華東師大初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)勾股定理(基礎(chǔ))知識(shí)講解(精選)

1、勾股定理（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條 邊長求出第三條邊長.2 .掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題.3 .熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a, b ,斜邊長為c ,那么a2 +b2 =c2.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長

2、可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來， 達(dá)到了解決問題的目的 （3）理解勾股定理的一些變式：22222222a =c -b , b =c -a , c =（a+b） -2ab.要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中=八4乂；的,所以J+二尸方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中總初儂也- （b-療+ 處,所以J =/ +/方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形C3 )g+b)g+s)11 2所以二I：.- = 2x-ab+-c2,222要點(diǎn)三、勾股定理的作用1 .已知直角三角形的任意兩條邊

3、長，求第三邊;2 .用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3 .利用勾股定理，作出長為新的線段.【典型例題】類型一、勾股定理的直接應(yīng)用C1、在 ABC中，Z C= 90° , / A、/日/ C的對(duì)邊分別為a、b、c.(1)若 a = 5, b = 12,求 c ；(2)若 c=26, b =24,求 a .【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2+b2 =c2來求未知邊長.【答案與解析】 解：(1)因?yàn)?ABC中，Z C= 90。，a2+b2=c2, a = 5, b = 12,所以 c2 =a2 +b2 =52 +122 =25+144 =169 .所以 c =13.(2)因?yàn)?ABC中，Z C=

4、 90。，a2+b2=c2, c=26, b =24,22222所以 a =c -b =26 -24 = 676576 = 100 .所以 a = 10.【總結(jié)升華】 已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式.舉一反三：【變式1】在 ABC中，/ C= 90° , / A、/ R / C的對(duì)邊分別為 a、b、c .(1)已知 b =2, c = 3,求 a；(2)已知 a:c = 3:5 , b=32,求 a、c.【答案】解：(1)/ C= 90° , b =2, c = 3,a = Jc2 -b2 = J32 _2

5、2 = V5 ；(2)設(shè) a =3k , c =5k ./ C= 90° , b =32,2,22a +b =c .222即(3k) +32 =(5k).解得k = 8.a=3k=3x8 = 24, c=5k=5x8 = 40.【變式2】分析探索題：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.OA2=（VI）2+1=2 , Si=02OA2=（我）2+1=3, S2=全；2OA2=（V5）2+1=4,8=登2（1）請(qǐng)用含有n （n為正整數(shù)）的等式 Sn=;（2）推算出OAo=.（3）求出S12+&2+S32+S102的值.【答案】解：(1)(石)2+1=n+1Sn(n是正整數(shù))

6、；故答案是：魚；2，一、2O A1 =1,OA2=(近)2+1=2,OA?= (V2) 2+1=3,OA2= (V3)2+1=4, . .oa2=V1, oa=V£OA=、71j,.OA10=71O;故答案是：一i;(3) S12+S22+S32+-+S102=T (1+2+3+ + 10)一4即：S12+S2+S32+-+S102=4類型二、勾股定理的證明2、如圖所示，在 RtABC中，Z C= 90° , AM是中線，MNLAB,垂足為N,試說明 AN2 BN2 =AC2 .【答案與解析】解：因?yàn)?MNLAB,所以 AN2 +MN 2 = AM 2, BN2 + MN

7、2 = MB2,所以 AN2 BN2 = AM 2 BM 2.因?yàn)锳M是中線，所以 MC= MB又因?yàn)? C= 90° ,所以在 RtAAMO, AM2MC 2= AC 2,所以 AN2 BN2 = AC2 .【總結(jié)升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.若 沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明.類型三、利用勾股定理作長度為Jn的線段3、作長為亞、出、有的線段.【思路點(diǎn)撥】 由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長就等于 也，直角邊為也和1的直角三角形斜邊長就是 也,類似地可作 百.【答案與解析】作法：如圖所示(1

8、)作直角邊為1 (單位長度)的等腰直角 ACB使AB為斜邊；(2)作以AB為一條直角邊，另一直角邊為 1的RtA4班，斜邊為4幺；(3)順次這樣做下去，最后做到直角三角形細(xì)£ ,這樣斜邊AB、煙、乂&、圾的長度就是我、也、網(wǎng)、后.【總結(jié)升華】（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長度時(shí)可自定,般習(xí)慣用國際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如 1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長為單位即可.類型四、利用勾股定理解決實(shí)際問題C4. （2016春？淄博期中）有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬 4尺，求竹竿高

9、與門高.【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長， 可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高. 【答案與解析】解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x +4 = （x+1） 2,即 x2+16=x 2+2x+1 ,解得：x=7.5,竹竿高=7.5+1=8.5 （尺）答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺.【總結(jié)升華】 本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決.舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5 m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12 m處，則旗桿折斷前有多高？【答案】解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以/C= 90° , BC= 5m, AC= 12m,AB2 = BC2 + AC2 =52 +122 =169 .AB =7T69=13（m）.BC+AB= 5+ 13= 18（ m）.旗桿折斷前的高度為18 m.【高清課堂勾股定理例3】在 5、如圖，長方形紙片 ABCM,已知AD- 8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE,且EF= 3,則AB的長為（）A. 3 B . 4 C . 5 D . 6【答案】D;【解析】解：設(shè) ABJ= X ,