空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)

1、空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)目 錄第一章 緒論1第二章 空間曲線的主法線曲面的曲率12.1 第一基本形式12.2 第二基本形式22.3 法曲率22.4 主曲率22.5 高斯曲率32.6 平均曲率3第三章 空間曲線的主法線曲面上的特殊曲線族33.1 漸近線33.1.1 空間曲線的主法線曲面的漸近線方程33.1.2 空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件43.2 曲率線5空間曲線的主法線曲面的曲率線方程53.22空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件53.3 測地線6空間曲線的主法線曲面的測地線方程6空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是半測地網(wǎng)的充要條件7空間曲線的主法線

2、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是測地網(wǎng)的充要條件7第四章 主法線曲面是常曲率或極小曲面的充要條件84.1 空間曲線的主法線曲面是常曲率曲面的充要條件84.2 空間曲線的主法線曲面是極小曲面的充要條件8第五章 特殊曲線的主法線曲面的性質(zhì)95.1 曲率和撓率均為常數(shù)的特殊曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)95.2正螺面的幾何性質(zhì)10致 謝：11參考文獻(xiàn)：12附錄：13第一章 緒論本文主要是對(duì)空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)化、全面化、深入化的研究。通過類比一般空間曲線、曲面的研究方法，將向量、微積分的思想融入到空間曲線的主法線曲面幾何性質(zhì)的研究中，從而更全面的分析和了解空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)。因此，對(duì)于主

3、法線曲面的幾何性質(zhì)的研究首先就是要了解其度量性質(zhì)如：曲面上曲線的長度、面積等等這些內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。了解了曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)就是要研究其幾何性質(zhì)包括曲面的彎曲程度。所以我們首先就是要給出它們的第一基本形式和第二基本形式，進(jìn)而給出它們的法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率等來刻畫曲面的彎曲程度。再通過研究曲面上的特殊曲線：漸近線、曲率線、測地線并給出參數(shù)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)、曲率線網(wǎng)、測地線網(wǎng)的充要條件等等來說明主法線曲面的特殊性質(zhì)。最后通過研究特殊曲線的主法線曲面來深化以上的性質(zhì)，使我們對(duì)于主法線曲面有更形象更深刻的認(rèn)識(shí)。第二章 空間曲線的主法線曲面的曲率2.1 第一基本形式 第一基本形式描述了曲面的度量性質(zhì)

4、，它可以使我們計(jì)算出曲面上曲線的長度與區(qū)域的面積。設(shè)任意空間曲線的自然參數(shù)表示為，為曲線上任意一點(diǎn)的主法向量，則曲線的主法曲面為。根據(jù)空間曲線的伏雷內(nèi)（）公式，即 ，則有，則曲面的第一基本量，。因此，空間曲線的主法線曲面的第一基本形式是：=。2.2 第二基本形式正如在研究空間曲線的時(shí)候我們不僅僅研究了弧長，還研究了曲線的曲率與撓率。對(duì)于曲面我們也不僅僅要研究該曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，即曲面的第一基本形式所確定的幾何性質(zhì)還應(yīng)該研究刻畫曲面離開切平面的彎曲程度的量。因此，我們引入第二基本形式來表示空間曲線的主法線曲面的彎曲性。曲面的單位法向量，則有第二基本量分別為：，因此，空間曲線的主法線曲面的第二基本形

5、式是：= 。2.3 法曲率由第二基本形式可以知道曲面在已知點(diǎn)處的彎曲性仍與方向相關(guān)，即沿著不同的方向曲面以不同的速度離開切平面。所以，我們用法曲率刻畫曲面上一點(diǎn)在方向上的彎曲性，則空間曲線的主法線曲面的法曲率為：2.4 主曲率曲面上已知點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的法曲率是一個(gè)隨著方向不斷變化的變量，在這些變化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知點(diǎn)的主曲率、。根據(jù)主曲率的計(jì)算公式。即有空間曲線的主法線曲面的主曲率計(jì)算公式為：解之得： ， 2.5 高斯曲率、是空間曲線的主法線曲面上的主法曲率，則高斯曲率是，它描述了空間曲線的主法線曲面在一點(diǎn)處的總的彎曲程度。當(dāng)曲面的高斯曲率是常數(shù)時(shí)，我們就稱此曲面是常曲率曲

