數(shù)學(xué)建模常用的十種解題方法

1、 數(shù)學(xué)建模常用的十種解題方法 摘要 當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的十種常用方法有蒙特卡羅算法；數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法；解決線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃算法；圖論算法；動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法；最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法；網(wǎng)格算法和窮

2、舉法；一些連續(xù)離散化方法；數(shù)值分析算法；圖象處理算法。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；蒙特卡羅算法；數(shù)據(jù)處理算法；數(shù)學(xué)規(guī)劃算法；圖論算法 一、蒙特卡羅算法蒙特卡羅算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時(shí)可以通過模擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法。在工程、通訊、金融等技術(shù)問題中, 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很難獲取, 或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的獲取需耗費(fèi)很多的人力、物力, 對(duì)此, 用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬就是最簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、實(shí)用的方法; 此外, 對(duì)一些復(fù)雜的計(jì)算問題, 如非線性議程組求解、最優(yōu)化、積分微分方程及一些偏微分方程的解, 蒙特卡羅方法也是非常有效的。一般情況下, 蒙特卜羅算法在二重積分中用均勻隨機(jī)數(shù)計(jì)算

3、積分比較簡(jiǎn)單, 但精度不太理想。通過方差分析, 論證了利用有利隨機(jī)數(shù), 可以使積分計(jì)算的精度達(dá)到最優(yōu)。本文給出算例, 并用MA TA LA B實(shí)現(xiàn)。1蒙特卡羅計(jì)算重積分的最簡(jiǎn)算法-均勻隨機(jī)數(shù)法二重積分的蒙特卡羅方法(均勻隨機(jī)數(shù)) 實(shí)際計(jì)算中常常要遇到如的二重積分, 也常常發(fā)現(xiàn)許多時(shí)候被積函數(shù)的原函數(shù)很難求出, 或者原函數(shù)根本就不是初等函數(shù), 對(duì)于這樣的重積分, 可以設(shè)計(jì)一種蒙特卡羅的方法計(jì)算。 定理1 設(shè)式區(qū)域D 上的有界函數(shù), 用均勻隨機(jī)數(shù)計(jì)算的方法:(l) 取一個(gè)包含D 的矩形區(qū)域,a x b, c y d , 其面積A =(b 一a) (d 一c) ;,i=1,n在上的均勻分布隨機(jī)數(shù)列,

4、不妨設(shè), j=1，k為落在D 中的k個(gè)隨機(jī)數(shù), 則n 充分大時(shí), 有定理2 用定理1的公式（1）作近似計(jì)算時(shí)，其方差為證略。 2 蒙特卡羅計(jì)算重積分的一般方法-任意隨機(jī)數(shù)法2.1 二重積分的蒙特卡羅算法(一般隨機(jī)數(shù))定理3 設(shè)區(qū)域D上的有界函數(shù)，用一般的隨機(jī)數(shù)計(jì)算的方法：(l) 取一個(gè)包含D 的矩形區(qū)域,a x b, c y d , 其面積A =(b 一a) (d 一c) ;取任一概率密度函數(shù)，滿足；，i=1,n,是以為概率密度的隨機(jī)數(shù)列，設(shè)，i-1,k,為落在D中的隨機(jī)數(shù)，則n充分大時(shí)，有證略。3 蒙特卡羅計(jì)算重積分的最優(yōu)算法有利隨機(jī)數(shù)法 任意隨機(jī)數(shù)都能用于積分計(jì)算, 對(duì)于不同的隨機(jī)數(shù), 計(jì)

5、算結(jié)果的方差顯然不同, 在定理3 中, 取時(shí)，計(jì)算方差為零,即方差最小，稱為有利密度函數(shù)，以為概率密度的隨機(jī)數(shù)稱為有利隨機(jī)數(shù)。這樣得到方差最優(yōu)的蒙特卡羅算法, 敘述如下:定理5 根據(jù)二重積分的最優(yōu)蒙特卡羅算法(有利隨機(jī)數(shù)), 設(shè)區(qū)域D上的有界函數(shù)，0，那么按如下步驟得到方差最優(yōu)值。(l) 取一個(gè)包含D 的矩形區(qū)域；取有利概率密度其中c=；，i=1,n,是以為概率密度的隨機(jī)數(shù)列，設(shè)，i-1,k,為落在D中的隨機(jī)數(shù)，則n充分大時(shí)，有 實(shí)際計(jì)算中, 由于c 是要計(jì)算的, 不可能事先得到, 所以只能先估算c 。二、數(shù)據(jù)處理算法 數(shù)據(jù)處理算法有數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等，比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處

