2018-2019學(xué)年河南省信陽(yáng)市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理)-解析版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上絕密啟用前河南省信陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理)評(píng)卷人得分一、單選題1命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( )A任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是無(wú)理數(shù)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)特稱命題“”的否定為“”.【詳解】命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”，答案為B【點(diǎn)睛】本小題考查了特稱命題的否定，注意與否命題區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.2已知空間向量，且，則實(shí)數(shù)的值為( )A5 B-5

2、C5或-5 D-10或10【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共線定理以及向量模的坐標(biāo)表示，建立方程組，即可求得z的值.【詳解】因?yàn)椋源嬖?，使得，又因?yàn)?，而，則，解得或，所以答案為C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量共線定理以及向量模的坐標(biāo)表示，屬于中檔題，具體如下：設(shè)（），則 存在唯一的，使得，即；.3設(shè)，且，則下列不等式成立的是( )A B C D【答案】C【解析】【分析】給選取適當(dāng)?shù)闹导纯膳袛郃、B、D項(xiàng)不正確，而利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性即可證明C選項(xiàng)正確.【詳解】A選項(xiàng)：令，則，但，不正確；B選項(xiàng)：令，則，但，不正確；C選項(xiàng)：因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，所以，正確；D選項(xiàng)：令，則，但，不正確；

3、答案為C.【點(diǎn)睛】本題主要考查大小比較問(wèn)題，常用的方法有：（1）利用不等式的性質(zhì)；（2）特殊值法；（3）作差法；（4）作商法；（5）中間值法；（6）單調(diào)性法.4下列拋物線中，原點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離最小的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】先將每一項(xiàng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程，然后分別求出值，再對(duì)應(yīng)求出原點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，最后各項(xiàng)進(jìn)行比較，即可得出距離最小的選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，得，則原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；B選項(xiàng)：因?yàn)?，即，則，得，則原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；C選項(xiàng)：因?yàn)?，得，則原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；D選項(xiàng)：因?yàn)?，得，則原點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；因?yàn)?，所以答案為B.【點(diǎn)睛】主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及P

4、值的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.5設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，成等比數(shù)列，則的值為( )A-3 B3 C8 D-24【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于和的方程組，即可求出和，然后利用前項(xiàng)和公式求出.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，而，解得，所以，答案為D.【點(diǎn)睛】等差（等比）數(shù)列基本量求解問(wèn)題主要的方法：（1）方程組法：根據(jù)題目的條件，結(jié)合通項(xiàng)公式、求和公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差（公比）的方程組，然后求解.（2）性質(zhì)法：靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式、求和公式以及相關(guān)性質(zhì)公式，如等差數(shù)列的性質(zhì)、若，則等，求解數(shù)列基本量問(wèn)題.6已知點(diǎn)的

5、坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)，則的最小值為( )A2 B C D1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)得到點(diǎn)滿足的參數(shù)方程，從而得到點(diǎn)所在的直線方程，因此將求最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求可行域上的點(diǎn)到直線的最小距離，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合得到可行域內(nèi)點(diǎn)B（1，0）到直線距離最小，從而求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，則點(diǎn)滿足的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得到普通方程為：，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求可行域上的點(diǎn)到直線的最小距離，如圖：由圖可知當(dāng)點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)到直線的距離最小，而B(niǎo)點(diǎn)為（1，0），B到的距離為，所以， 答案為A.【點(diǎn)睛】主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，同時(shí)也考查了參數(shù)方程與普通方程的互化。這類型題的關(guān)鍵在于尋找出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后

6、利用數(shù)形結(jié)合的方法尋找出最優(yōu)解，求出最值，屬于中檔題.7設(shè)，則“”是“”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別解出兩個(gè)條件“”與“”的范圍和，然后判斷集合和的關(guān)系，即可判斷充分條件和必要條件.【詳解】因?yàn)椋獾?，設(shè)，因?yàn)椋獾没?，令|或，因?yàn)?，所以“”是“”的充分不必要條件，答案為A.【點(diǎn)睛】主要考查充分條件和必要條件的判斷以及不等式的求解，屬于中檔題.而充分條件和必要條件的判斷常用的方法有：（1）定義法：分別判斷命題“若，則”，“若，則”的真假，即可得到充分條件和必要條件的判斷.（2）集合關(guān)系法：分別解出兩個(gè)條件與的范圍和，

7、然后根據(jù)集合集合和的關(guān)系，即可得到充分條件和必要條件的判斷.8已知雙曲線的一條漸近線平行于直線，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為( )A B C D【答案】B【解析】【分析】由漸近線與直線平行可知其斜率相等，可以得到，再由條件“雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上”可以求得一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到c的值，再結(jié)合的關(guān)系式，即可求出，從而得到雙曲線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，其中一條漸近線與直線平行，則有，所以，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，而其中一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則直線與軸焦點(diǎn)為雙曲線焦點(diǎn)，即，又因?yàn)?，得，則，所以雙曲線方程為，答案為B.【點(diǎn)睛】主要考查雙曲線方程的求解，同時(shí)涉及到漸近線、焦點(diǎn)的

