高數(shù)第一章 映射與函數(shù)

1、 第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)1集合與映射集合與映射2函數(shù)的概念函數(shù)的概念3函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性4反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)5初等函數(shù)初等函數(shù)6建立函數(shù)關(guān)系舉例建立函數(shù)關(guān)系舉例 一、一、集合與映射集合與映射1.1.集合集合集合集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. .組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素. .,21naaaA Ax x 所具有的特征所具有的特征有限集有限集無限集無限集,aA ,aA 如如,AB 且且B中有不在中有不在A的元素，的元素，BA的真子集，記為的真子集，記為則稱則稱是是A.B若若,Ax 則必則

2、必Bx 就說就說A是是B的子集，的子集， 記作記作.BA 數(shù)集分類數(shù)集分類: :N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系: :+NN,NZ, ZQ, QR.,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.AC 則則不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集. .)(記作記作例如例如, ,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集. .+N-正整數(shù)集正整數(shù)集如果如果,BA 且且,AB 則稱集合則稱集合A和和B相等，相等，)(BA 2.2.實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集定義定義1 1設(shè)設(shè)R,A 如果存在數(shù)如果存在數(shù)R,L 使得

3、對一切使得對一切,xA 都有都有( ) ,xL 則稱則稱A有上有上( (下下) )界界, ,定義定義2 2 設(shè)設(shè)A是一個(gè)非空數(shù)集是一個(gè)非空數(shù)集, ,若存在一個(gè)上若存在一個(gè)上( (下下) )界界, s使得對使得對A的一切上的一切上( (下下) )界界,L都有都有( ) ,sL 則稱則稱s是是A的的上上( (下下) )確界確界, ,定理定理1 1 任何一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集任何一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集,A如果有上如果有上( (下下) )界界, ,則必有上則必有上( (下下) )確界確界. .如果數(shù)集如果數(shù)集A既有上界又有下界既有上界又有下界, ,則稱則稱是是有界有界的的, ,AL為為A的的一個(gè)一個(gè)上上( (下下

4、) )界界. .稱稱是是無界無界的的. .A否則稱否則稱sup(inf).AA記為記為 區(qū)間區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). .這兩個(gè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)端點(diǎn). .,.a bRab 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間, ,( , )a b記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間, , , a b記作記作oxaboxab bxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, ,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, , , )a b記作記作( , a b記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定

5、義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長度線段的長度) )稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度. . 0( ).Ua 記記作作. )( axaxaUxa a a ,a 點(diǎn) 的去心的 鄰域點(diǎn) 的去心的 鄰域. 0)(0 axxaU. 叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑0,|axxaaa 設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且數(shù)集設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且數(shù)集稱為點(diǎn) 的，點(diǎn) 叫做這鄰稱為點(diǎn) 的，點(diǎn) 叫做這鄰鄰域鄰域域的中心.域的中心. 3.3.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量, ,注意注意常量與變量是相對常量與變量是相對“過程過程”而言的而言的. .而數(shù)

6、值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量. .常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：通常用字母通常用字母, ,a b c等表示常量等表示常量, ,用字母用字母, ,x y t等表示等表示變變量量. . 4.4.映射映射定義定義3 3設(shè)設(shè),A B是兩個(gè)非空集合是兩個(gè)非空集合, ,若對每個(gè)若對每個(gè),xA 按照某個(gè)確定的法則按照某個(gè)確定的法則,f有唯一確定的有唯一確定的yB 與它對應(yīng)與它對應(yīng), ,則稱則稱f是是A到到B的一個(gè)的一個(gè)映射映射, ,記作記作:,fAB或或:( ),.fxyf xxA y其中其中稱為稱為x在映射在映射f下的下的像像，x稱為稱為yf在映射在映射下下的一個(gè)的一個(gè)原像原像(