6、面。不難發(fā)現(xiàn)，曲面上任意一點(diǎn)都有，則空間曲線的主法線曲面上的點(diǎn)不可能是橢圓點(diǎn)。同時(shí)，我們也可以知道空間曲線的主法線曲面是一類直紋面。特別地，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于曲面上任意一點(diǎn)時(shí)，有撓率，即空間曲線為平面曲線時(shí)，空間曲線的主法線曲面是可展曲面。2.6 平均曲率、是空間曲線的主法線曲面上的主法曲率，則平均曲率是：。它描述了空間曲線的主法線曲面在一點(diǎn)處的平均的彎曲程度。第三章 空間曲線的主法線曲面上的特殊曲線族3.1 漸近線 空間曲線的主法線曲面的漸近線方程空間曲面上漸近曲線的微分方程是。由空間曲線的主法線曲面的第二基本量可知，此類空間曲面上的漸近曲線的微分方程是，即 所得漸近線的微分方程為以及 （3.1）

7、。整理（3.1）可得：。令，則有，可以發(fā)現(xiàn)上式是一次線性非齊次方程。因此，根據(jù)常微分方程的常數(shù)變易法可得到（3.1）的通解為：。綜上所述，空間曲面上的漸近曲線的方程為（其中為常數(shù)），。特別地，空間曲線在它的主法線曲面上是漸進(jìn)曲線。因?yàn)榭臻g曲線的主法線曲面的法向量是，而曲線的主法向量是，故與的夾角是，則曲線上任意一點(diǎn)處沿切方向的法曲率，即空間曲線在它的主法線曲面上是漸進(jìn)曲線。 空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件由可知空間曲線的主法線曲面的漸近網(wǎng)的方程是，而曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的方程是，即或。因此，若該曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)，則必可推出。同樣的，若，則曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的方程與漸近網(wǎng)的方程相同，即

8、該曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)就是漸近網(wǎng)。由此，我們可以知道空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是，即，則可以得到，由的任意性可知：，由微分知識(shí)可知和均為常數(shù)。我們知道常見曲線一般螺線的一個(gè)等價(jià)定義為：曲率和撓率之比是一個(gè)定比，即（其中為常數(shù)）的空間曲線稱為一般螺線。故我們有以下結(jié)論：定理1 空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是為空間的一般螺線。3.2 曲率線 空間曲線的主法線曲面的曲率線方程空間曲面上曲率線的微分方程是。由空間曲線的主法線曲面的第一、二基本量可知，此類曲面上的曲率線的微分方程是，即特別地，由球面的第一、二基本量， ， ，可知，且、不同時(shí)為零，故球面上的每一點(diǎn)

9、都是圓點(diǎn)。同時(shí)，平面上每一點(diǎn)處都有，故平面上每一點(diǎn)都是平點(diǎn)。因此，我們可以知道平面上和球面上任意曲線都是曲率線。3.22空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件由可知空間曲線的主法線曲面的曲率線網(wǎng)的方程是：，而曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的方程是，即或。因此，若該曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)，則必可推出，。同樣的，若，則曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的方程與曲率線網(wǎng)的方程相同，即該曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)就是曲率線網(wǎng)。由此，我們可以知道空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件是，即，解得。我們知道的曲線是平面曲線。故此充要條件可以表述為：空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件是曲線為平面曲線。3.3 測

10、地線 空間曲線的主法線曲面的測地線方程因?yàn)榭臻g曲線的主法線曲面的第一基本量中，所以上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng),則根據(jù)劉維爾（）公式可以得到該曲面上測地線（）（其中為（）的自然參數(shù)）的一階微分方程為：。將2.1和2.2中的第一、二基本量帶入可得，特別地，我們可以知道空間曲線不可能為其主法線曲面上的測地線。由于空間曲面上的曲線是測地線的充分必要條件是曲線主法向量與曲面的法向量共線。所以，如果空間曲線是其主法線曲面上的測地線，則必有，并且有。而對(duì)于空間曲線的主法線曲面而言， ，故空間曲線不可能為其主法線曲面上的測地線?？臻g曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是半測地網(wǎng)的充要條件半測地坐標(biāo)網(wǎng)的定義為：曲面上的坐標(biāo)