8、應(yīng)用，以及直線平行的性質(zhì)運(yùn)用，屬于中檔題.圓錐曲線方程的求解，一般都是利用題目的條件，從代數(shù)角度或者幾何角度建立參數(shù)的關(guān)系式，從而聯(lián)立方程組求得曲線方程，一定要注意焦點(diǎn)的位置，避免寫錯(cuò)曲線方程.9一艘游輪航行到處時(shí)看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏東方向，則此時(shí)燈塔位于游輪的（ ）A正西方向 B南偏西方向C南偏西方向 D南偏西方向【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)中的方位角畫出，在中利用正弦定理可求出的長(zhǎng)，在中利用余弦定理求出的長(zhǎng)，利用正弦定理求的大小（即燈塔的方位角）.【詳解】如圖，在中，由正弦定理有，.在中，余弦定理有

9、，因，由正弦定理有，故或者.因，故為銳角，所以，故選C.【點(diǎn)睛】與解三角形相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實(shí)際問(wèn)題抽象為解三角形問(wèn)題時(shí)，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.10直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則與所成的角為( )A B C D【答案】D【解析】【分析】取BC中點(diǎn)E，通過(guò)證明四邊形MNEB為平行四邊形，從而得到BM/NE，將求BM與AN所成的角轉(zhuǎn)化為求或其補(bǔ)角.接著通過(guò)設(shè)，然后利用AN，AE，BM所在的直角三角形求出其長(zhǎng)度，而NE=BM，進(jìn)而得到AN，AE和NE的長(zhǎng)度，再由其滿足勾股定理，得到，即BM

10、與AN所成的角為.【詳解】如圖取BC中點(diǎn)E，連接AE和EN，MN，因?yàn)镸，N分別為，中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，得，則BM與AN所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)樵摓橹比庵瑒t側(cè)棱與地面均垂直，又，設(shè)，則，所以.在中，；在中，；在中，所以；因?yàn)?，所以，所以BM與AN所成的角為，答案為D.【點(diǎn)睛】主要考查異面直線所成角的求解問(wèn)題，主要有兩種方法：（1）定義法：利用異面直線所成角的定義，在空間上恰當(dāng)選取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別作異面直線的平行直線，從而將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角，再結(jié)合解三角形的相關(guān)定理進(jìn)行求解.（2）向量法：i.建立空間直角坐標(biāo)系；ii.求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；iii.

11、分別求出兩條異面直線的方向向量；iv.若異面直線所成角為，則利用公式.11在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，則取得最大值時(shí)，內(nèi)角的值為( )A B C D【答案】B【解析】【分析】將正弦定理平方處理，即可將恒等式轉(zhuǎn)化為，再代入余弦定理，從而將轉(zhuǎn)化為，再利用輔助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.【詳解】由，根據(jù)正弦定理，可得，再由，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理以及余弦定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用了函數(shù)的思想，通過(guò)構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的函數(shù)，從而討論最值的情況，屬于難題.12已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，分別為的內(nèi)心、重心，當(dāng)軸時(shí)，橢

12、圓的離心率為( )A B C D【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點(diǎn)坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.【詳解】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對(duì)稱性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)檩S，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則有，又因?yàn)椋钥傻?，又由角平分線的性質(zhì)可得，而所以得，所以，所以，即，因?yàn)榧?，解得，所以答案為A.【

13、點(diǎn)睛】本題主要考查離心率求解，關(guān)鍵是利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，同時(shí)也考查了重心坐標(biāo)公式，以及內(nèi)心的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.橢圓離心率求解方法主要有：（1）根據(jù)題目條件求出，利用離心率公式直接求解.（2）建立的齊次等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合.第II卷（非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分二、填空題13已知空間四邊形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則等于_（用，表示）【答案】【解析】【分析】利用向量加法和減法的三角形法則，以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律即可用表示【詳解】因?yàn)?所以【點(diǎn)睛】主要考查向量的線性運(yùn)算法則以及運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.14若，點(diǎn)、三點(diǎn)共線，則的最小值為_(kāi)【答案】11【

14、解析】【分析】由三點(diǎn)共線得，利用其坐標(biāo)表示，建立的關(guān)系式，從而得到，然后代入式子，即可運(yùn)用基本不等式求得最小值.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，而，即，所以化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為11.【點(diǎn)睛】主要考查了向量共線的坐標(biāo)表示以及基本不等式的應(yīng)用，要注意基本不等式的適用條件以及等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.15右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米。【答案】：2米【解析】試題分析：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將A（2，-2）代入，得m=-2，代入B得，故水面寬為m考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用16已知數(shù)列滿足，則_【答案】【

15、解析】【分析】由題意結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分組求和求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】令，則，由題意可得：，即：，整理可得：，令，則，由題意可得：，且，故，即，據(jù)此可知： .【點(diǎn)睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)評(píng)卷人得分三、解答題17設(shè)：方程表示橢圓，：對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，若是真命題，是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】先分別求出

