第五章選修4課程的定位

1、第五章 選修4課程的定位第一節(jié) 選修系列4課程的作用和選擇性 一、選修系列4課程的作用對于系列4的定位，“標準”中已講得很清楚：系列4所涉及的內(nèi)容都是基礎(chǔ)性的數(shù)學內(nèi)容，不僅應鼓勵那些希望在理工、經(jīng)濟等方面發(fā)展的學生積極選修，同時也應鼓勵那些希望在人文、社會科學方面發(fā)展的學生選修這些課程。在“標準”中也已指出其作用是：為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生設置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學的基礎(chǔ)性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學思想。有些專題是中學課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是通過典型實例介紹數(shù)學的一些應用方法。這些專題的學習有利于學生的終身發(fā)展，有利于擴展學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值

2、、應用價值、文化價值的認識，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎(chǔ)，提高應用意識。專題力求深入淺出、通俗易懂，進一步提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，讓學生掌握和體會一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會數(shù)學的作用，發(fā)展應用意識。另外，“標準”對系列4課程的建設、教學方式、評價方式等，都給出了具體的說明，這里就不一一重復了。在系列4教學中應該注意的幾個問題是：系列4是基礎(chǔ)，系列4不是學習大學數(shù)學的預備課程，也不是為將來準備進入數(shù)學系學習的學生做準備。 在系列4的教學中，應該把重點放在介紹基本的數(shù)學思想。 在系列4的教學中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀?，用具體來反映一般，用直觀來反映

3、抽象。系列4課程是進入高考的課程，學習這部分課程對于提高數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)學生解決問題的能力和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣是十分有用的。各學?？梢园凑崭髯缘那闆r有選擇性地逐步開設這些專題。二、選擇性1. 選擇性與系統(tǒng)性 數(shù)學課程都是按照一定的體系來設計的，而體系又是根據(jù)不同的原則設計的，設計的原則不同，得到的體系就不同，課程標準設計的一個重要的原則就是選擇性，所以，在理解整個高中數(shù)學課程時，應該對選擇性有一個充分的認識。在高中數(shù)學課程中，如前面所說，有必修課程、選修系列1、2課程，還有選修系列3、4課程，每一部分課程都有他獨立的體系。必修課程、選修1、2系列課程的主要內(nèi)容都是比較傳統(tǒng)的數(shù)學課程內(nèi)容，在某

4、些地方也有一些變化，例如，增加了算法等內(nèi)容?？偟膩碚f，這些內(nèi)容對教師來說沒有太大的困難，前面已經(jīng)從不同角度分析了應注意的方面。例如，抓住課程的整體性，抓住課程的主線，抓住課程的本質(zhì)，抓住通性通法，等等。必修課程、選修系列1、2課程的內(nèi)容大體上也可以按照代數(shù)、幾何、分析、統(tǒng)計概率進行分類。例如，立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量、空間向量與立體幾何等等都是屬于幾何的內(nèi)容。函數(shù)及其相關(guān)內(nèi)容是屬于分析的范疇，等等。這樣的一種分類可以與大學課程有機的接軌。選修系列3、4課程可以看作上述分類的一種延續(xù)。例如，有關(guān)代數(shù)的專題有：三等分角與數(shù)域擴充，對稱與群，信息安全與密碼，不等式選講，坐標系與參數(shù)方程，

5、初等數(shù)論初步，優(yōu)選法與試驗設計初步，開關(guān)電路與布爾代數(shù)等。有關(guān)幾何的專題有：球面上的幾何，歐拉公式與閉曲面分類，矩陣與變換，幾何證明選講，統(tǒng)籌法與圖論初步等。有關(guān)分析的專題有：數(shù)列與差分等。有關(guān)統(tǒng)計概率的專題有：風險與決策等。這樣的分類不一定非常準確，只是一個參考。數(shù)學史選講是一個特殊的專題。當然還有其它的分類原則，例如，可以按照連續(xù)數(shù)學和離散數(shù)學來分類；可以按照純數(shù)學和應用數(shù)學來分類；等等。不同的分類形成不同的體系，其目的只有一個就是希望從不同的角度加深對于數(shù)學的認識。就數(shù)學內(nèi)容本身來說，有的有先后順序關(guān)系，有的沒有先后順序關(guān)系。例如，我們只有引入了自然數(shù)，才能介紹自然數(shù)的加、減、乘等運算，

6、它們之間有著嚴格的順序關(guān)系。然而，對于有些數(shù)學內(nèi)容而言，目的不同決定不同的順序。例如，極限理論和導數(shù)及其應用就沒有先后的順序關(guān)系。可以先講極限理論，然后，用極限理論去認識一種重要、特殊的極限導數(shù)，現(xiàn)在，數(shù)學系課程中的數(shù)學分析就是這樣安排的；我們也可以先從重要、特殊的極限導數(shù)入手，理解這種特殊極限的意義、作用、應用，把它作為認識極限理論的一個階梯?！皹藴省笔前春笳叩姆绞桨才诺摹Ｅ帕薪M合和概率也沒有先后之分。不同的順序會有不同的講授和教材編寫方式，可以先講代數(shù)，也可以先講幾何，當然，要符合學生的認知規(guī)律。 數(shù)學教材是按一定的順序編寫的，學習數(shù)學也是按一定的先后順序進行學習，所以在編寫教材時要注意這

