Anderson-局域化的簡介及相關(guān)物理圖像(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上Anderson 局域化的簡介及相關(guān)物理圖像第一小組 1958年安德森（P.W. Anderson）在其著名文章“某些無序晶格中擴(kuò)散的消失”中討論了無序晶體中電子的運(yùn)動，提出了強(qiáng)無序體系中電子局域化的新的概念，使人們認(rèn)識到無序體系有本質(zhì)上新的行為，并不能納入原有的理論框架，人們開始用新的眼光審視無序的影響。研究工作除物質(zhì)的電子結(jié)構(gòu)外，還擴(kuò)展到其他領(lǐng)域，無序的物理逐漸成為凝聚態(tài)物理中人們關(guān)注的一個(gè)主題。一、擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)擴(kuò)展態(tài)：具有嚴(yán)格周期性格點(diǎn)排列的晶體，電子運(yùn)動是公有化的，其Bloch波函數(shù)擴(kuò)展在整個(gè)晶體中，這種態(tài)被稱為擴(kuò)展態(tài)。局域態(tài)：如果存在隨機(jī)的無序雜質(zhì)，晶格的

2、周期性被破壞，此時(shí)電子波函數(shù)不再擴(kuò)展在整個(gè)晶體中，而是局域在雜質(zhì)周圍，在空間中按指數(shù)形式衰減，這種態(tài)稱為局域態(tài)。1、 無序?qū)е碌木钟蛟诶硐氲闹芷谙到y(tǒng)中，電子的本征態(tài)是擴(kuò)展的，是有確定波矢的布洛赫波，在晶體各元胞的等價(jià)點(diǎn)上有相同的概率幅。少量雜質(zhì)的存在使電子受到輻射，產(chǎn)生能量相同的本征態(tài)之間的躍遷，經(jīng)平均自由程的長度相位有無規(guī)的改變（圖1（a）。但此時(shí)，波函數(shù)還是擴(kuò)展的，范圍僅受樣品邊界的限制。這里，擴(kuò)展態(tài)的概念已有所推廣，除布洛赫態(tài)外，還包括在空間可有相當(dāng)明顯的起伏變化的一類。無序的增強(qiáng)，僅使平均自由程變短，因而電導(dǎo)率下降，這是我們原有的物理圖像。在這方面，新的認(rèn)識主要有二，其一是電子經(jīng)彈性散

3、射，相位有確定的改變，當(dāng)然，改變量依不同的散射而異。在這種意義下，電子保持著相位的記憶。這將在下文中討論。其二，如無序足夠強(qiáng)時(shí)，波函數(shù)可以是局域的，波函數(shù)的包絡(luò)隨距離的增加指數(shù)衰減（圖1（b），則 （1）其中，r0是局域態(tài)的中心位置，對于宏觀均勻的無序體系，r0在空間應(yīng)有均勻的分布；稱為局域化長度（localization length）。由于不同的局域態(tài)應(yīng)彼此正交，波函數(shù)本身如圖1(b)所示，仍是起伏振蕩的。這是1958年安德森最早指出的。圖1、（a）平均自由程為的擴(kuò)展態(tài)波函數(shù)示意； （b）局域化長度為的局域態(tài)波函數(shù)示意二、Anderson 局域假定有一周期勢如圖二（a）所示，每個(gè)原子由一方

4、勢阱表示并只有一個(gè)價(jià)電子，在孤子原子極限下占據(jù)在圖中原子勢阱處水平短線表示的束縛能級上。在晶體中，這一原子能級因波函數(shù)的交疊關(guān)聯(lián)展寬成寬度為B的能帶。無序可以兩種形式引人，一種是每一格點(diǎn)相對于平衡位置有一無規(guī)偏移，另一種是原子位置保持在格點(diǎn)上，勢阱的深度、因?yàn)槭`能級從一個(gè)格點(diǎn)到另一個(gè)格點(diǎn)無規(guī)變化（圖2（b）。安德森的討論采用后一種無序情形。圖2、安德森局域的單電子緊束縛圖像在體系的長程有序消失后，波矢k不再是描述電子態(tài)的好量子數(shù)，因此對無序體系電子態(tài)的研究，廣泛采用緊束縛近似，從院子軌道波函數(shù)，或Wannier函數(shù)出發(fā)來討論。這里，取波函數(shù)為歸一化院子波函數(shù)的線性組合， （2）其中是第i個(gè)原

5、子所處的位置，一般為簡單，僅考慮每個(gè)原子只有一個(gè)原子能級的情形，且假定不同格點(diǎn)上的原子波函數(shù)彼此近似正交。體系的單電子哈密頓量 （3）V(r)取為體系中所有原子勢的綜合，由于 （4）決定的矩陣方程為 （5）一般取 （6）對于晶態(tài)體系，我們熟習(xí)的結(jié)果是原子能級展寬為能帶，帶寬,z是格點(diǎn)的最近鄰數(shù)，或稱為配位數(shù)。Anderson文章所用哈密頓量為 （7）這是根據(jù)（4）式，用二次量子化形式寫出的緊束縛哈密頓量，其中，分別代表電子在位置i上的產(chǎn)生和湮滅算符。無序是通過原子位置保持在規(guī)則排列的格點(diǎn)上，但勢阱深度（因?yàn)槭`在該勢阱中的電子能級）從一個(gè)格點(diǎn)到另一格點(diǎn)無規(guī)變化來引入的，在Anderson模型中