6、理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具。1數(shù)據(jù)擬合在實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)和戡測(cè)常常會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)。為了解釋這些數(shù)據(jù)或者根據(jù)這些數(shù)據(jù)做出預(yù)測(cè)、判斷，給決策者提供重要的依據(jù)。需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，尋找一個(gè)反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)。它所處理的數(shù)據(jù)量大而且不能保證每一個(gè)數(shù)據(jù)沒有誤差，所以要求一個(gè)函數(shù)嚴(yán)格通過每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是不合理的。數(shù)據(jù)擬合方法求擬合函數(shù)。例：在某化學(xué)反應(yīng)中，測(cè)得生成物的質(zhì)量濃度y(10/cm)與時(shí)間t（min）的關(guān)系如表所示 顯然，連續(xù)函數(shù)關(guān)系y(t)是客觀存在的。但是通過表中的數(shù)據(jù)不可能確切地得到這種關(guān)系。何況，由于儀器和環(huán)境的影響，測(cè)量數(shù)據(jù)難免有誤差。因此只能尋

7、求一個(gè)近擬表達(dá)式 y=(t)尋求合理的近擬表達(dá)式，以反映數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，這種方法就是數(shù)據(jù)擬合方法。數(shù)據(jù)擬合需要解決兩個(gè)問題：第一，選擇什么類型的函數(shù)(t)作為擬合函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）；第二，對(duì)于選定的擬合函數(shù)，如何確定擬合函數(shù)中的參數(shù)。 數(shù)學(xué)模型應(yīng)建立在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，假設(shè)的合理性首先體現(xiàn)在選擇某種類型的擬合函數(shù)使之符合數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)（總體的變化規(guī)律）。擬合函數(shù)的選擇比較靈活，可以選擇線性函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)或其它函數(shù)，這應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)分布的趨勢(shì)作出選擇。為了問題敘述的方便，將例1的數(shù)據(jù)表寫成一般的形式 （1）線性擬合（線性模型）假設(shè)擬合函數(shù)是線性函數(shù)，即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的

8、直線。而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在一條直線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù) y= a + b x 中系數(shù)a和b各等于多少？從幾何背景來考慮，就是要以a和b作為待定系數(shù)，確定一條平面直線使得表中數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的10個(gè)點(diǎn)盡可能地靠近這條直線。一般來講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會(huì)全部落在這條直線上，如果第k個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在這條直線上，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，即 a+bx=y如果這個(gè)點(diǎn)不在直線上，則它的坐標(biāo)不滿足直線方程，有一個(gè)絕對(duì)值為|a+bx-y|的差異（殘差）。于是全部點(diǎn)處的總誤差是|a+bx-y|這是關(guān)于a和b的一個(gè)二元函數(shù)，合理的做法是選取a和b，使得這個(gè)函數(shù)取最小值。但是在實(shí)際求解問題時(shí)

9、為了操作上的方便，常常是求a和b使得函數(shù) F=（a+bx-y）達(dá)到極小。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令 得求解這個(gè)二元線性方程組便得待定系數(shù)a和b，從而得線性擬合函數(shù)y=a+bx。下圖中直線是數(shù)據(jù)的線性擬合的結(jié)果。（2）二次函數(shù)擬合（二次多項(xiàng)式模型）假設(shè)擬合函數(shù)不是線性函數(shù)，而是一個(gè)二次多項(xiàng)式函數(shù)。即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的拋物線，而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在這條拋物線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù) y=a+ax+ax中系數(shù)a,a和a各等于多少？從幾何背景來考慮，就是要以a,a和a為待定系數(shù)，確定二次曲線使得表中數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的10個(gè)點(diǎn)盡可能地靠近這條曲線。一般來講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會(huì)全部

10、落在這條曲線上，如果第k個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在曲線上，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次曲線的方程，即 a+ax+ax=y這是關(guān)于a,a和a的一個(gè)三元函數(shù)，合理的做法是選取a,a和a，使得這個(gè)函數(shù)取最小值。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令 得 這是關(guān)于待定系數(shù)a,a和a的線性方程組，寫成等價(jià)的形式為 這就是法方程，求解這一方程組可得二次擬合函數(shù)中的三個(gè)待定系數(shù)。下圖反映了例題所給數(shù)據(jù)的二次曲線擬合的結(jié)果（3） 數(shù)據(jù)的n次多項(xiàng)式擬合（略）2. 參數(shù)估計(jì) 數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要工作是建立變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，但公式中總是涉及一些參數(shù)。 求模型中的參數(shù)的估計(jì)值有三種常用的方法：圖解法，統(tǒng)計(jì)法，機(jī)理分析法 。（1） 圖解法：對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木炔桓撸恍鑼?duì)參數(shù)做出粗略估計(jì)時(shí)刻采用圖解法。（2） 統(tǒng)計(jì)法：參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)處理，往往用最小二乘法估計(jì)。（3） 機(jī)理分析法：統(tǒng)計(jì)分析法應(yīng)用于變量間