南宋數(shù)學(xué)家秦九韶傳

1、南宋數(shù)學(xué)家秦九韶傳經(jīng)歷和為人秦九韶（1202約1261），字道古，普州安岳（今屬四川）人，祖籍魯郡。父秦季槱，字宏父，紹熙四年（1193）進(jìn)士。嘉定十二年（1219），秦季槱任巴州（今四川巴中）守。是年三月，興元（今陜西漢中）軍士張福、莫簡等發(fā)動兵變，入川后奪取利州（今廣元）、閬州（今閬中）、果州（今南充）、遂寧（今遂寧）和普州（今安岳），并進(jìn)犯巴州。秦季槱棄城而走。朝廷命沔州都統(tǒng)張威引兵鎮(zhèn)壓。年僅18 歲的秦九韶“在鄉(xiāng)里為義兵首”，參加張威軍的平亂之戰(zhàn)。不久，秦季槱攜全家輾轉(zhuǎn)抵達(dá)當(dāng)時的京師臨安（今杭州）。嘉定十五年（1222），秦季槱任工部郎中，十七年，除秘書少監(jiān)。寶慶元年（1225）正月，

2、兼任國史院編修官、實錄院檢討官。工部掌管營建，而秘書省則掌管圖書，其下屬機(jī)構(gòu)設(shè)有太史局。因此，天資聰穎、求知若渴的秦九韶有機(jī)會閱讀大量典籍，熟悉建筑、修造、治河等方面的土木工程知識，并向他父親的屬官中負(fù)責(zé)測驗天文、考定歷法的學(xué)者們學(xué)習(xí)天文歷法知識。他后來在數(shù)書九章序中說“早歲侍親中都，因得訪習(xí)于太史”，即指這段時間的事。秦九韶又曾向“隱君子”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。他還向著名詞人李劉學(xué)習(xí)駢驪詩詞。通過這一時期的學(xué)習(xí)，秦九韶的學(xué)識日趨淵博。周密在癸辛雜識續(xù)集中稱他“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)，以至營造等事，無不精究”，“游戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知”。寶慶元年（1225）六月，秦季槱被任命為潼川（今四川三臺

3、）知府，七月赴任。秦九韶于是隨父回到四川。次年正月十二日，秦氏父子來到涪州（今重慶涪陵），與涪州守李踽及其兩個兒子同游，觀賞長江石魚，并刻石題名，后為姚覲光收入涪州石魚文字所見錄，成為一則重要史料。在潼川，秦九韶曾當(dāng)過縣尉。這期間，李劉曾邀請他到國史院?？睍墨I(xiàn)，但未成行。端平三年（1236），元兵攻入四川，嘉陵江流域兵禍不斷，秦九韶不得不經(jīng)常參與軍事活動，飽受戰(zhàn)爭之苦。他后來在數(shù)書九章序中回憶道：“際時狄患，歷歲遙塞，不自意全于矢石間，嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落。”數(shù)年后，秦九韶被迫再次離川，往東南避難。先后擔(dān)任過蘄州（今湖北蘄春）通判及和州（安徽和縣）守，最后定居湖州（今屬浙江）。有史

4、料記載，秦九韶是個自私、專橫和唯利是圖的人，抑或戰(zhàn)爭改變了他的天性。與他同時代的劉克莊在繳秦九韶知臨江軍奏狀中說他“倅蘄妄作，幾激軍變；守和販鹺，抑賣于民”。周密說他“既出東南，多交豪富”；在湖州的住家，建堂于苕水之上，“極其宏敞，后為列屋以處秀姬，管弦、制樂、度曲，皆極精妙，用度無算”。非利用職權(quán)中飽私囊者，豈能如此奢華？淳祐四年（1244）八月，秦九韶以通直郎為建康府（今江蘇南京）通判，十一月，因母喪離任，回湖州守孝。在此期間，秦九韶可謂“無絲竹之亂耳，無案牘之勞形”，專心學(xué)問，埋頭著書。淳祐七年（1247）九月，完成數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章。由于在天文歷法上的造詣，次年他被推薦到朝廷，受到皇帝召

