付遼一個(gè)線性變換的所有不變子空間探討

1、淮北師范大學(xué)2011屆學(xué)士學(xué)位論文 一個(gè)線性變換的所有不變子空間探討 學(xué)院、專業(yè)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研 究 方 向 代 數(shù) 學(xué) 學(xué) 生 姓 名 付 遼 學(xué) 號(hào) 20071101038 指導(dǎo)教師姓名 杜 翠 真 指導(dǎo)教師職稱 講 師 2011年 4 月 15日一個(gè)線性變換的所有不變子空間探討付 遼（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，淮北，235000） 摘 要線性變換的不變子空間理論是高等代數(shù)的重要理論之一,但是對(duì)于一個(gè)線性變換的所有不變子空間，在高等代數(shù)教材中也只是簡(jiǎn)單的講解一下，于是本文對(duì)它做了更進(jìn)一步的討論.本文首先給出了線性變換與不變子空間的定義，然后介紹線性變換以及不變子空間的性質(zhì)，

2、討論了復(fù)數(shù)域及一般數(shù)域P上的線性空間的線性變換的不變子空間.同時(shí)本文總結(jié)了求解一個(gè)線性變換所有不變子空間的方法，并且結(jié)合一些實(shí)例加以應(yīng)用.關(guān)鍵詞：線性變換，子空間，不變子空間Discussion on all invariant subspaces of Linear transformation Fu Liao(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractThe theory of the invariant subspaces of linear transformat

3、ion is the important theory of high algebra. But the discussion on all the invariant subspace of the linear transformation is explained simply in the high algebra text-book, the paper makes further discussion. At first it gives the definition of linear transformation and invariant subspaces. Then in

4、troduces the nature of linear transformation, discusses the invariant subspaces of linear transformation in the complex field and the general number field P, at the same time, the paper summes up the method to solve the invariant subspaces of the linear transformation, combining with some applicatio

5、n examples.Keywords: linear transformation，subspace，invariant subspace目 錄引言1一、預(yù)備知識(shí)1（一）、線性變換和不變子空間定義1（二）、不變子空間的性質(zhì)1（三）、線性變換與不變子空間的相關(guān)定理3二、復(fù)數(shù)域上線性變換的所有不變子空間6三、一般數(shù)域P上的線性變換的不變子空間8四、應(yīng)用舉例11結(jié)束語(yǔ)14參考文獻(xiàn)14致 謝15引言線性變換與不變子空間是高等代數(shù)中的重要的概念，但是對(duì)于一個(gè)線性變換的所有不變子空間的探討，在高等代數(shù)教材中也只是粗略的講解一下.為了增加這方面的知識(shí)，本文首先給出了線性變換，子空間的定義和不變子空間的性質(zhì)

6、,由線性變換與不變子空間的相關(guān)定理,得出復(fù)數(shù)域上和一般數(shù)域P上的線性變換的所有不變子空間. 這樣對(duì)每一個(gè)具體的線性變換,我們能表示出它的不變子空間,所以本文嘗試探究一個(gè)線性變換的所有不變子空間的求法，又給出了一些具體應(yīng)用事例. 本文如不特別指明,所考慮的線性空間都是某一數(shù)域P上的線性空間，線性空間V上的線性變換的集合為L(zhǎng)(V).一、預(yù)備知識(shí)（一）、線性變換和不變子空間定義定義1 線性空間的一個(gè)變換稱為線性變換,如果對(duì)于中任意的元素和數(shù)域中任意數(shù)，都有定義2 設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換,是的子空間.如果中的向量在下的像仍然在中,換句話說(shuō),對(duì)于中任意一個(gè)向量,有我們就稱是的不變子空間,簡(jiǎn)稱子空間

7、.（二）、不變子空間的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)，都是的不變子空間，則都是的不變子空間. 證明 設(shè)，則存在,使得.所以,故而 為的不變子空間.同理可證為的不變子空間.性質(zhì)2 設(shè)，若為的不變子空間，則也是的不變子空間，其中是數(shù)域上的多項(xiàng)式.證明 由于()是數(shù)域上的多項(xiàng)式，不妨設(shè)，所以 . 則有 ，故依次可知 ，所以為的不變子空間.性質(zhì)3 設(shè)，若可逆且為的不變子空間，則也為的不變子空間.證明 由于為的不變子空間, ， 有.又因?yàn)榭赡?，故，?，所以 ，于是，也是的不變子空間.性質(zhì)4 設(shè)是線性變換，的不變子空間，則在，下也不變. 證明 ，從而 ， 故在，下均不變.（三）、線性變換與不變子空間的相關(guān)定理定理1 設(shè)