6、，取為在某一能量間隔W內(nèi)均勻分布的獨(dú)立無規(guī)變化量，分布函數(shù) (8)無序程度反映在W大小的不同上，當(dāng)，取常數(shù)值時(shí)，回到理想的周期場情形，的取法與（6）式相同，當(dāng)i，j為最近鄰時(shí)取為常數(shù)T,此外為零。Anderson文章要回答的基本問題是：無序體系中電子本征態(tài)是局域在某一點(diǎn)附近，還是擴(kuò)展到整個(gè)體系，以及這一結(jié)果與無序程度的關(guān)系。Anderson采用的對局域化的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：假如t=0時(shí)刻，電子的波函數(shù)恰好是在格點(diǎn)n處的局域波函數(shù)，即（2）式中，而所有的，由于這并非哈密頓量（7）式的本征函數(shù)，它將隨時(shí)間變化。求解含時(shí)薛定諤方程可得到經(jīng)過時(shí)間t后再格點(diǎn)n上找到這個(gè)電子的幾率。如果電子態(tài)是非局域的，電子會

7、離開格點(diǎn)n，在體系中傳播，有。如果電子態(tài)是局域的，電子波函數(shù)的振幅將隨與格點(diǎn)n的距離增加指數(shù)衰減，局域在其初始位置附近，維持有限值。Anderson利用格林函數(shù)方法討論了這一本征函數(shù)隨時(shí)間的變化問題，引入了一個(gè)刻畫無序程度的無量綱參量,得到的結(jié)論是，對于三維無序體系，當(dāng)W/B大于某一臨界值時(shí)，無序體系中所有的本征態(tài)都是局域態(tài)，的數(shù)值大于為2，即 （9）由于這一問題的理論處理較為復(fù)雜，在這里不做贅述。這里給出一種有助于理解Anderson結(jié)果，特別是有助于了解哈密頓量（7）中和作用的說明。先看簡單的兩原子問題，假定兩個(gè)勢阱中電子的能量分別為和，波函數(shù)分別為，總波函數(shù)可寫為 （10）如果兩個(gè)勢阱相

8、同，由方程（5）可解出體系有兩個(gè)狀態(tài)，波函數(shù)和相應(yīng)的能量差分別為 （11）所得結(jié)果中重要的啟示是盡管兩個(gè)勢阱空間位置可能會相距甚遠(yuǎn)，以至于交疊積分很小，但處在態(tài)的電子在每個(gè)阱處有相同的概率。對于的情形，解有相近的性質(zhì)，即對于的相反情形，圖像則完全不同，體系仍然有兩個(gè)可能的狀態(tài)，第1個(gè)態(tài)，能量接近，波函數(shù)接近于，（10）式中系數(shù)比。第2個(gè)態(tài)，.在兩勢阱系統(tǒng)的每個(gè)態(tài)中，電子基本上僅屬于其中的一個(gè)阱，不發(fā)生電子的公有化。在大尺度的三維體系中，考慮一個(gè)小的能量范圍，從上面的結(jié)果可合理的認(rèn)為，如果兩個(gè)最近鄰格點(diǎn)的電子能量和落在這一范圍內(nèi)，則電子為兩格點(diǎn)所共有，它們是“連接”起來的。如果把體系中符合上述條

9、件的格點(diǎn)都用線連接起來，則會出現(xiàn)一些團(tuán)簇（cluster），在一個(gè)團(tuán)簇內(nèi)，電子有大致相同的概率出現(xiàn)在所屬各個(gè)格點(diǎn)上。抹去團(tuán)簇外的格點(diǎn)，可顯示出波函數(shù)在空間擴(kuò)展的程度。當(dāng)電子能量在和之間的格點(diǎn)在總格點(diǎn)中的比例x小時(shí)，只能形成小的團(tuán)簇，電子態(tài)是局域的。D增大時(shí)，幾個(gè)小的團(tuán)簇可能會連接起來，成為大的團(tuán)簇，x增大到某一臨界值時(shí)，出現(xiàn)無限大的團(tuán)簇，電子波函數(shù)是擴(kuò)展的，發(fā)生從局域到非局域的變化，文獻(xiàn)上陳這種源于無序的轉(zhuǎn)變?yōu)锳nderson轉(zhuǎn)變（Anderson transition）。四、安德森局域的直觀說明計(jì)算機(jī)模擬、聲波模擬可為安德森局域的出現(xiàn)能提供個(gè)非常直觀的說明，例如何善進(jìn)（Shanjin He）

10、和Maynard，他們在一根繃緊的細(xì)長鋼絲上，每隔15cm固定一個(gè)小鉛塊，總共50個(gè)，以此來模擬周期勢，在鋼絲的一端用橫波激勵并進(jìn)行掃頻，在另一端接收整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)，可以得到類似于能帶結(jié)構(gòu)的結(jié)果，在體系中得以傳輸?shù)谋菊黝l率構(gòu)成導(dǎo)通的帶（pass band），帶間有能隙存在，圖4（a）和（b）是對兩個(gè)許可態(tài)沿鋼絲測量各點(diǎn)響應(yīng)的結(jié)果，給出振幅隨位置的變化，明顯的為擴(kuò)展態(tài)，定性的與布洛赫態(tài)一致。無序可由挪動鉛塊位置產(chǎn)生，圖4（c）（g）給出鉛塊位置無規(guī)挪動，最大偏離在0.02a之內(nèi)的結(jié)果，a為周期排列的晶格常數(shù)，圖中可明顯的看出無序?qū)е碌木钟?，最局域的是（c），這是出現(xiàn)在能隙中的態(tài)。態(tài)（c）的局域化長度約為2.2a。