7、 (或或逆像逆像),),A稱為映射稱為映射f的的定義域定義域, , 記為記為()D f或或,fDA所有元素所有元素x的像的像y的全體所構(gòu)成的集的全體所構(gòu)成的集合稱為合稱為f的的值域值域, ,記為記為fR或或(),f A即即( )( ),fRf Ay yf xxA 映射的兩個(gè)基本要素：定義域與對應(yīng)法則映射的兩個(gè)基本要素：定義域與對應(yīng)法則設(shè)設(shè):,fAB如果如果,fRB 則稱則稱f是一個(gè)是一個(gè)滿映射滿映射，如果對如果對A中的任意兩個(gè)不同元素中的任意兩個(gè)不同元素12,xx 有有12()()f xf x 則稱則稱f是一個(gè)是一個(gè)單射單射， 如果一個(gè)映射既是滿射，又是單射如果一個(gè)映射既是滿射，又是單射則稱則

8、稱f是個(gè)是個(gè)一一映射一一映射. .如果如果f是個(gè)一一映射，則對每個(gè)是個(gè)一一映射，則對每個(gè),yB 有唯一的一有唯一的一個(gè)個(gè),xA 適合適合( ),f xy 規(guī)定規(guī)定( ),g yx 則則g就是就是B到到A上的一個(gè)映射，稱為上的一個(gè)映射，稱為f的的逆映射逆映射，記為，記為1:fBA 其定義域其定義域1,ffDRB 值域值域1.ffRDA 此時(shí)也此時(shí)也稱稱f是是可逆映射可逆映射. .11()ff 設(shè)設(shè):,:,fAB g BC則對每個(gè)則對每個(gè),xA 對應(yīng)唯一對應(yīng)唯一的一個(gè)的一個(gè)( ),yf xB 從而對應(yīng)唯一的一個(gè)從而對應(yīng)唯一的一個(gè)( ),zg yC 這樣就確定了一個(gè)從集合這樣就確定了一個(gè)從集合A到集

9、合到集合C的映射的映射, , 這個(gè)映這個(gè)映射稱為射稱為f和和g所確定的所確定的復(fù)合映射復(fù)合映射, ,記為記為,gf 即即:gfAC ()( )( ( ),gfxg f xxA 任意兩個(gè)映射任意兩個(gè)映射, ,f g則則gf 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng).fgRD 5.5.絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì): :;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式: : 二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正多邊形的周長nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n

10、 n 邊形邊形O Or rn ) )1 1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 因變量因變量自變量自變量000,().xDf xx 當(dāng)時(shí) 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的當(dāng)時(shí) 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)值定義定義4 4數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域 。(),yfxxD 記作記作則稱映射則稱映射:fDR為定義在為定義在D上的一個(gè)上的一個(gè)函數(shù)函數(shù)，D是一個(gè)給定的數(shù)集，是一個(gè)給定的數(shù)集，設(shè)設(shè)( ),Wy yf xxD函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的函數(shù)的值域值域. . ()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應(yīng)法則對應(yīng)法則f f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域與對應(yīng)法則定義

11、域與對應(yīng)法則. .xyDW約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值義的一切實(shí)數(shù)值. .21yx例如，例如， 1 , 1 : D211yx 例如，例如，)1 , 1(: D 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)又稱為的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)又稱為單值函數(shù)單值函數(shù). .如果給定一個(gè)法則如果給定一個(gè)法則, ,按照這個(gè)法則按照這個(gè)法則, ,對每個(gè)對每個(gè),xD 有多個(gè)確定的有多個(gè)確定的y與之對應(yīng)與之對應(yīng), ,這樣的一個(gè)法則稱為這樣的一個(gè)法則稱為多值多值函數(shù)函數(shù)一個(gè)多值函數(shù)

