行程問(wèn)題之比例行程

1、第3講 行程問(wèn)題之比例行程例1一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 : 2 : 3，小明走各段路所用的時(shí)間的比依次為4 : 5 : 6，已知他上坡時(shí)的速度為每小時(shí)3千米，路程全長(zhǎng)為10千米，問(wèn)小明走完全程用 小時(shí)。解：已知他上坡時(shí)的速度為每小時(shí)3千米，路程全長(zhǎng)為10千米，上坡的路程是千米， t=， 上坡的時(shí)間是小時(shí)。所以平路的路程是千米，下坡的路程是千米，時(shí)間的比依次為4 : 5 : 6，上坡的時(shí)間是小時(shí)， 所以走完全程的時(shí)間是=（小時(shí)）。例2甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返

2、回，已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距離第一次相遇的地點(diǎn)30千米，則A、B兩地相距多少千米？解：設(shè)AB兩地的距離是7x千米，則AC=4x，BC=3x，CD=30，從C點(diǎn)相遇后到第二次相遇于點(diǎn)D，甲走了2BC+CD，乙走了2ACCD，所以(23x+30) : (24x30)=4 : 3，解得x=15，所以AB之間的距離是157=105（千米）。例3小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路，并且小芳上學(xué)走這兩條路所用時(shí)間一樣多，已知下坡速度為平路的1.6倍，那么上坡速度為平路的 倍。解：設(shè)路長(zhǎng)為2S，且小芳在平路上的速度為v，則所用的時(shí)間是，下坡的速度為1.6v，路程為S

3、，所用的時(shí)間是，于是上坡的時(shí)間是=，上坡的速度為，上坡速度是平路的倍。例4甲、乙兩班進(jìn)行越野行軍比賽，甲班以4千米/時(shí)的速度走了路程的一半，又以6千米/時(shí)的速度走完了另一半；乙班的比賽過(guò)程中，一半時(shí)間以4千米/時(shí)的速度行進(jìn)，另一半時(shí)間以6千米/時(shí)的速度行進(jìn)，問(wèn)甲、乙兩班哪個(gè)班將獲勝？解：設(shè)行軍的路程為2S，則甲班用的時(shí)間是=，設(shè)乙班的平均速度為5千米/時(shí)，所用乙班用的時(shí)間是， ，所以乙班用的時(shí)間少，乙班將獲勝。例5王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)；返回時(shí)，按原計(jì)劃的速度行駛了280千米后，將車速提高，于是提前1小時(shí)40分鐘到達(dá)北京。北京、上

4、海兩市間的距離是 千米。解：設(shè)北京到上海的距離為S千米，原計(jì)劃用的速度是v，原計(jì)劃所用的時(shí)間是（小時(shí)），=1.5， =15（小時(shí)），返程時(shí)先走了280千米，后來(lái)車速提高了，車速為，+=，所以15+=，解得v=84，所以S=1260（千米）。例6有甲、乙、丙三輛車，各以一定的速度從某地出發(fā)同向而行，乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā)20分鐘，出發(fā)后1小時(shí)40分鐘追上丙，請(qǐng)問(wèn)：甲出發(fā)多少分鐘才能追上乙？解：乙和丙比較，乙走40分鐘時(shí)，丙走了50分鐘，他們的速度比是5 : 4， 乙的速度是丙的速度的，甲和丙比較，甲走了100分鐘，丙走了130分鐘，他們的速度比是13 : 10，

5、甲的速度是丙的速度的，所以甲和乙的速度比是26 : 25，時(shí)間比為25 : 26，即甲用25分鐘的時(shí)間走的路等于乙用26分鐘時(shí)間走的路。甲比乙晚出發(fā)20分鐘，所以甲追上乙時(shí)用的時(shí)間是2520=500（分鐘）=8小時(shí)20分鐘。 例7甲從A地出發(fā)前往B地，乙、丙兩人從B地出發(fā)前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同時(shí)從B地出發(fā)，結(jié)果甲和乙相遇在C地，甲和丙相遇在D地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D兩地之間的距離是12千米，那么A、B兩地之間的距離是 千米。解：設(shè)甲走了50千米之后到達(dá)E地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，所以ED=3DB，DB=EB；EC=1.

6、5CB，BC=EB，EBEB=12，所以EB=12，EB=80（千米）。所以AB=50+80=130（千米）。例8甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米，兩車分別到達(dá)B地和A地后，立即返回。返回時(shí)，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變，已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A、B兩地的距離是 千米。解：設(shè)AB兩地之間的距離為a，兩車第一次相遇的地點(diǎn)是C， 甲、乙的速度比是2 : 3，所以AC=a，BC=a，甲到達(dá)B點(diǎn)之時(shí)，乙已經(jīng)又從A點(diǎn)出發(fā)到了D點(diǎn)，此時(shí)甲走了a千米，所以乙走了a千米，所以D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，甲的速度增加二分之一，提高到每小時(shí)60

7、千米，與乙一樣快，而他們現(xiàn)在一個(gè)人在B點(diǎn)，另一個(gè)人在D點(diǎn)，第二次相遇的地點(diǎn)是DB的中點(diǎn)E，EB=a，所以CE=a，a=50，a=（千米）。隨 堂 測(cè) 試1一條小船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度是每小時(shí)9千米，平時(shí)順行與逆行所用時(shí)間的比是1 : 2，一天因?yàn)橄卤┯?，水流速度是原?lái)的2倍，這條船往返共用10小時(shí)，甲、乙兩港之間相距 千米。解：設(shè)水流速度為v，順?biāo)俣葹?+v，逆水速度為9v，9+v=2(9v)，解得v=3，下暴雨后水速為每小時(shí)6千米，此時(shí)順?biāo)俣葹?+6=15，逆水速度為96=3，順?biāo)俣?: 逆水速度=5 : 1，所以順?biāo)玫臅r(shí)間為逆水用的時(shí)間之比為1 : 5，往返共