5、見，因而得以闡述自己的見解，并呈上他的奏稿及數(shù)學(xué)大略（即數(shù)書九章）書稿。孝滿書成后的秦九韶不甘寂寞，又開始向往功名利祿。淳祐十年（1250），他往投吳潛幕。吳潛（11961262），號履齋，南宋重臣，主戰(zhàn)派首領(lǐng)。秦九韶與吳潛很有交情，他在湖州的居家即從吳處得到的地皮。寶祐二年（1254），秦九韶到建康，任沿江制置司參議，但不久去職，回湖州家居。此后，他去揚(yáng)州攀附當(dāng)朝權(quán)臣賈似道。寶祐六年（1258）正月，賈似道薦秦九韶于廣帥李曾伯，時逢瓊州守闕，于是李曾伯便命其暫任瓊州守，但三個月后被免職。劉克莊說秦九韶“到郡（瓊州）僅百日許，郡人莫不厭其貪暴，作卒哭歌以快其去”。周密則說他“至郡數(shù)月，罷歸，所

6、攜甚富”。離瓊州回湖州后，秦九韶又投奔吳潛，得薦，開慶元年（1259）任司農(nóng)寺丞，因不滿賈似道專權(quán)，被罷。景定元年（1260），又任命為知臨江軍（今江西清江），再次遭罷。不久，吳潛罷相，被貶潮州。秦九韶受到株連，也貶梅州（今廣東梅縣）做地方官，他“力政不輟”。約在景定二年（1261），病卒于任所，年60 歲。對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)：數(shù)書九章秦九韶惡劣的個人品行，與杰出的數(shù)學(xué)才能是不相稱的。因此有人因他的數(shù)學(xué)成就而為其個人品行辯護(hù)，如清代數(shù)學(xué)家焦循在天元一釋卷下說：“秦九韶為周密所丑詆，至于不堪，而其書亦晦而復(fù)顯。密以填詞小說之才，實學(xué)非其所知。即所稱與吳履齋交稔，為賈相竄于梅州，力政不輟，則秦之為人亦瑰

7、奇有用之才也?！迸c此同時，也有人因他的惡劣人品而貶低其數(shù)學(xué)成就，如余嘉錫南宋算學(xué)家秦九韶事跡考中說他“雖能治天算，多技能，不過小人之才耳，何足道哉！”對秦九韶，也有較客觀地評價：“有才有學(xué)的人未必有德，我們讀數(shù)書九章，不能不表揚(yáng)秦九韶在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)，但是論他的為人，也應(yīng)符合當(dāng)時的歷史實際?！睌?shù)書九章，是秦九韶勤奮學(xué)習(xí)、苦心鉆研和多年積累的數(shù)學(xué)成就的結(jié)晶，是堪與數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)相媲美的。這部著作，南宋時稱為數(shù)學(xué)大略或數(shù)術(shù)大略，明永樂大典和清四庫全書皆題稱數(shù)學(xué)九章。明季常熟趙氏脈望館藏有另一抄本，萬歷時趙琦美為其撰寫跋文始稱數(shù)書九章。后來清道光時按趙抄本校刻的宜稼堂叢書本流傳較廣，遂成為現(xiàn)今的通

8、稱。該書共18 卷，81 題，分為9 類，每類9 題，主要內(nèi)容是：一、大衍類：一次同余組的解法；二、天時類：歷法推算、雨雪量的計算；三、田域類：土地面積；四、測望類：勾股、重差等測量問題；五、賦役類：田賦、戶稅；六、錢谷類：征購米糧及倉儲容積；七、營建類：建筑工程；八、軍旅類：兵營布置和軍需供應(yīng)；九、市易類：商品交易和利息計算。每題答案之后都有“術(shù)”說明解題方法，“術(shù)”后有“草”說明演算步驟， 錢寶琮：秦九韶數(shù)書九章研究，載錢寶琮等著宋元數(shù)學(xué)史論文集，科學(xué)出版社1966 年版，第62 頁。有的題目還畫有圖。數(shù)書九章中的兩項最重要的成就是正負(fù)開方術(shù)（高次方程數(shù)值解法）和大衍求一術(shù)（一次同余組解法