11、網(wǎng)，其中一族是測地線，另一族是這族測地線的正交軌線。因?yàn)榭臻g曲線的主法線曲面上，即曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)，那么只要有-曲線是測地線，則-曲線必是其正交軌線，此時(shí)空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是半測地坐標(biāo)網(wǎng)。當(dāng)-曲線是測地線時(shí)，有-曲線的方程是。由得到，。并且由劉維爾公式可知，即與無關(guān)，則有。而反過來，如果時(shí)，那么-曲線使得，即。代入劉維爾公式可知其測地曲率為零，即-曲線是測地線。由此，我們可以知道：定理2 空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是半測地坐標(biāo)網(wǎng)的充要條件是?？臻g曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是測地網(wǎng)的充要條件如果空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是測地網(wǎng)，那么就是說-曲線和-曲線都是測地線。

12、又因?yàn)榭梢灾涝撉y坐標(biāo)網(wǎng)是測地網(wǎng)同時(shí)也必是半測地坐標(biāo)網(wǎng)，即該曲面的第一基本形式是=。-曲線的方程為，由得到。代入劉維爾公式可知其測地曲率為零，即-曲線是測地線。同樣的，-曲線的方程為，由得到，則代入劉維爾方程可得，即-曲線使測地線。由此可知：定理3 對(duì)于空間曲線的主法線曲面而言，若其曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是測地線網(wǎng)的充要條件與是半測地坐標(biāo)網(wǎng)的充要條件一致，即。第四章 主法線曲面是常曲率或極小曲面的充要條件4.1 空間曲線的主法線曲面是常曲率曲面的充要條件若空間曲線的主法線曲面是常曲率曲面，即高斯曲率是常數(shù)，則得方程式，解之得。在學(xué)習(xí)空間曲線的相關(guān)性質(zhì)時(shí)，我們知道撓率恒等于零的空間曲線是平面曲線。相反地，

13、對(duì)于的空間曲線而言，其所對(duì)應(yīng)的主法線曲面的高斯曲率是恒等于零的，即是常曲率曲面。即定理4 空間曲線的主法線曲面是常曲率曲面的充要條件是為空間的平面曲線，即。4.2 空間曲線的主法線曲面是極小曲面的充要條件定義1 當(dāng)曲面的平均曲率是零時(shí)，我們就稱此曲面是極小曲面。極小曲面刻畫的是過空間光滑閉曲線（C）的曲面S，使得（C）包圍的曲面區(qū)域面積最小。如果空間曲線的主法線曲面是極小曲面，那么必有，即。故，則和均為常數(shù)。在中我們也提到一般螺線的一個(gè)等價(jià)定義為：曲率和撓率之比是一個(gè)定比，即（其中為常數(shù)）的空間曲線稱為一般螺線。因此有以下結(jié)論：定理5 空間曲線的主法線曲面是極小曲面的充要條件是為空間的一般螺線

14、。第五章 特殊曲線的主法線曲面的性質(zhì)通過以上四章的研究，我們知道了一般曲線的主法線曲面的許多重要的幾何性質(zhì)。下面我們將通過討論特殊曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)來深化對(duì)主法線曲面的幾何性質(zhì)的理解。5.1 曲率和撓率均為常數(shù)的特殊曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)因?yàn)榍屎蛽下示鶠槌?shù)，則不妨設(shè)，（其中、為常數(shù)），那么此特殊曲線必定是一般螺線，并有和。同時(shí)，可以計(jì)算得第一基本量是：，第二基本量是：，故有第一、二基本形式分別為：=，= 。為了研究該類曲面的彎曲性，我們將進(jìn)一步研究它們的法曲率、主曲率、高斯曲率以及平均曲率。根據(jù)空間曲線的主法線曲面的主曲率計(jì)算公式可得： ，。則高斯曲率是，平均曲率是。由此可知這

