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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案全等的相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型:輔助線:過點(diǎn)G作GEL射線AC(1).例題應(yīng)用:如圖1,在AABC中,/C=900,AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm.如圖2,已知,21=/2, /3=/4.求證:AP平分/BAC.圖1圖22 (提示:作 DEAB交AB于點(diǎn)E):/1=/2 ,PM =PN 丁/3=/4 /, PN =PQ - PM =PQ, PA平分/BAC.模型鞏固:練習(xí)一:如圖3,在四邊形ABCLfr, BC>AB AD=CD BD平分/BAC .精彩文檔.求證:/A+/C=180*練習(xí)二:已知如圖4
2、,四邊形ABCDK/B+/D =1800,BC =CD.求證:AC平分/BAD.練習(xí)三:如圖5, RtAABC中,/ACB = 90°, CD_LAB,垂足為D, AF平分/ CAB,交CD于點(diǎn)E交CB于點(diǎn)F.求證:CE=CF.(2)將圖5中的 ADE沿AB向右平移到 MD E的位置,使點(diǎn)E落在BC邊上,其他條件不變,如圖6所示,是猜想:BE于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論圖6練習(xí)四:如圖 7, /A=90 : AD / BC , P是AB的中點(diǎn),PD平分/ ADC求證:CP平分/ DCB練習(xí)五:如圖8, AB>AC /A的平分線與 BC的垂直平 分別為E, F.求證:B
3、E=CF練習(xí)六:如圖9所示,在 ABC中,BC邊的垂直平分線DEI AB 于 E,并且 AB>AC 求證:BE- AC=AE練習(xí)七: 如圖10, D E、F分別是 ABC的三邊上的點(diǎn), 求證:AD平分/ BAG2.角平分線+垂線,等腰三角形比呈現(xiàn)A1圖7 分線相交于 D,自D作DE! AB, DF± AC,垂足AD圖8DF交ABAC的外角平分線 AD于點(diǎn)D, F為垂足,B BC點(diǎn)9CE=BF且4 DCE的面積與 DBF的面積相等,A二二 BDC輔助線:延長(zhǎng) ED交射線OBT F輔助線:過點(diǎn)E作EF/射線OB(1) .例題應(yīng)用: .如圖1所示,在 ABC中,/ ABC=3Z C,
4、 AD是/ BAC的平分線,BEX AD于F。,、1-求證:BE =-(AC - AB)2證明:延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。 .已知:如圖2,在MBC中,/BAC的角平分線AD交BC于D,且AB =AD,1.作CM _L AD交AD的延長(zhǎng)線于 M.求證:AM =一(AB+AC)2圖2分析:此題很多同學(xué)可能想到延長(zhǎng)線段CM但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此題突破口就在于AB=AD由此我們可以猜想過 C點(diǎn)作平行線來構(gòu)造等腰三角形 .證明:過點(diǎn) C作CE/ AB交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.例題變形:如圖,21=/2, B為AC的中點(diǎn),CM _LFB于M,AN _LFB于N.求證:EF =2BM;1FB (
5、FM FN).2A.模型鞏固:練習(xí)一、 如圖3, A AB佻等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證:BD=2CE練習(xí)一變形:如圖4,在 OD阱,/D=900,EC是/DCO的角平分線,且OE 1 CE過點(diǎn)e作EF _LOC交OC于點(diǎn)F.猜想:線段EF與OD之間的關(guān)系,并證明圖4練習(xí)二、如圖 5,已知 ABC中,CE平分/ ACB且A已CE / AEDb / CA打180度,求證:DE BC練習(xí)三、如圖 6, AD1 DC BC± DC E是DC上一點(diǎn),AE平分/ DAB BE平分/ ABC 求證:點(diǎn) E是DC
6、中點(diǎn)。練習(xí)四、如圖7(a), BD、CE分別是*ABC的外角平分線,過點(diǎn) A作AD,BD、1 ,”DE = (AB BC AC)AE _LCE,垂足分別是 D、E,連接DE.求證:DE / BC,2圖 7 (c)D、如圖 7(b), bd、CE勵(lì)是ABCMWmMtBU、如圖7(c), BD為4ABe的頌也線CE為AABC制仰陽線其他條件不變.則在圖7 (b)、圖6 (c)兩種情況下,DE與BC還平行嗎?它與 ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜測(cè),并證明你的結(jié)論.(提示:利用三角形中位線的知識(shí)證明線平行)練習(xí)五、如圖8,在直角三角形 ABC中,NC=90*, NA的平分線交 BC于D .