9、）。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，古典代數(shù)學(xué)的中心課題是方程論。中國古代的方程論，不論是現(xiàn)代意義下的開方，還是解一般的高于二次的一元方程都被稱為開方。從周髀算經(jīng)、九章算術(shù)，到5 世紀(jì)的祖沖之和7 世紀(jì)的王孝通，已經(jīng)解決了開平方、開立方，以及二次三項方程和正系數(shù)三次方程求正根問題。11 世紀(jì)，賈憲又創(chuàng)造了一種新的開方法增乘開方法，通過隨乘隨加導(dǎo)出減根方程，逐步求出正系數(shù)高次方程的正根。12 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家劉益提出“正負(fù)開方術(shù)”，并突破了方程系數(shù)全都為正的限制。但劉益的方法并不是增乘開方法。秦九韶在前人工作的基礎(chǔ)上，把以增乘開方法為主體的高次方程數(shù)值解法發(fā)展到十分完備的程度。他的方程系數(shù)可正可負(fù)，可為分?jǐn)?shù)，也可為

10、小數(shù)，在有理數(shù)范圍內(nèi)沒有限制，但規(guī)定常數(shù)項總為負(fù)。亦即解決了形如下列的數(shù)字方程求解問題：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+.+an-1x+an=0其中a00， an 0， aiQ（i= 0，1，.，n）。數(shù)書九章81 個問題中，用方程來解的有21 個，共列出了26 個方程，其中二次方程20 個，三次1 個，四次4 個，十次1 個，其解法大都有詳草。從其隨乘隨加的具體運(yùn)算過程可以看出，秦九韶提出的高次方程數(shù)值解法可以毫不困難地轉(zhuǎn)化為計算機(jī)程序。秦九韶還討論了“投胎”、“換骨”、“玲瓏”、“同體連枝”等特殊情形，并將其廣泛應(yīng)用于面積、體積、測量等方面的實際問題。在西方，關(guān)于高次方程數(shù)值解法的探

11、討，經(jīng)歷了漫長的歷史過程，直到1840 年，意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（P.Ruffini，17651837）在英國皇家學(xué)會發(fā)表的論文“用連續(xù)逼近法解任何次數(shù)字方程的新方法”中，才提出與增乘開方法演算步驟相同的算法，后被稱為“霍納法”。秦九韶的成就要比魯菲尼和霍納早五六百年。秦九韶對于一次同余組解法的理論概括，是他在數(shù)學(xué)史上的另一項杰出貢獻(xiàn)。一次同余式問題的解法是適應(yīng)天文學(xué)家推算上元積年的需要而產(chǎn)生的。中國古代天文學(xué)家假設(shè)在遠(yuǎn)古時代有一年的冬至、甲子日零時和日月合朔在同一時刻。該時刻即稱為上元，從上元到本年經(jīng)過的年數(shù)稱為上元積年。在既知本年的冬至?xí)r刻和十一月平朔時刻的條件下推算這一年的上元積年是一個一

12、次同余問題。設(shè)A 為回歸年（從冬至到冬至）日數(shù)，R1 為本年冬至距其前一個甲子日零時的日數(shù)，B 為一朔望月（從平朔到平朔）的日數(shù)，R2 為冬至距前一個平朔的日數(shù)，則上元積年x 滿足下列一次同余組Ax=R1（mod 60）R2（mod B）。3 世紀(jì)后，中國各家歷法都有一個特定的上元積年，但各個時期的天文學(xué)家盡管掌握了上元積年的推算方法，卻沒有明確提出系統(tǒng)的和完整的一次同余理論。最早見于記載的一次同余問題是孫子算經(jīng)中的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?！边@相當(dāng)于求解一次同余組x2（mod 3）3（mod 5）2（mod 7）。孫子算經(jīng)給出最小正

13、解：x=2×70+3×21+2×15-2×105=23，但未說明其理論根據(jù)。秦九韶青年時在杭州“訪習(xí)于太史”，掌握了上元積年的推算方法。他經(jīng)過深入研究，把上元積年算法與孫子問題的解法聯(lián)系起來，在數(shù)書九章中明確給出了一次同余組的一般解法。設(shè)m1，m2，.，mn 兩兩互素，M=m1·m2·.·mn，Mi=M/mi（i=1，2，3，.，n）。若有正整數(shù)k1，k2，.，kn 滿足kiMi1（modmi），i=1，2，3，.，n，則一次同余組xri（mod mi）r2（modm2）.的解為x modM （ ）。k M r i i ii