12、可以分成幾個(gè)單值函數(shù)來討論一個(gè)多值函數(shù)可以分成幾個(gè)單值函數(shù)來討論例例1 1求函數(shù)求函數(shù)2arcsin1yx 的定義域的定義域. .解解函數(shù)的的定義域?yàn)闈M足不等式函數(shù)的的定義域?yàn)闈M足不等式2111x 例如例如,222Ryx 既滿足既滿足2011,x212,x因此因此1221xx 或或函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?, 11, 2 2 2 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形定義定義5 5( , )( ),( ).Cx y yf xxDyf x 在平面直角在平面直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)坐標(biāo)系下，點(diǎn)稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的圖形圖形集集oxy),(yxxy值域值域 定定義義域域 (1) (1) 符號函數(shù)符號函數(shù)10sgn0010

13、xyxxx 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)3 3 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法1-1x xy yo oxxx sgn函數(shù)常用的表示法有公式法函數(shù)常用的表示法有公式法, ,圖示法圖示法, ,表格法表格法. .幾種常用的函數(shù)幾種常用的函數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3x xy yo o階梯曲線階梯曲線(2) (2) 取整函數(shù)取整函數(shù) yx x表示不超過表示不超過 x的最大整數(shù)的最大整數(shù)(3) (3) 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)0,=|0.xxyxx x xy11 1o (4) (4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy y yx xo o

14、)(xf)(xgy yx xo o)(xf)(xg 221,0,( )1,0 xxf xxx 例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, ,對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), ,稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù). . 例例2 2脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖, ,其波形如圖其波形如圖所示所示, ,寫出電壓寫出電壓U與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式式. .)0( tt解解0, ,2t 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)tEU2 ;2tE ,2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),(200 tEU)(2 tEU即即 ( ,),t 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí). 0 U( )

15、,UU t是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)其表達(dá)式為其表達(dá)式為 ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUto)0 ,( E),2(E 2 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓 例例3 3101( ),(3)212.xf xf xx 設(shè)求函數(shù)設(shè)求函數(shù)的定義域的定義域解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故 三三 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性1 1 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)偶函數(shù),DxD 設(shè) 關(guān)于原點(diǎn)對稱對于有設(shè) 關(guān)于原點(diǎn)對稱對于有)()(xfxf y yx x)( xf )(xfy ox-x)(xf( )f

16、 x則稱函數(shù)為則稱函數(shù)為偶函數(shù)偶函數(shù). . )()(xfxf 奇函數(shù)奇函數(shù))( xf y yx x)(xfo ox-x)(xfy ( )f x則稱函數(shù)為則稱函數(shù)為奇函數(shù)奇函數(shù). .,DxD 設(shè) 關(guān)于原點(diǎn)對稱對于有設(shè) 關(guān)于原點(diǎn)對稱對于有 2 2 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性( ),f xDID 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間1212,Ixxxx 如果對于區(qū)間上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)如果對于區(qū)間上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)( );f xI則稱函數(shù)在區(qū)間是則稱函數(shù)在區(qū)間是 單調(diào)增加單調(diào)增加上的上的12(1)()(),f xf x 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfx xy yo oI )(xfy )(1xf

17、)(2xfxyoI( );f xI則稱函數(shù)在區(qū)間是則稱函數(shù)在區(qū)間是 單調(diào)減少單調(diào)減少上的上的( ),f xDID 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間1212,Ixxxx 如果對于區(qū)間上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)如果對于區(qū)間上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)12(2)()(),f xf x 恒有恒有 3 3 函數(shù)的函數(shù)的周期性周期性（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）. .2l 2l23l 23l設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D且且)()(xflxf 則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù), ,l稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xfy 的的周期周期. .如果存在一個(gè)不為零的如果存

18、在一個(gè)不為零的數(shù)數(shù), l使得對于任一使得對于任一DlxDx , M-Myxo oy=f(x)X有界有界無界無界M-Myxo oX0 x,0,( ),XDMxXf xM 若有成立若有成立4 4函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性( ).f xX則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在 上上界界 否否則則稱稱有有無無界界 四四 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1 1 反函數(shù)反函數(shù)定義定義6 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù):fDW是一一映射是一一映射, ,則其逆映射則其逆映射1:fWD 稱為函數(shù)稱為函數(shù)( )yf x 的的反函數(shù)反函數(shù), ,記為記為1( ),.xfyyW 稱函數(shù)稱函數(shù)( )yf x 為為直接函數(shù)直接函數(shù). .由定義可知由定義可知,

