例談凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

1、例談凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用江蘇省鹽都縣龍岡中學(xué) 呂成榮（224011）隨著新高考模式的確定，高考命題將更加依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)而又不拘泥于課程標(biāo)準(zhǔn)，在知識(shí)邊緣處命題將會(huì)不斷出現(xiàn)，在今年高考北京卷（第12題）中就涉及到凸函數(shù)理論，現(xiàn)行教材中沒(méi)有闡明凸函數(shù)理論，本文通過(guò)具體的例子進(jìn)行簡(jiǎn)要的論述。一、凸函數(shù)的定義1、設(shè)f(x)是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若對(duì)于任何x1、x2 D和實(shí)數(shù)（0，1），有fx1+（1-）x2f(x1)+（1-）f(x2)，則稱f(x)是D上的凸函數(shù)。（如圖1）2、若-f(x)是區(qū)間D上的凸函數(shù)，則稱f(x)是D上的凹函數(shù)（如圖2）。3、線性函數(shù)既是凸函數(shù)，也是凹函數(shù)。 圖1 凸函數(shù)圖2 凹

2、函數(shù)h1=fx1+（1-）x2， h2=f(x1)+(1-)f(x2)現(xiàn)行教材中所涉及的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都存在凸函數(shù)，掌握凸函數(shù)理論解題有時(shí)很容易，反之茫然。例1：（2002高考北京卷）如圖所示，fi（x）（i=1, 2, 3, 4）是定義在0，1上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“0，1中任意的x1和x2，任意0，1，fx1+（1-）x2f(x1)+(1-)f(x2)恒成立”的只有( )A f1(x)， f3（x）B f2(x)C f2(x)，f3(x) D f4(x)分析：由于x10，1，x20，1，0，1，設(shè)x1=x2 = , =，代入題目所給的不等式，則fx1+

3、x2 f(x1)+ f(x2) ,即 f() f(x1) + f(x2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1 = x2時(shí)等號(hào)成立。上式與凸函數(shù)的定義、相同，即凹的，而y = ax+b (a0) ，也可看成凸函數(shù)或凹函數(shù)，故選（A）。例2：（94全國(guó)文）已知函數(shù)f(x) = logax （a 0且 a1 ,xR+）,若x1， x2R+，判斷f(x1) + f(x2)與f()的大小，并加以證明。 分析：由函數(shù)f(x) = logax (a 0, a1，xR+)，可知當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在R+上為單調(diào)增函數(shù)，對(duì)照函數(shù)圖象知其為凸函數(shù)，故有f(x1) + f(x2)f() ， 當(dāng)且僅當(dāng)x1 = x2 時(shí)取等號(hào)。 當(dāng)0

4、a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在R+上為單調(diào)減函數(shù)，對(duì)照函數(shù)圖象知其為凹函數(shù)，故有f(x1)+ f(x2)f() ，當(dāng)且僅當(dāng)x1 = x2 時(shí)取等號(hào)。 二、凸函數(shù)性質(zhì)定理上述凸函數(shù)理論還可以進(jìn)行推廣：（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意x1 ，x2 ，xn ，有，當(dāng)且僅當(dāng)x1 = x2 = = xn 時(shí)，等號(hào)成立。（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是凹函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意x1 ，x2 ，xn ，有，當(dāng)且僅當(dāng)x1 = x2 = = xn 時(shí)，等號(hào)成立。（1）、（2）統(tǒng)稱為琴生（JLWVJensen丹麥數(shù)學(xué)家，18591925年）不等式，利用它可以解決許多最值問(wèn)題且比較方便。例3：

5、（2002成都模擬試題）若函數(shù) y = sinx在區(qū)間（0，）上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sinA + sinB + sinC的最大值為（ ）A B C D 解：由函數(shù)y = sinx在（0，）上為凸函數(shù)，所以有，即sinA+sinB +sinC，當(dāng)且僅當(dāng)A = B = C =時(shí)等號(hào)成立，故選C。例4、若a1 ，a2 ，an 是一組實(shí)數(shù)，且a1 + a2 + + an = k（定值），試求：a12 + a22 + + an2 的最小值。解：因?yàn)?f(x) =x2 在（-，+）上為凹函數(shù)，令 P=f(a1) + f(a2) + +f(an) = a12 + a22 + + an2 ,由性質(zhì)定理知，所以有f(a1) + f(a2) + +f(an) n=nf，即a12 + a22 + + an2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a1 = a2 = = an 時(shí)等號(hào)成立，即a12 + a22 + + an2 的最小值為。凸函數(shù)的