等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法39157

1、等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法高考題中，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？ 證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項法、數(shù)學歸納法、反證法。一、 定義法.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法： .證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：（n>2，為常數(shù)且0）注意事項：用定義法時常采用的兩個式子和有差別，前者必須加上“”，否則時無意義，等比中一樣有：時，有（常數(shù)）；時，有（常數(shù)）例1. 設數(shù)列中的每一項都不為0。 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有。

2、證明：先證必要性設為等差數(shù)列，公差為d，則當=0時，顯然命題成立當0時，再證充分性： 得：兩邊同以得： 同理： 得：即： 為等差數(shù)列例2. 設數(shù)列的前n項和為，試證為等差數(shù)列的充要條件是。證：）若為等差數(shù)列，則，故（）當n2時，由題設，所以同理有從而整理得：an+1an=anan1，對任意n2成立.從而an是等差數(shù)列.例3.已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項的和，則，仍成等比數(shù)列。證明一：（1）當q=1時，結(jié)論顯然成立；（2）當q1時， =成等比數(shù)列.證明二：=同理，= 成等比數(shù)列。二、中項法(1).(充要條件)若(注：三個數(shù)為等差數(shù)列的充要條件是:)(充分條件)2()是等差數(shù)列，（2）.(充

3、要條件)若 是等比數(shù)列 (充分條件)（n1）是等比數(shù)列，注: 是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件.是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac0，則等比中項一定有兩個.三、通項公式與前項和法1. 通項公式法（1）.若數(shù)列通項能表示成（為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列。(充要條件)(2).若通項能表示成(均為不為0的常數(shù)，)的形式，則數(shù)列是等比數(shù)列(充要條件)2. 前項和法(1).若數(shù)列的前項和Sn能表示成 (a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；(充要條件)(2).若Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q1)的形式，則數(shù)列是公

4、比不為1的等比數(shù)列 (充要條件)四、歸納猜想-數(shù)學歸納證明法先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項，觀察數(shù)據(jù)特點，猜想、歸納出通項公式，再用數(shù)學歸納法給出證明。這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學歸納法證明的步驟要熟練，從“時命題成立”到“時命題成立”要會過渡五、反證法解決數(shù)學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；（2）若是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（4）是公比為的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列中，每隔項取出一項，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；（6）若成等差數(shù)列時，成等比數(shù)列；（7）均不為零時，則成等比數(shù)列；（8）若是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列是一個等比數(shù)列若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實常數(shù)）；（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；（3）