19、 ,若函數(shù)若函數(shù)( ),yf xxD 存在反函數(shù)存在反函數(shù)1( ),fxfyyR 則則(1) (1) 對于對于D的任意兩個(gè)數(shù)的任意兩個(gè)數(shù)121,(),xxx 定有定有12()().f xf x 0 x0y0 x0y(2)(2)( )f x與與1( )fy 互為反函數(shù)互為反函數(shù), ,且且1ffDRD 1.ffDR (3)(3)1( ( ),ff xx xD 1( ),ff fyy yR xyD( )yf x 函數(shù)函數(shù)ofRxyD1( )xfy 反函數(shù)反函數(shù)ofR 習(xí)慣上用字母習(xí)慣上用字母x表示自變量表示自變量, ,y表示因變量表示因變量, , 函數(shù)函數(shù)( ),yf xxD的反函數(shù)經(jīng)常表示成的反函

20、數(shù)經(jīng)常表示成1( ),.fyfxxR 例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù)21yx的反函數(shù)的反函數(shù). .解解函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 1,1, 值域值域0,1.由于對于由于對于01,y 有兩個(gè)自變量值有兩個(gè)自變量值221,1xyxy 都滿足關(guān)系式都滿足關(guān)系式21,yx 因此此函數(shù)不存在反函數(shù)因此此函數(shù)不存在反函數(shù). .但如果將函數(shù)的定義域限制在但如果將函數(shù)的定義域限制在0,1 1,0, 或或則函數(shù)則函數(shù)21,0,1yxx 的反函數(shù)為的反函數(shù)為21,0,1yxx 21, 1,0yxx 的反函數(shù)為的反函數(shù)為21,0,1yxx 例例5 5求函數(shù)求函數(shù)01012ln1xexyxxexx 的反函數(shù)的反函數(shù). .

21、解解當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)時(shí), ,xye 得得ln ,01.xyy當(dāng)當(dāng)01x時(shí)時(shí), ,1yx得得1,12.xyy當(dāng)當(dāng)1x 時(shí)時(shí), ,2lnyex 得得2,2.yexye2ln011122xxxyxxeex 2 2 反函數(shù)的圖形反函數(shù)的圖形( )yf x 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP1( )yfx 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱. .xy xy 3 3 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),yu 設(shè)設(shè),1 , 112 xxu21xy 定義定義7 7,x 自變量自變量,u 中間變量中間變量,y 因變量因變量同復(fù)合映射一樣，同復(fù)合映射一樣， 函數(shù)函數(shù)fg與

22、與可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng).fgRD 如果如果fgRD 時(shí)時(shí), , 我們可以我們可以通過改變通過改變f的定義域來構(gòu)造復(fù)合函數(shù)的定義域來構(gòu)造復(fù)合函數(shù). . 注意注意: :1.1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的; ;arcsin ,yu 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成構(gòu)成. .cot,2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 例例6 622,0,1( ), ( ),1,0,1 ( ).xxxexf xxxxxxfx

23、設(shè)設(shè)求求解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx01( )1,x 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0,x 或或, 12)( xx;20 x0,x 或或, 11)(2 xx; 1 x 02( )1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0,x 或或, 12)( xx;2 x0,x 或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 五五 初等函數(shù)初等函數(shù)(2)(2)冪函數(shù)冪函數(shù)()yx 是常數(shù)是常數(shù)oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 1 1 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)(1)(1)常數(shù)函常數(shù)函數(shù)數(shù),(,)yc x ( (其中其中c為已知常數(shù)為已知常數(shù)).).

24、 (3)(3)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (4)(4)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (5)(5)三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc (6)(6)反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin arcsinyx 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù) xyarccos arccosyx 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) xyarctan arctanyx 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù), ,冪函數(shù)冪函數(shù), ,指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), ,對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),