8、用了10小時(shí)，所以順?biāo)玫臅r(shí)間是小時(shí)，逆水用的時(shí)間是小時(shí)，所以甲、乙兩港之間相距15=25（千米）。2上午8點(diǎn)整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點(diǎn)20分甲與從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來(lái)的3倍，乙速度不變；8點(diǎn)30分，甲乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地，那么乙從B地出發(fā)時(shí)是8點(diǎn) 分。解：設(shè)甲、乙相遇于點(diǎn)C，則甲用了20分鐘走AC的路程，而乙用10分鐘走完AC路程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，甲走BC用的時(shí)間是10分鐘，速度是原來(lái)的3倍，即如果是原來(lái)的速度需要30分鐘，所以BC : AC=3 : 2，乙走AC用10分鐘，所以乙走BC需要1023=15分鐘，所以乙從B地出發(fā)的時(shí)間是

9、8點(diǎn)5分。3每天小明上學(xué)都要經(jīng)過(guò)一段平路AB，一段上坡路BC和一段下坡路CD。已知AB : BC : CD=1 : 2 : 1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為3 : 2 : 4，如果小明上學(xué)與放學(xué)所用的時(shí)間比是n : m（其中m與n是互質(zhì)的自然數(shù)），那么m+n的值是 。解：上學(xué)時(shí)平路為a，上坡路為2a，下坡路為a，所用的時(shí)間是=，放學(xué)時(shí)平路為a，下坡路為2a，上坡路為a，所用的時(shí)間是=，所以n : m=19 : 16，所以m+n=35.4李明和王亮從同一條跑道的起點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，李明說(shuō)：“我以8米/秒的速度跑全程的，再以6米/秒的速度跑完余下的路程”。王亮說(shuō)：“前的時(shí)間，我的速度是

10、8米/秒，余下的時(shí)間，我的速度是6米/秒”。結(jié)果李明比王亮晚到終點(diǎn)0.5秒，則跑道長(zhǎng) 米。解：設(shè)跑道的長(zhǎng)為S，則李明用的時(shí)間是，若王亮用的時(shí)間為t，則，t=，所以， S=208（米）。5從上海開車去南京，原計(jì)劃中午11 : 30到達(dá)，但出發(fā)后車速提高了，11點(diǎn)就到了，第二天返回時(shí)，同一時(shí)間從南京出發(fā)，按原速行駛了120千米后，再將車速提高，到達(dá)上海時(shí)恰好是11 : 10，上海、南京兩市間的路程是 千米。解：設(shè)上海、南京的距離是S，原計(jì)劃的車速是v，車速提高到原來(lái)的，所用的時(shí)間就成了原來(lái)的，即，t=4，所以，解得v=72，所以S=288（千米）。解2：從上海開車去南京，原計(jì)劃中午11 : 30到

11、達(dá)，設(shè)原計(jì)劃的速度為V，出發(fā)后車速提高了，實(shí)際車速為V，V : V=8 : 7，時(shí)間比是t : t=7 : 8，結(jié)果11點(diǎn)就到了，提前了30分鐘，這30分鐘是時(shí)間8份中的一份。所以原計(jì)劃用時(shí)為308=240分鐘。也就是7點(diǎn)30出發(fā)。第二天返回時(shí)，按原速行駛了120千米后，再將車速提高，實(shí)際車速為V，V : V=7 : 6，時(shí)間比是t : t=6 : 7，提前了20分鐘，這20分鐘是后半段行程中，所用時(shí)間的一份，即后半程用時(shí)207=140分鐘，前面的120千米，用時(shí)為240分鐘140分鐘=100分鐘，所以原速度為120100=1.2（千米/分鐘）。全程路長(zhǎng)為2401.2=288（千米）。6甲、乙

12、兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米，那么AB兩地相距 。解：甲、乙的速度之比是5 : 4，設(shè)甲、乙在C地相遇，車速分別是5v，4v，則AC : BC=5 : 4，AC=5S，BC=4S，解得，所以S=50，AB=9S=450.7A、B、C三地依次分布在由西向東的同一條道路上，甲、乙、丙分別從A、B、C同時(shí)出發(fā)，甲、乙向東，丙向西，乙、丙在距離B地18千米處相遇，甲、丙在B地相遇，而當(dāng)甲在C地追上乙時(shí)，丙已經(jīng)走過(guò)B地32千米，那么A、C間的路程是 。解：設(shè)乙、丙在D地相遇，乙、丙相遇時(shí)，乙行18千米，丙行CD，到甲追上乙時(shí)，觀察乙、丙所走過(guò)的路程。乙行CD，丙行18+32=50千米，則18：CD=CD：50，CDCD=1850=3030，因此CD的長(zhǎng)度是30千米；丙行50+30=80千米，甲行AC，丙行32千米，甲行BC，長(zhǎng)30+18=48，則32 : 48=80 : AC，因此AC的長(zhǎng)度是80=120千米故答案為：1208如圖，甲、乙分別從A、C兩地同時(shí)出發(fā)