7、自C作CG _L AB交AD 于E ,交AB于G 自D作DF _LAB于F ,求證:CF _L DE 圖8練習(xí)六、如圖9所示,在 MBC中,AC >AB, M為BC的中點(diǎn),AD是NBAC的平分線,若CF _L AD且交AD的延長(zhǎng)線于F ,4-1求證 MF ="AC - AB ).練習(xí)六變形一:如圖 10所示,點(diǎn),求證DE IIAB且圖9AD是 MBC中NBAC的外角平分線, 。口,八口于口,E是BC的中1DE =(AB +AC).2練習(xí)六變形二:如圖11所示,AB +AC =2AM .在 AABC 中,AD 平分/BAC, AD=AB, CM_L AD于M ,求證DM圖11練習(xí)
8、七、如圖12,在AABC中,/B=2/C , NBAC的平分線 AD交BC與D .則有AB+BD = AC .那 么如圖 13,已知在 AABC 中,4BC=3/C, /1 =/2, BE_LAE.求證:ACAB=2BE.圖13練習(xí)八、在 4ABC中,AB=3AC, /BAC的平分線交 BC于D ,過B作BE _L AD , E為垂足,求證: AD=DE .練習(xí)九、 AD是 MBC的角平分線,BE _L AD交AD的延長(zhǎng)線于E ,求證:AF=FB.EF II AC 交 AB 于 F .3.角分線,分兩邊,對(duì)稱全等要記全兩個(gè)圖形的輔助線都是在射線OA上取點(diǎn)B,使OB=OA從而使&OAC
9、AOBC.(1) .例題應(yīng)用:、在 ABC中,/ BAC=60 , / C=4(J , AP平分/ BAC交 BC于 P, BCff 分/ ABC交 AC 于 Q 求證:AB+BP=BQ+AQB 口C思路分析:1)題意分析:本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí):作平行線。2)解題思路:本題要證明的是AB+BP=BQ+A皈勢(shì)較為復(fù)雜,我們可以通過轉(zhuǎn)化的 思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證??蛇^O作BC的平行線。得4AD堂4AQO得到OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O僦可以了。解答過程:圖證明:如圖(1),過O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60°
10、; 40° =80° , 又. / AQO= C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAO=QAO OA=AO . .AD堂 AAQOOD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBO= DOB 又./ PBO=DBO ./ DBO= DOB .BD=O D又. / BPAWC+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./BOP= BPO .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考:(1)本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長(zhǎng)法”(2)本題利用“平行法”的解法也較多
11、,舉例如下:如圖(2),過O作OD/ BC交AC于D,則AADOiABOA而得以解決。圖(2)如圖 ,過。作DE*BC交AB于D,交AC于E,OJiJAADO£SAAQO, AB。色AEO從而得以解決,B pC圖(3)如圖,過P作PD#BQ交AB的延長(zhǎng)線于D,則AAPD經(jīng)APC從而 得以解決.如圖(5),過P作PD/ BQ交AC于D,則4AB國(guó)/XADPA而得以解決。小結(jié):通過一題的多種輔助線添加方法,體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形 而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的,體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn) 移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到,不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線,
12、實(shí)質(zhì)都是對(duì) 三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。A的任意一點(diǎn),試比較、如圖所示,在 MBC中,AD是/BAC的外角平分線,P是AD上異于點(diǎn) PB+PC與AB+AC的大小,并說明理由.【解析】PB +PC >AB +AC ,理由如下.如圖所示,在 AB的延長(zhǎng)線上截取 AE=AC,連接PE .因?yàn)锳D是ZBAC的外角平分線,故 ZCAP=/EAP .在 MCP和 AAEP 中,AC=AE, /CAP=/EAP, AP公用,因此 MCP MEP ,從而PC =PE .在 ABPE 中,PB+PEaBE,而 BE =BA+AE =AB +AC ,故 PB+PC>AB
13、+AC .變形:在 MBC中,AB>AC, AD是/BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證:ABAC > PBPC.【解析】 在AB上截取AE=AC,連結(jié)EP,根據(jù)SAS證得 MEPMCP, . PE = PC, AE = AC 又陽EP 中,BE>PB-PE, BE = AB-AC , . AB-AC >PB-PC(2)、模型鞏固:練習(xí)一、.如圖,在 ABC中,ADL BC于D,CD= AB+ BD,/ B的平分線交AC于點(diǎn)E,求證:點(diǎn) E恰好在BC的垂直平分線上。練習(xí)二、如圖,已知求證:AD+ BD= BC練習(xí)三、如圖,已知求證:AC+ CD= ABABC中,AB