15、一類的曲面都是極小曲面，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即該曲線是平面曲線時(shí)，該曲面才是可展曲面。下面我們將通過討論這類主法曲面上的特殊曲線漸近線、曲率線以及測地線來研究其幾何性質(zhì)。根據(jù)空間曲面上的漸近曲線的方程可得，（其中為常數(shù)），即曲面上的-曲線和-曲線都是漸近線，由此也可以推出其曲紋坐標(biāo)網(wǎng)一定是漸進(jìn)網(wǎng)。同樣的，根據(jù)空間曲面上的曲率線的方程可得：，解得：或。則由此結(jié)果可以知道平面曲線生成的主法線曲面上的所有曲線都是曲率線。如果此類曲面上的測地網(wǎng)是曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，那么就有，由的任意性可知必有均為零，即為直線的時(shí)候此類主法線曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)才是測地線網(wǎng)。5.2正螺面的幾何性質(zhì)正螺面是微分幾何曲面論中重要研究對(duì)象

16、，其本身具有很多重要的幾何性質(zhì)。我們下面就通過考察正螺面上某些特殊曲線的性質(zhì)，使得正螺面的一些特征更加形象生動(dòng)。正螺面的方程為：，則可以計(jì)算得第一、二基本量是，故有第一、二基本形式分別為：=，= 。從第二章的研究中可以知道，高斯曲率和平均曲率可以體現(xiàn)曲面的總體曲率，因此為了進(jìn)一步探究正螺面的曲率，我們首先求得主曲率和，則高斯曲率，平均曲率。由此可以說明正螺面是一個(gè)特殊的直紋面，而= ，即或是沿著直紋面的直母線。因?yàn)?，由主法線曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件可知，正螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)，則一族漸近線是，而另一族漸近線是，所以正螺面上一族漸近線是直線，另一族是圓柱螺線。并且由平均曲率可知正螺

17、面是極小曲面。致 謝：本文是在楊明升老師的親切關(guān)懷和精心指導(dǎo)下，在周圍同學(xué)的熱情幫助以及自己的不懈努力下完成的。首先我要感謝數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院四年來對(duì)我的培養(yǎng)，感謝學(xué)院老師和領(lǐng)導(dǎo)，是他們的諄諄教誨讓我在南京師范大學(xué)這樣好的學(xué)習(xí)實(shí)踐的平臺(tái)成長，使我在這四年中源源不斷的汲取新的知識(shí)，不斷進(jìn)步。然后我要感謝我的論文指導(dǎo)老師楊明升老師，他嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、淵博的知識(shí)、刻苦的鉆研精神，開闊了我的眼界，并且鞭策我不斷前進(jìn)使我受益匪淺。最后我要感謝我的家人，他們一直在我的背后默默的支持和鼓勵(lì)著我，讓我有了前進(jìn)的動(dòng)力。參考文獻(xiàn)：（1）陳維桓，微分幾何初步，北京大學(xué)出版社，1990.（2）梅向明、黃敬之，微分幾何，第四版，高等教育出版社，2008.（3）陳省身、陳維桓，微分幾何講義，北京大學(xué)出版社，1983.（4）王幼寧，微分幾何講義，北京師范大學(xué)出版社，2003.（5）孟道驥、梁科，微分幾何，科技出版社，1999.（6）蘇步青、胡和生等，微分幾何，人民教育出版社，1979.（7）吳大任，微分幾何，第三版，高等教育出版社，1979.（8）虞言林、郝鳳歧，微分幾何講義，高等教育出版社，1989（9）王申懷、劉繼志，微分幾何，北京師范大學(xué)出版社，1988.（10）宋鴻藻，微分幾何及其應(yīng)用， 河南大學(xué)出版社, 1993.（11）姜國英，黃宣國，微分幾何一百例，高等教育出版社，1992.（12）.