8、是n維線性空間V的線性變換，證明V可以分解成的n個(gè)一維不變子空間的直和的充分必要條件是，V有一個(gè)由的特征向量組成的基.證明 設(shè)，其中每個(gè)都是的一維不變子空間.取的基，則，且，即是的特征向量，而且構(gòu)成的一組基.反之，設(shè)的n個(gè)特征向量構(gòu)成的一組基，則）是的不變子空間，且.定理2 設(shè)線性變換的特征多項(xiàng)式為，它可以分解成一次因式的乘積， 則V可分解成不變子空間的直和 其中 證明 令 以及 則是的值域，易知是的不變子空間.顯然滿足下面證明 為此要證明兩點(diǎn)，第一，要證V中每個(gè)向量都可以表示成 ，.其次，向量的這種表示法是唯一的. 顯然 ，因此有多項(xiàng)式使 于是這樣對(duì)中的每個(gè)向量都有其中 這就證明了第一點(diǎn).為

9、證明第二點(diǎn)，設(shè)有 （1）其中滿足 ， （2）現(xiàn)在證明任一個(gè). 因?yàn)?，所?用作用于的兩邊，即得 又 所以有多項(xiàng)式使 于是現(xiàn)在設(shè) 其中.當(dāng)然滿足 所以，由此可得到第一點(diǎn)中的表示法是唯一的. 再設(shè)有一向量的核.把表示成 即令，則是滿足與的向量.所以，于是，這就證明了是的核，即定理3 設(shè)是維線性空間，線性變換在某個(gè)基下矩陣為，則（1） 若，其中為階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)是的不變子空間；（2） 若， 其中 為階方陣 ， 當(dāng)且僅當(dāng)是的不變子空間；（3） 若，其中為階方陣，其中為階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)，及 都是不變子空間.二、復(fù)數(shù)域上線性變換的所有不變子空間我們來(lái)研究Jordan塊定理4 設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線性空間，是的線

10、性變換，在基， 下的矩陣是一若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形證明：有且僅有和以下非零不變子空間，證明 由不變子空間性質(zhì)可知，是的不變子空間.又由于中一階主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一維不變子空間僅有；中二階主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二維不變子空間只有，以此類推可得，中所在列的其他元素均為零的階主子式為第列的主子式為.因此的維不變子空間僅有，而維不變子空間只有綜上，于是得到的非零不變子空間有且僅有個(gè)，.注：由此證明了以下推論：推論1 中包含的的不變子空間只有自身；推論2 中的任一非零不變子空間都包含；推論3 不能分解成的兩個(gè)非平凡不變子空間的直和；推論4設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線

11、性空間，是的線性變換，在基， 下的矩陣是一若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角形矩陣，其中，.則有且僅有和以下非零不變子空間， ，.定理5 在復(fù)數(shù)域上（1） 如果線性變換是一個(gè)對(duì)稱變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間.（2） 如果線性變換是一個(gè)反對(duì)稱變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間.（3） 如果線性變換是一個(gè)酉變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間.三、一般數(shù)域P上的線性變換的不變子空間例1 對(duì)任意的,本身及零子空間都是的不變子空間,稱為平凡不變子空間.例2 對(duì)任意的,分別稱 為的像與核.容易證得與都是的不變子空間.例3 設(shè)，是的一個(gè)特征值，為的屬于的特征向量，由生成的子空間是的

12、不變子空間，即.例4 設(shè)，是的一個(gè)特征值，為的恒等變換，則稱 存在正整數(shù)，為的對(duì)應(yīng)于的根子空間，稱為的屬于的高為的根向量，為的不變子空間.證明 若，其高分別為，令，則， = 0故為的子空間.又設(shè)且高為，則 = = = 0故為的不變子空間.例5 若存在非零向量，則 顯然是的不變子空間，稱為的由生成的循環(huán)子空間.證明 在為非零子空間時(shí)，存在正整數(shù)且，且，使得為基. 事實(shí)上，容易證明：若能夠被線性表出，則中的任何向量都能被線性表出并且容易證得線性無(wú)關(guān)，所以，則即為的一組基.例6 設(shè)，則必有維的不變子空間.解 在中定義內(nèi)積使成為酉空間.令為的共軛變換的一個(gè)特征向量，則 的正交補(bǔ)空間的維數(shù)對(duì)任何有 故，

13、所以就是的一個(gè)維不變子空間.例7 設(shè)為數(shù)域上不超過(guò)的多項(xiàng)式全體連同零多項(xiàng)式作成的線性空間.，定義，其中為的一階導(dǎo)數(shù).則求出的全部不變子空間.解 由不變子空間的性質(zhì)知，及均為的不變子空間.假設(shè)是的任一非零不變子空間，則中必有次數(shù)最高的多項(xiàng)式，設(shè)為，令，則 所以，倒推上去依次可得.故由為中次數(shù)最高的多項(xiàng)式知，從而的全部不變子空間為，. 例8 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是可逆的線性變換，是的不變子空間，則也是的不變子空間.舉例說(shuō)明有限的條件不能省略.證明 若或時(shí)結(jié)論顯然成立.設(shè)，任意取的一組基，則由是的不變子空間知，且線性無(wú)關(guān).從而作成的一組基.由此 所以也是的不變子空間.對(duì)無(wú)限維線性空間此結(jié)論不成立

