程中，多進行歸納總結及推廣.針對我們在學習中遇到的困難，本文將介紹幾種類型不定積分的求法.關鍵詞 不定積分；分部積分；萬能代換引言 函數在區(qū)間上的全體原函數稱為在上的不定積分，記作 ，其中稱為積分號，為被積表達式，為積分變量不定積分的幾何意義是：（1）若是的一個原函數，則稱曲線為的一條積分曲線（2）函數的不定積分表示的某一條積分曲線沿著縱軸方向任意的向圖（1）上向下平行移動所得到的所有積分曲線組成的曲線簇（3）在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作

10、切線，則這些切線是互相平行的1，如圖（1）不定積分是一元微積分中非常重要的內容之一，是積分學中最基本的問題之一，又是求定積分的基礎，牢固掌握不定積分的理論和運算方法，可以使學生進一步鞏固所學的導數和微分學及其它相關的數學知識，掌握好不定積分的方法是非常重要的.除課本提供的方法外，本文針對一些常見的函數不定積分的方法進行歸納. 1 在分部積分中的應用在不定積分的分部積分法中，、和是兩類典型的題目根據函數的導數與只差一個常數因子，以及多項式和三角函數、導數的特點，得出求解上述不定積分的一種方法待定系數法1.1 求因為一個次多項式與的乘積的導數仍是一個次多項式與的乘積，所以，一個次多項式與的乘積的積

11、分仍是一個次多項式與的乘積故令，其中兩端求導可得：，即：比較等式兩端的系數得 ，由此方程組可得的系數，即可求得的不定積分2.例1 求解 令，則 ；，解得 ；所以 由此可見，用待定系數法解此類題要比用部分積分法解簡單.1.2 求和因為與的導數仍是這兩類函數的線性組合，所以，它們的積分也應是這兩類函數的線性組合故設 兩邊同時求導得，即 比較系數得，代入假設即可求得 同樣可設，求導化簡得，代入假設求得 在實際應用中，我們可以將和的計算結果當做公式來記憶，以提高解題速度 但是，上述的兩個結果與被積函數或不相似，不易記憶，為此我們用以下公式來記憶， ， 其中為二階行列式，等于3 當然，我們可以驗證公式與

12、等價，公式與等價首先驗證公式與等價，因為 ，所以有 ，即公式與等價同理可證公式與等價2 關于形如的解法2.1求對于形如，1. 若，則2. 若，則3. 若，中至少有一個不為，則 于是有 所以 2.2 對的推廣對于的不定積分，其中，為常數且，不同時為零，我們也可以類似討論其解法若，或，為常數，則變得非常簡單，在此就不贅述了 若，中至少有一個不為，則 于是有 所以 至此，還需要求不定積分的解，我們可以用萬能代換法，將其化為有理不定積分的形式令，則，故在這里我們需要討論，的情況.下面進行分類討論：情況一：當時，當時，為常數此時，所求的不定積分為常數當時，為常數此時，所求的不定積分 為常數當，時與已知條

13、件矛盾，在這里我們可以不討論情況二：當時，令，則當時， (為常數)此時，所求的不定積分(為常數)當時， (為常數)此時，所求的不定積分 (為常數)當時，且 為常數)則此時所求的不定積分 (為常數)3 的遞推公式6 平時，在進行不定積分的運算的過程中，我們常會碰到，這類型的，如，等等.因此，如果我們能推導出這類型不定積分的公式，那么就可以提高我們的解題速度了.下面我們一起來推導出其通用公式： 整理后得： 當時有 ， ， ，由此可導出一切，如： ， ， ， 在不定積分運算中，不僅方法是多樣的，而且靈活性也較強.那么在實際運算中采用哪種方法，還要因題而宜. 積分問題多樣、靈活而復雜，僅僅用教材中的方

14、法不能解決所有的不定積分問題，為了更好地掌握好更多求不定積分的方法，通過多做習題來積累經驗，以求在掌握各種方法的同時，靈活運用它們解決問題.歸納不定積分的計算，其要點是：（1）抓住被積函數的表現特征；（2）選用適當的積分方法；（3）通過一定的計算把積分式子變成13個基本公式中的一個或是幾個；（4）應用公式得結果. 參考文獻：1 華東師范大學數學系.數學分析（上冊）M.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一類不定積分的計算及應用J.山東師大學報（自然科學版），2001,16（3）:317-318.3 蕭勝中.淺談不定積分的求解方法J.廣東民族學院學報（自然科學版），1998（4）:

