圓的輔助線(xiàn)作法

1、圓的輔助線(xiàn)作法 在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線(xiàn)來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線(xiàn)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線(xiàn)的方法有很多，本文只通過(guò)分析探索歸納幾種圓中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法。下面以幾道題目為例加以說(shuō)明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線(xiàn)，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問(wèn)題。例1 如圖1, O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AC=BD。求證：PO平分APD。分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 =進(jìn)一步得出 = ，從而可證等弦AB=CD，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對(duì)應(yīng)的

2、弦，因此可作輔助線(xiàn)OEAB，OFCD，易證OPEOPF，得出PO平分APD。證法1：作OEAB于E，OFCD于F AC=BD => = => = => AB=CD=> OE=OFOEP=OFP=90° => OPEOPF0OP=OP=>OPE=OPF => PO平分APD分析2：如圖1-1，欲證PO平分APD，即證OPA=OPD，可把OPA與OPD構(gòu)造在兩個(gè)三角形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線(xiàn)即半徑OA，OD，因此易證ACPDBP，得AP=DP，從而易證OPAOPD。證法2：連結(jié)OA，OD。 CAP=BDP APC=DPB =>AC

3、PDBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>OPAOPD =>OPA=OPD =>PO平分APDOP=OP2.有直徑，可作直徑上的圓周角對(duì)于關(guān)系到直徑的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這個(gè)性質(zhì)。例2 如圖2，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點(diǎn)D ，過(guò)D作O的切線(xiàn)DM交AC于M。求證 DMAC。分析：由AB是直徑，很自然想到其所對(duì)的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD，得ADB=Rt,又由等腰三角形性質(zhì)可得1=2，再由弦切角的性質(zhì)可得ADM=B，故易證AMD=ADB=90°，從而DMAC。證明 連結(jié)AD。=>1=

4、2 AB為O的直徑 =>ADB=Rt AB=ACDM切O于D => ADM=B => 1+B=2+ADM =>AMD=ADB= Rt => DMAC說(shuō)明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。3. 當(dāng)圓中有切線(xiàn)常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑或過(guò)切點(diǎn)的弦例3 如圖3,AB是O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BD=OB，DC切O于C點(diǎn)。求A的度數(shù)。分析：由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線(xiàn)，于是可作輔助線(xiàn)即半徑OC，得Rt，再由解直角三角形可得COB的度數(shù)，從而可求A的度數(shù)。解：連結(jié)OC。=> COSCOD=OC/OD=1/2 =>COB=60°DC切O于C =>

5、OCD=90°OC=OB=BD=> A=1/2COB=30°說(shuō)明，由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線(xiàn)想到連結(jié)半徑。例4 如圖4，已知ABC中，1=2，圓O過(guò)A、D兩點(diǎn)，且與BC切于D點(diǎn)。求證 EF/BC。圖 4分析：欲證EF/BC，可找同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE，得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角BDE與DEF，由圓的性質(zhì)可知這兩個(gè)角分別等于1和2，故易證EF/BC。證明 連結(jié)DE。BC切O于D =>BDE= 1 2= DEF =>BDE= DEF =>EF/BC 1= 2說(shuō)明，由有切線(xiàn)且在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩圓相切，可作

6、公切線(xiàn)或連心線(xiàn)例5 已知：如圖5，O1與O2外切于點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作兩條直線(xiàn)分別交O1與O2于點(diǎn)A、B、C、D。求證 PBPC=PAPD。分析：欲證PBPC=PAPD，即證PAPB=PCPD，由此可作輔助線(xiàn)AC、BD，并證AC/DB，要證平行，需證一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，如C=D，然后考慮到這兩個(gè)角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線(xiàn)即兩圓公切線(xiàn)MN，從而問(wèn)題迎刃而解。證明 連結(jié)AC、BD，過(guò)P點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)MN=> C=D=>APM=C，BPN=DAPM=BPN=> AC/DB => PAPB=PCPD => PBPC=PAPD說(shuō)明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對(duì)的圓周

7、角想到作公切線(xiàn)和作弦。例6 已知：如圖6，O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)T，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)T的直線(xiàn)與O1與O2分別相交于點(diǎn)A和B。求證 TATB=O1AO2B。分析：欲證TATB=O1AO2B，可考慮證這四條線(xiàn)段所在的三角形相似，即證TO1ATO2B，于是只需連結(jié)O2O1，并延長(zhǎng)，必過(guò)切點(diǎn)，則產(chǎn)生TO1A和TO2B，由1= 2=T，則O1A/ O2B，易證線(xiàn)段比相等。=> O2O1必過(guò)切點(diǎn)T證明 連結(jié)并延長(zhǎng)O2O1 O1 和 O2內(nèi)切于點(diǎn)T=> 1= 2 => O1A/ O2B O1A=O1T =>1= T O2T= O2B =>2= T =>TO1ATO2B => T

8、ATB=O1AO2B說(shuō)明，由連心線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線(xiàn)。5當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線(xiàn)。例7 如圖7，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作O2的切線(xiàn)交O1于點(diǎn)C，直線(xiàn)CB交O2于點(diǎn)D，DA延長(zhǎng)線(xiàn)交O1于點(diǎn)E，連結(jié)CE。求證 CA=CE。分析：欲證CA=CE，考慮在三角形中證它們所對(duì)的角相等，即E=CAE，又由DAF=CAE，想到弦切角DAF與所夾弧對(duì)的圓周角相等，故需作輔助線(xiàn)：公共弦AB，得E=DBA，易證CA=CE。證明 連結(jié)AB。 CA切O2于A =>DAF=DBA 四邊形ABCE內(nèi)接于O1 =>E=DBA DAF=CAE=>E=CAE => C

9、A=CE說(shuō)明，由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。圖 8例8 如圖8，在梯形ABCD中，以?xún)裳麬D、BC分別為直徑的兩個(gè)圓相交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)M、N的直線(xiàn)與梯形上、下底交于E、F。求證： MNAB。分析：因?yàn)镸N是公共弦，若作輔助線(xiàn)O1O2，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位線(xiàn)，得O1O2/AB，從而易證MNAB。證明 連結(jié)O1O2交EF于G => MNO1O2。 DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位線(xiàn) => O1O2/AB =>EFA=EGO1=Rt => MNAB說(shuō)明，由兩圓相交連心線(xiàn)垂直于公共弦想到作連心線(xiàn)

10、。6有半圓，可作整圓例9 如圖9，BC為O的直徑，ADBC于D， = , AD交BF于E。求證 AE=BE分析：欲證AE=BE，可考慮在三角形中證這兩邊所對(duì)角相等。即ABF=BAE，再考慮證這兩個(gè)圓周角所對(duì)的弧相等，故需補(bǔ)全O，可證 = ，故有 = 易證AE=BE.證明 補(bǔ)全O，延長(zhǎng)AD交O于H，( 直徑BCAD => = => = =>ABF=BAH => AE=BE說(shuō)明，由平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的弧想到補(bǔ)全圓。7相交兩圓中至少有一個(gè)圓經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，遇到這類(lèi)問(wèn)題，常用的輔助線(xiàn)是連結(jié)過(guò)交點(diǎn)的半徑例10 如圖10，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，且O2在O1上，點(diǎn)P在O1上，點(diǎn)Q在O2上，若APB=40°，求AQB的度數(shù)。分析 連結(jié)O2A、O2B，在O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO2B=140°，在O2中，AQB=1/2AO2B=70°。證明過(guò)程略。說(shuō)明，由同圓內(nèi)同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半想到連結(jié)過(guò)交點(diǎn)的半徑。幾何輔