14、，例如：令作線性變換，為自然數(shù)（這種線性變換是存在的），既是滿射，又是單射，從而可逆，且，但，因?yàn)?四、應(yīng)用舉例例9 設(shè)是的線性變換，在基下矩陣，求的所有不變子空間 解 在中至少有以下四個(gè)的不變子空間：，又，知為可逆的線性變換. 故，=，=，此外若還有其它不變子空間必是一維的，因而應(yīng)為特征向量所生成，但是由于的特征多項(xiàng)式無(wú)實(shí)根，故在中無(wú)特征值，從而沒(méi)有實(shí)特征向量，這表明僅有兩個(gè)平凡的不變子空間.結(jié)論 （1）在求的所有不變子空間時(shí)，既不能漏掉也不能重復(fù). （2）給定后，線性空間中至少有，四個(gè)不變子空間， 然后再設(shè)法去找其他的不變子空間. （3）對(duì)有限維線性空間來(lái)講，可以按照維數(shù)去找，能保證既不會(huì)

15、漏掉也不會(huì)重復(fù).例10 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，是的兩個(gè)線性變換，且滿足. （1）證明：的每個(gè)特征子空間都在下不變； （2）在中有一公共的特征向量； （3）設(shè)是上一組（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）兩兩可換的線性變換.證明：這組線性變換在中有一公共的特征向量.證明（1）設(shè)是的任一特征值，是屬于的特征子空間，則所以 故，所以在下不變.（2）設(shè)，則是復(fù)數(shù)域上線性空間的線性變換.在中取必有特征值，與對(duì)應(yīng)的特征向量，則，即是的特征向量，又，所以，這表明在中有一公共的特征向量.（3）對(duì)用歸納法.當(dāng) 時(shí)，的任意非零向量都可以構(gòu)成的基.設(shè)，則有（這是因?yàn)椋?，即是的公共的特征向?假設(shè)結(jié)論對(duì)維數(shù)的線性空間成立，下證結(jié)論對(duì)

16、維空間也成立.若中每個(gè)非零向量都是中的線性變換的特征向量，結(jié)論已證.否則，中至少有一非零向量，它不是中某個(gè)的特征向量.設(shè)是一個(gè)特征值，則屬于的特征子空間是的一個(gè)真子空間，故，由于中的線性變換兩兩可換，故是中所有線性變換的不變子空間，于是中每一個(gè)線性變換在中有導(dǎo)出變換.由歸納假設(shè)，這些導(dǎo)出變換在中有公共的特征向量.而的線性變換與它們的導(dǎo)出變換對(duì)的作用相同，故中每個(gè)線性變換在中有公共的特征向量.例11 設(shè)是維線性空間的線性變換，有個(gè)互異特征值，證明有個(gè)不變子空間.證明 設(shè)是的個(gè)互異特征值，是分別屬于的特征向量，則線性無(wú)關(guān)，從而作成的一組基.由于，故是的一維不變子空間， 又是的二維不變子空間，事實(shí)上

17、，設(shè)，故 從而在下不變，于是的二維不變子空間共有個(gè).對(duì)任意的是的不變子空間，這樣的子空間共有個(gè)，故至少共有 個(gè)不變子空間.其中是個(gè)零維不變子空間.設(shè)是的任一維在下的不變子空間，則它必由中基中 個(gè)向量生成.不妨設(shè)，則必在上述個(gè)不變子空間中，故只有上述個(gè)不變子空間.結(jié)束語(yǔ)本文在一個(gè)線性變換的所有不變子空間等知識(shí)具備的條件下，借助一定的數(shù)學(xué)思想方法，探討與研究了一個(gè)線性變換的所有不變子空間，通過(guò)一些具體事例的求解,歸納、總結(jié)了求解線性變換的所有不變子空間的方法. 由于學(xué)習(xí)知識(shí)的有限,對(duì)求解線性變換的所有不變子空間的方法可能不夠系統(tǒng)與全面，在以后的學(xué)習(xí)中我會(huì)繼續(xù)加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)與總結(jié), 進(jìn)而進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)理論知識(shí)的理解.參考文獻(xiàn)：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.M.北京:高等教育出版社，1996.2 王水汀. 線性變換的不變子空間J. 甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)1990,4 (1):38-42.3 錢吉林等.高等代數(shù)題解精粹M.武漢:崇文書(shū)局出版社,20034 徐仲，陸全，安曉虹等.高等代數(shù)考研教案M.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.5 何寶林. 不變子空間的個(gè)數(shù)問(wèn)題J.高等數(shù)學(xué)研究, 2004, 7(1):51-52.6 王波. 不變子空間的一個(gè)性質(zhì)J.