15、92-95.4 高麗，齊瓊，謝瑞.關于三類特殊不定積分求解方法的討論J.西南民族大學學報自然科學版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，劉展.一類三角函數有理式積分計算的簡便方法及推廣J.平頂山學院學報，2009,24（5）：68-70.6 陳慶軒.介紹一類不定積分的解法J.重慶交通學院學報，1986,（3）:184-194.7 展丙軍，李兆興.兩類不定積分的巧解J.高等數學研究，2005，8（6）：20-24. A few kinds of Methods of Solving Indefinite IntegralMajor：Mathematics and Applied M

16、athematics Pang JijuanSupervisor: Huang ChunmiaoAbstract Indefinite integral mathematical analysis is one of the important content, we commonly used for the indefinite integral method is: direct integral method, change yuan integral method and the division of integral method, etc. Indefinite integra

17、l is very simple in theory, but use of basic formulas and nature, can only find out some simple integral, for more complex integral, the operation is has the certain difficulty. Sometimes, we also found in the calculation of some indefinite integral cant use direct way to calculate, which require us

18、 in the process of operation at ordinary times, many are summarized and promoted. According to our difficulties in study, this paper introduces several types of indefinite integral is also given.Key wordsIndefinite integral; Division points; Universal substitution致謝在這大學四年中，我要感謝所有教過我的老師，感謝他們對我孜孜不倦的教誨

19、。感謝所有給過我?guī)椭耐瑢W們，感謝他們對我的無微的關心。我能夠順利完成畢業(yè)論文地撰寫，更要感謝我的指導老師黃春妙老師，她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹的治學精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。從課題的選擇到項目的最終完成，黃老師都始終給予我細心的指導和不懈的支持，在此謹向鄭黃老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽時間對本文進行審閱，評議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝！ 河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）指導教師評閱表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目關于幾類不定積分求解方法的探討指導教師黃妙職稱或學位講師論文設計評分評分項

20、目分值評分參考標準評分總分優(yōu)良中及格不及格學習與工作態(tài)度201816141212分以下1885選題的價值與意義1098766分以下8文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設計能力302724211818分以下24語言文字表達能力與論文規(guī)范201816141212分以下18成果的價值與創(chuàng)新性1098766分以下8指導教師評語 該論文總結了教材中求不定積分的方法中沒有介紹的方法，不定積分是大學 數學的重要內容該論文通過歸納總結，探索出一些新的解不定積分中的方法該生在撰寫論文的過程中，閱讀了大量資料，遇到問題能夠通過和指導老師或他人交流進行解決，對論文初稿進行了多次修改，態(tài)度端正.

21、該論文反映出該同學，數學基礎扎實，具有較強的分析問題解決問題的能力，語言表達能力有待提高.論文選題具有一定研究價值，文章論點鮮明，結構合理；在有限的資料范圍內，能做到“論之有據”的求學嚴謹態(tài)度；論文格式符合規(guī)范要求；具有一定的學術水平和應用價值，達到了本科畢業(yè)論文的水平和要求是否同意參加答辯同意參加答辯指導教師簽名： 2012 年 5 月 25 日河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）評閱教師評閱表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目關于兩類不定積分求解方法的探討評閱教師覃永職稱或學位講師論文設計評分評分項目分值評分參考標準評分總分優(yōu)良中及格不及格選題

22、的價值與意義1513.51210.599分以下1284文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設計能力302724211818分以下24語言文字表達能力與論文規(guī)范302724211818分以下27成果的價值與創(chuàng)新性1513.51210. 599分以下12評閱教師評語龐繼娟同學的畢業(yè)論文關于幾類不定積分求解方法的探討運用不定積分的幾種方法求解了幾類復雜的不定積分，對積分表中的幾個公式作了推廣。該論文反映出該同學數學基礎扎實，具有較強的分析問題解決問題的能力和語言表達能力。該同學的論文行文條理清晰，推理合乎邏輯，語言表達準確，論文格式規(guī)范，選題有意義，內容有新意，可讀性強，達到了學士

23、學位論文的水平。是否同意參加答辯同意參加答辯評閱教師簽名： 2012 年5 月28 日注：評閱教師至少1人.河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）答辯記錄表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目關于幾類不定積分求解方法的探討答辯情況記錄：1、自述： 論文題目是數學分析課程中滲透求不定積分方法的研究隨著科學技術的不斷進步和計算機的飛速發(fā)展，應用數學涉及的領域越來越廣泛，我們不僅要理解不定積分的定義，熟練掌握教材中的解題方法，我們還要學會歸納歸結，探索更多更簡捷和有利的解題方法，這對提高學生的創(chuàng)新能力和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思想起著重要的意義.我的論文主要分為三個部