14、= AC, / A= 100° , / B 的平分線交 AC于 D,ABC中,BC= AC, Z C= 90° , / A 的平分線交 BC于 D,D練習(xí)四、已知:在 ABC中,BB的平分線和外角 /ACM的平分線相交于 D, DF BC,交AC于E,交AB于F,求證:EF =BF -CE練習(xí)五、在 ABC中,AB=2AC,AD平分/BAC, E是AD中點(diǎn),連結(jié) CE ,求證:BD = 2CE變式:已知:在 ABC 中,/B =2/C,BD 平分 NABC, AD_LBQ 于 D,一1 一求證:BD = AC2練習(xí)六、 點(diǎn)E.求證:已知:如圖,在四邊形 ABC邛,AD/ B
15、C,BC=DC,CF¥分Z BCD,DF/ AB,BF的延長(zhǎng)線交 DC于(1) BF=DF;(2) AD=DE.練習(xí)七、已知如圖,在四邊形ABCD中,AB+BC=CD+DA/ ABC的外角平分線與/ CDA的外角平分線交于點(diǎn)P.求證:/ APB=Z CPD練習(xí)八、如圖,在平行四邊形 ABCD(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形)中,E, F分別是AD AB邊上的點(diǎn),且BE DF交于G點(diǎn),BE=DF求證:GO/ BGD勺平分線。練習(xí)九、如圖,在 ABC中,/ ACB為直角,CMLAB于M AT平分/ BAC交CM于D,交BC于T,過D作 DE/ AB交 BC于 E,求證:CT=BE.練習(xí)十、如圖
16、所示,已知 MBC中,AD平分/BAC , E、F分別在BD、AD上.DE =CD , EF = AC .求證:EF / AB【補(bǔ)充】如圖,在 MBC中,AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),EF II AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F , 交AB于點(diǎn)G ,若BG =CF ,求證:AD為ZBAC的角平分線.4.中考巡禮:(1).如圖1, OP是/AOB的平分線,請(qǐng)你利用圖形畫一對(duì)以 OP為所在直線為對(duì)稱軸的 全等三角形,請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法,解答下列問題。、如圖2,在 ABC中,/ACB直角,/ B=600, AD CE是/ BAC /BCA勺角平分線,相交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判斷并寫出EF與DF之間
17、的數(shù)量的關(guān)系。、如圖3,在4ABC中,/ACB是直角,而(1)中的其他條件不變,請(qǐng)問,(1)中的結(jié)論是否任然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,B (-1 , 0), C (1, 0) D為y軸上的一點(diǎn),點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且/ BAC=2/ BDO過點(diǎn)D作DMLAC于M、求證:/ ABDW ACD、若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,求證:AD平分/ CAE理由二、等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程:(1) .將ABD®時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使AC陣AABED從而才|出4 ADMJ等腰直角三角 形.(但是寫輔助線時(shí)不能這樣寫)(
18、2) .過點(diǎn)C作MC _L BC ,連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程:連AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE,導(dǎo)出 zXBDHAADE.(2) .使/EDF它 BAC=800,導(dǎo)出 ABD/AADE.(1)、例題應(yīng)用:在等腰直角44。中,440=90%點(diǎn)M.Nfi斜邊BC上滑動(dòng),且4LV=45。是探究MV、CA之間的數(shù)量關(guān)系.yrc±sc解析:方法一:過點(diǎn)c作過點(diǎn)另作.vzyG使N5二ex連av1方法二:使ire二五此連41r.BA結(jié)論:BMCNAfX22,兩個(gè)全等的含30。,60涌的三角板.5磊口三角板46C,如圖所示放置, E
19、. A. CH點(diǎn)在一條直線上,連接5D,取5D的中點(diǎn)就 連接ME, MC是判斷£”(充)形狀,并證明你的結(jié)論.證明:方法一:連接 AM證明 MDEMACI別注意證明 ZMDE =MAC.方法二:過點(diǎn)M作MNLEC交EC于點(diǎn)N,得出M財(cái)直角梯形的中位線,從而導(dǎo)出ME3等腰直角三角形.B(2)、練習(xí)鞏固: 已知:如圖所示,RtAABC中,AB=AC /BAC=90: O為BC中點(diǎn),若M N分別在線段AC AB上移動(dòng),且在移動(dòng)中保持 AN=CM.、 是判斷 OMNJ形狀,并證明你的結(jié)論.、當(dāng)M N分別在線段 AC AB上移動(dòng)時(shí),四邊形 AMON)面積如何變化?思路:兩種方法: 在正方形AB
20、CM, BE=3 , EF=5 , DF=4 ,求/ BAEN DC的多少度.3 .構(gòu)造等腰直角三角形(1)、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角(略)(2)、利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角如下圖:圖3-1圖3-2操作過程:在圖3-2中,先將ABW BD所在的直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱三角形,再將此三角形沿水平方向向右平移一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度單位,使例題應(yīng)用:已知:平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn),A1,。)b(2,7)C(0,3),求/OCA+OCB勺OCB+OCA=45Q4 .將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形,如下圖:圖4-2圖4-1例題應(yīng)用:如圖,在等腰直角WBG4cB=9叫次部一點(diǎn),滿足PB