14、n= .1這就是西方文獻(xiàn)中所稱的“中國剩余定理”。秦九韶把mi、M、Mi 和ki 分別稱作定數(shù)、衍母、衍數(shù)和乘率。顯然，一次同余組解法的關(guān)鍵是求乘率ki。因為同余式kiMi1（modmi）等價于kigi1（modmi），其中Migi（modmi），0gimi，所以這一問題又歸結(jié)為求解同余式ax1（modb），（a，b）=1，ab秦九韶提出的著名的“大衍求一術(shù)”，就是求解（1）的方法（今亦泛指整個一次同余組的解法）。數(shù)書九章卷三“治歷演紀(jì)”題，詳細(xì)記述了南宋開禧歷上元積年的推算過程。從大衍求一術(shù)的這一具體應(yīng)用可以清楚看出，秦九韶的算法是完全正確和相當(dāng)嚴(yán)密的。并且，秦九韶的大衍求一術(shù)與他的高次方程

15、數(shù)值解法一樣，簡潔、明確、帶有很強(qiáng)的機(jī)械性，其程序亦可毫無困難地轉(zhuǎn)化為算法語言，用計算機(jī)來實現(xiàn)。另外還值得一提的是，數(shù)書九章卷一、卷二大衍類共有9 個一次同余組問題，其中只有“余米推數(shù)”題（三個模數(shù)為19、17、12）可直接應(yīng)用“中國剩余定理”來解，其余諸題所給模數(shù)或帶有小數(shù)，或帶有分?jǐn)?shù)，或為不兩兩互素的整數(shù)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q。帶有小數(shù)和分?jǐn)?shù)的模易于化為整數(shù)模。但由于中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中沒有素數(shù)概念，因而秦九韶不可能用素因數(shù)分解的方法來化不兩兩互素的模為兩兩互素的模?？墒撬O(shè)計的一些算法，如“兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶（或約得五，而彼有十，乃約偶弗約奇）”等，不僅較為成功地解決了這一難題，而且

16、在實際計算上比素因數(shù)分解法更具優(yōu)越性。因此，有些學(xué)者譽(yù)稱其為沒有素數(shù)的素數(shù)論。在西方，最早接觸一次同余組的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，約11701250），他在算盤書（1202）中給出了兩個一次同余問題，但沒有一般解法。直到1819 世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，17071855）才對一次同余組進(jìn)行深入研究，重新獲得與“中國剩余定理”相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出嚴(yán)格證明。1852 年，英國傳教士、漢學(xué)家偉烈亞力（A.Wylie，18151887）發(fā)表中國數(shù)學(xué)科學(xué)札記，其中介紹了大衍求一術(shù)。從1856 年到1876 年，德國人馬蒂生（Martthiessen，183

17、01906）等西方學(xué)者又多次指出大衍求一術(shù)原理與高斯方法的一致性，從而更加引起了歐洲學(xué)者的矚目。德國數(shù)學(xué)史家康托（M.Cantor，18291920）高度評價了大衍求一術(shù)，他稱贊發(fā)現(xiàn)這一算法的中國數(shù)學(xué)家是“ 最幸運(yùn)的天才” 。比利時東方學(xué)家李倍始（U.Libbrecht）在13 世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)（Chinese Mathematics intheThirteenth Century，1973）一書中對從孫子算經(jīng)到19 世紀(jì)末斯提爾吉斯共15 個有代表性的解決同余組的人或著作作了比較。他按工作質(zhì)量所排列的名次是：斯提爾吉斯（1890），歐拉（1743），高斯（1801），秦九韶（1247），貝維立

18、基（1669），哥廷根手稿（約1550），休頓（1657），慕尼黑手稿（約1450），斐波那契（1202），楊輝（1275），孫子算經(jīng)（約400），阿古洛斯（約1350），程大位（1592），嚴(yán)恭（1372），玉山若干（約1460）。秦九韶名列第四。數(shù)書九章除了正負(fù)開方術(shù)和大衍求一術(shù)這兩項重要成就外，還有不少其他方面的成就。如在代數(shù)學(xué)方面，改進(jìn)了線性方程組的解法，普遍應(yīng)用互乘相消法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的直除法；在幾何學(xué)方面，提出已知三角形三邊之長求其面積的等價于海倫公式的“三斜求積術(shù)”：A =1 4a ba b c 2 22 2 22-+ - .è . ÷é. êêù. &