24、分：1、在分部積分中的應用，2、關于形如的解, 3、的遞推公式. 2、答辯過程：問題1：這篇論文最精彩的部分在哪？答：本論文最精彩的部分是對的推廣，推廣為，其中，為常數且，不同時為零. 問題2：這篇論文最難的部分在哪？答：本論文最難的部分在于對的推導過程，特別是對，不同情況的討論.問題3：這篇論文主要用了什么求解方法？ 答：本論文主要用的方法是待定系數法、分部積分法、萬能代換法、換元法等等.這是在熟記基本公式、性質及常用微分關系式的基礎上，遇到具體問題具體分析，選擇一個合適而簡單的方法，必要時將兩種或兩種以上的方法結合起來.記錄員簽名 2012年 5 月29日答辯小組成員簽名 2012 年5月

25、29 日答辯小組組長簽名 2012年5月29 日河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）答辯情況評價表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目關于幾類不定積分求解方法的探討答辯小組評分評分項目分值評分參考標準評分總分優(yōu)良中及格不及格選題的價值與意義1098766分以下884文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設計能力201816141212分以下16語言文字表達能力與論文規(guī)范201816141212分以下18成果的價值與創(chuàng)新性1098766分以下9答辯效果302724211818分以下24答辯小組評語（對學生自述情況和回答提問情況等進行評價

26、）該生的論文關于幾類不定積分求解方法的探討選題合理，詳細介紹了幾類不定積分的一些求解方法，并結合典型的例子加以說明，文章思路清晰，語言流暢，內容充實，有一定可讀性該生在答辯過程中，自述環(huán)節(jié)內容充實，闡述了論文研究的內容、方法和所得到的結果，舉止大方，態(tài)度誠懇，口頭語言表達能力較好，思路清楚；問題答辯環(huán)節(jié)中，能夠正確地回答答辯組成員所提出的問題. 經答辯小組投票決定，該同學的答辯成績?yōu)榱己?是否同意通過答辯通過答辯小組成員答辯小組組長簽名： 2012年 5 月 30 日河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）總評成績評定表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題

27、目關于幾類不定積分求解方法的探討指 導 教 師黃妙職稱或學位講師評 分 人評分所占比例分數初評成績指 導 教 師8540%34評分(整數計)84評 閱 教 師8425%21等級良好專業(yè)答辯小組8435%29系（院）答辯委員會意見（限重新組織答辯的畢業(yè)論文或設計）： 分數： 等級： 系（院）答辯委員會負責人簽名： 年 月 日系（院）答辯委員會審定結論： 經系論文答辯委員會研究，認為該同學的畢業(yè)論文達到了數學與應用數學本科專業(yè)學士學位論文的要求最終分數： 等級： 系（院）答辯委員會主任簽名（公章）： 2012年6月7日注：1. 初評成績由答辯小組評定. 成績等級：優(yōu)秀：90100分；良好：8089

28、分；中等：7079分；及格：6069分；不及格：60分以下. 2. 需重新組織答辯的畢業(yè)論文（設計）只限于由答辯小組提出的優(yōu)秀和不及格畢業(yè)論文（設計）. 其他畢業(yè)論文（設計）不需要通過系（院）答辯委員會重新組織答辯 3. 重新組織答辯的畢業(yè)論文（設計）由系（院）答辯委員會評定成績. 4. 系（院）答辯委員會主任對初評成績或系（院）答辯委員會的意見及成績做最后審定.河 池 學 院畢業(yè)論文（設計）指導記錄表系別：數學系 專業(yè)：數學與應用數學學 號2008104223姓 名龐娟論文（設計）題目 關于幾類不定積分求解方法的探討第一次指導記錄（主要填寫指導內容及學生存在問題）學生沒有確定論文題目，指導老

29、師提供一些建議供學生選題目時作參考（網絡）。指導時間：2012年 3月17日指導教師簽 名學生簽 名第二次指導記錄（主要填寫指導內容及學生存在問題）論文內容深度不夠，論文格式不正確，需要進行修改（面談、網絡）。指導時間：2012 年3月26日指導教師簽 名學生簽 名第三次指導記錄（主要填寫指導內容及學生存在問題）論文內容需要多一些自己的思想，論文格式上還有一些細小的錯誤（面談、網絡）。指導時間：2012 年4月17日指導教師簽 名學生簽 名第四次指導記錄（主要填寫指導內容及學生存在問題）指導學生修改：文章結構層次，充實研究內容。指導時間：2012 年5月16日指導教師簽 名學生簽 名第五次指導記錄（主要填寫指導內容及學生存在問題） 逐句逐字指導學生修改論文，修改中英文摘要。指導時間：2012年5月25日指導