16、命題為真命題時(shí)的取值范圍，再根據(jù)為真命題，為假命題可知一真一假，從而分兩種情況求出的取值范圍.【詳解】若方程表示橢圓，則 且真則且若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，則 真則是真命題，是假命題、一真一假若真假，則若假真，則 或故實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)合命題真假求參數(shù)范圍問(wèn)題，同時(shí)也考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及一元二次不等式恒成立問(wèn)題. 1.已知復(fù)合命題真假求參數(shù)范圍問(wèn)題求解步驟：（1）分別求出每個(gè)簡(jiǎn)單命題為真命題時(shí)的參數(shù)范圍；（2）根據(jù)復(fù)合命題真假得到其等價(jià)條件，然后分類討論，求出參數(shù)范圍. 2.一元二次不等式恒成立問(wèn)題：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的條件是 ；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的條件

17、是.同時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)含參的情況下，不要遺漏參數(shù)為零的情況.18在中，設(shè)，是內(nèi)角，的對(duì)邊，若 .（1）求角；（2）若為中點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先可以通過(guò)二倍角公式對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再通過(guò)解三角形的正弦公式化簡(jiǎn)得，最后與解三角形的余弦公式進(jìn)行聯(lián)立得出結(jié)果；（2）可通過(guò)余弦定理以及計(jì)算出的值，再通過(guò)計(jì)算出面積?！驹斀狻浚?）由題意得由正弦定理得 即，由余弦定理得 所以 ；（2）由題意， 即所以，故所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，需要對(duì)題目所給條件和解三角形的正弦、余弦、面積公式進(jìn)行綜合運(yùn)用。19已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是等差數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的

18、通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系將式子轉(zhuǎn)化得，再根據(jù)條件求出，從而證明為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng).再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).（2）利用錯(cuò)位相減法即可求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，兩式相減得，即.又，成等差數(shù)列 數(shù)列是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為.則，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知， 兩式相減得 即數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求解以及前項(xiàng)和的求解，屬于中檔題.1.利用與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的基本步驟：（1）當(dāng)時(shí)，求出；（2）當(dāng)時(shí)，利用即可轉(zhuǎn)化為遞推公式求解通項(xiàng).（3）檢驗(yàn)時(shí)是否

19、符合.2.錯(cuò)位相減法的基本步驟：（是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比為）：（1）寫：；（2）錯(cuò)位：；（3）相減：；（4）化簡(jiǎn)20如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先通過(guò)證明面，從而證得，再利用勾股定理證得，而，所以證得，再利用線面垂直判定定理證得面.（2）利用向量法，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，從而分別求出平面與平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通過(guò)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦值.【詳解】（1）連接，因?yàn)槠矫?，所以又為正三?/p>

20、形，所以而，所以平面，所以在中，所以，則為等腰直角三角形因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以，又，所以而，所以平面（2）如圖，分別以，所在直線為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系則，由得由（1）得為平面的一個(gè)法向量設(shè)為平面的一個(gè)法向量由得取得所以 故平面與平面夾角的正弦值為【點(diǎn)睛】主要考查線面垂直的證明，以及二面角的求解，屬于中檔題. 線面垂直的證明常利用線面垂直判定定理或者面面垂直性質(zhì)定理.而二面角的求解一般都是運(yùn)用：（1）定義法：找出二面角的平面角并證明，然后運(yùn)用題目條件以及解三角形相關(guān)結(jié)論進(jìn)行求解；（2）向量法：主要分四步進(jìn)行，先建系，然后求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出兩平面法向量，再運(yùn)用公式求二面角.21在平面直角

21、坐標(biāo)系中，為，軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點(diǎn)，、為曲線上與不重合的兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，試探究面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)引入?yún)?shù)，分別表示點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，得到其參數(shù)方程，再消去參數(shù)得到其軌跡方程.（2）按照直線斜率是否存在分兩種情況進(jìn)行討論，對(duì)于斜率存在的情況，通過(guò)設(shè)出方程，代入曲線消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合題目條件求出m的值，從而求出關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式即可求出最大值.【詳解】（1）設(shè)，則，故點(diǎn)的軌跡方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)則，不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程得則 ，又 即 將，代入上式得直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線MN： ，即，則三角形GMN的底MN上的高為，令即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故【點(diǎn)睛】主要考查軌跡方程的求解以及與橢圓有關(guān)的三角形面積最值問(wèn)題，屬于難題.常見(jiàn)的軌跡方程求解方法：（1）直接法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，直接翻譯成的形式，然后等價(jià)變換成；（2）定義法，根據(jù)題目條件，證明其符合五種常見(jiàn)曲線中某種曲線的定義，然后利用對(duì)應(yīng)的定義求出其軌跡方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法，動(dòng)點(diǎn)隨著某已知曲線上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，將已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，并代入已知曲線方程化簡(jiǎn)得軌跡方程；