21、=PCr 且34c求證二 4cp152思路:構(gòu)造正方形ACBM可以構(gòu)造出等邊 APM從而造出上AP=4C*F=7 卜一一 一可得,再由于,故而得到從而得 證.例題拓展:若ACB=2ABC ABC不是等腰直角三角形,即,而是,其他條件不變,求證:/2=2/1.練習(xí)鞏固:在 平面直角坐標(biāo)系中,A (0,3 ),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0,當(dāng)A、B、C三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí),求點(diǎn)B、C的坐標(biāo).(1)、當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn):(2)、當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn):圖3圖4(3)、當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn):圖5圖6三、三垂直模型(弦圖模型).由 4AB昌BC*出 EC=AB-CDABC中,AB=AC /BAC=90 ;
22、 D為 AC中點(diǎn),AF± BD于 E,交由4AB草BCD1出ED=AE-CD1.例題應(yīng)用:例1.已知:如圖所示,在4BC于F,連接DF.求證:/ADBWCDF.由4AB昭BCDt出BC=BE+ED=AB+CD思路:方法一:過點(diǎn)C作MCl AC AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M.先證4AB隹ZXCAM 再證 zXCDF ACMFIP可.方法二:過點(diǎn) A作AML BC分別交BD BC于H M先證4AB由ZXCAF 再證 CDF AADFfP 可.方法三:過點(diǎn)A作AML BC分另1J交BD BC于H M先證Rt/XAMF RtzXBMH得出 HF/ AC.由M D分別為線段AG BC的中點(diǎn),可得MD為
23、zABC的中位線從而推出MD/ AB,又由于jBAC=90:故而MD_ AC MD_ HF,所以MM線段HF的中垂線.所以/ 1=/2.再由/ADB-/ 1=/ CD+/2 ,則 /ADB/CDF.AB=AC A附CN AF± BM于 E,交BC于F,連接NF.求證: /ADB/CDF. BM=AF+FN思路:同上題的方法一和方法二一樣 .拓展(2):其他條件不變,只是將 BMF口 FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn) P,求證:PM=PN PB= PF+AF.思路:同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1 ,已知AD/ BC, AABEn CDF是等腰直角三角形,/EA3/CDF90,AD=2
24、BC=5求四邊形AEDF勺面積.E圖2-1解析:如圖2-2,過點(diǎn)E、B分別作EN! DA, BM£ DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N、M. 過點(diǎn)F、C分別作FP± AD CQL AD交AD及AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) P、Q111題邊形 EAFD =s AED s Adf*AD EN 2 AD FP =2 *AD EN FPABEffi CDF是等腰直角三角形,; /EAB/CDF90 AE=AB DF=CD. ENJX DA BML DA FP,AR CQL AD, . / NMB/ ENAW FPDW DQC90 . ./ENAW MBA, / FDP玄 QCD. ENM ABM "
25、;P莊 DQC.NE=AM PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD/ BC CQ/ BM /BMN90: . .四邊形 BMQC1夕|形. . BC=MQc1 cS四邊形 eafd - - 2 3=3.; AD=2 BC=5 /. NE+PF=5-2=32圖2-22.練習(xí)鞏固:(1)、如圖(1) -1,直角梯形ABCg, AD/ BC, /ADC90: l是AD的垂直平分線,交AW點(diǎn)M以腰AB為邊做正方形 ABFE EPL 1于點(diǎn)P.求證:2EP+AD=2CD.(1) -2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2)、如圖,在直角梯形 ABCM, ZABC=90=, AD/ BQ AB=AC E是 AB的中點(diǎn),CEL BD.求證:BE=AD;求證:AC是線段ED的垂直平分線;ABCD等腰三角形嗎?請(qǐng)說明理由.四、手拉手模型1. AABE?HzACF均為等邊三角形2. ABDffi ACE均為等腰直角三角形精彩文檔D結(jié)論:(1) . AABFAAEC0(2) . Z BOE=BAE60 (“八字模型證明”)(3) .OA平分/EOFA拓展:條件:ABCffi CDE勻?yàn)榈冗吶切谓Y(jié)論:(1)、AD=BE (2)、/ACBWAOB (3)、 PCM等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF分/AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD (
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