7、樣的關(guān)系。我們在學習數(shù)學時，教科書給我們規(guī)定了一定的順序，我們應該很好的理解這種順序，以及它所反映的知識之間的邏輯關(guān)系。但是，我們應該特別注意的是，教材中知識之間的邏輯關(guān)系是在一定原則、前提下確定的，選用不同的原則會有不同的邏輯關(guān)系，我們再通過一個例子加以說明。例如，刻畫直角坐標系中的直線。一點和一個方向可以唯一確定一條直線，如何刻畫直線的方向，即直線與x軸的交角。我們可以采取幾種方法來刻畫：可以用三角函數(shù)來刻畫，可以用向量來刻畫，還可以用導數(shù)思想變化率來刻畫。按照教材所安排的內(nèi)容順序，可以采取不同的方法來刻畫直線的斜率。如果在此之前我們學過了三角函數(shù)，則可以用正切來刻畫斜率；如果在此之前我們

8、學習了向量，則可以用向量來刻畫直線的方向；我們也可以利用導數(shù)思想變化率，直接刻畫直線的方向。但是，三角函數(shù)，向量，導數(shù)，這三個知識本身沒有必然的邏輯關(guān)系。通過這個例子，應該引起我們的思考。我們在講授一個知識點時，應該引導學生去考慮這個知識點與我們所學過的知識之間的聯(lián)系。就上面這個例子來說，對于直線斜率的理解，可以通過三角函數(shù)、向量和導數(shù)這三個角度去理解。只有這樣，我們才能更好的認識直線的斜率，更好的刻畫直線的斜率。無論是學生還是教師，在學習和講授高中數(shù)學課程時，都需要經(jīng)常的站在整個高中數(shù)學的角度，站在整個數(shù)學的高度，來看待我們所學習和教授的每一個知識點。而不是把本身相互聯(lián)系的知識割裂開來。2.

9、 選擇性與公平性確定選擇性的一個基本的出發(fā)點是培養(yǎng)學生的興趣，我們應該從不同的方面提供培養(yǎng)學生興趣的途徑。另一個基本的出發(fā)點是開闊學生的視野，作為學習者，學習知識是重要的。同樣的，開闊視野、增長見識也是不可忽視的，有時，這些是無形的，是在不經(jīng)意中積淀的，但是，它們的作用確是長久的。選修課程為學生開闊視野、增長見識提供了一個開闊的空間。作為數(shù)學教育工作者，我們希望能吸引更多的人喜歡數(shù)學，希望數(shù)學能為學生的發(fā)展提供幫助，這應該是數(shù)學教育工作者的最高追求。我們應當想方設法讓數(shù)學課程更有吸引力，也希望學生努力發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)自己對數(shù)學的興趣。在以往的數(shù)學課程內(nèi)容中，在一定程度上忽視了培養(yǎng)學生的興趣、開拓學生

10、的視野。不同人會有不同的興趣，有人喜歡思考，有人喜歡動手；有人喜歡“理科”，有人喜歡“工科”，有人喜歡“文史科”，有人喜歡“醫(yī)科”；有人喜歡理論，有人喜歡應用；有人喜歡“電影”，有人喜歡“戲曲”，等等。數(shù)學課程應該成為培養(yǎng)學生興趣的載體，為不同的學生服務?！芭d趣”是成功的最持久的動力，有一次，當丁肇中教授被記者問及獲得諾貝爾獎的“秘訣”時，只說了兩個字“興趣”。興趣不僅促進人的成功，而且，她會給人們的生活帶來快樂。一旦學生對某些專題有興趣，他們就會深入這部分專題的學習，難和容易是相對的，“鉆進去了”難的東西也會變?nèi)菀琢?，“鉆不進去”容易的東西也是難的。例如，有人認為數(shù)學建模很難，但是有些人就認

11、為不難，關(guān)鍵還是興趣，有的學生寫的數(shù)學建模論文連教師都看不明白，覺得有困難，可是學生自己認為很簡單，這就是因為他對于自己研究的東西感興趣，就不覺得難了，而教師不感興趣所以就會覺得很難。公平也是相對的，沒有絕對的公平，我們應該在培養(yǎng)學生興趣、開闊學生視野這個大前提下來考慮公平性。教師應制定自己的“專業(yè)發(fā)展計劃”，其中一個很重要的內(nèi)容是提高數(shù)學素養(yǎng)，通過開設選修系列3、4這些課程，是掌握這些課程最好的辦法，經(jīng)歷這個過程，對數(shù)學素養(yǎng)的提高是非常重要的。當然教師可以制定一個計劃來逐步的開設這些課程。例如，第一年，可以開設一個自己熟悉的專題，同時，選擇一個學習的專題，制定一個學習計劃，包括：專題結(jié)構(gòu)、內(nèi)

12、容理解、問題思考、習題解答、知識拓展、讀書報告，以及學生可能出現(xiàn)的問題，等等。扎扎實實的掌握一個專題，同時，學會學習一個自己不熟悉內(nèi)容的方法和步驟。第二年，開設自己學習的專題，積累經(jīng)驗；同時再學習一個新專題。如此下去，逐漸形成自己的特色。學校應制定“學校選課發(fā)展計劃”，根據(jù)不同教師的特點、愛好，分工合作，可以組織相同專題備課小組。經(jīng)過23年的建設，逐漸成本校選課特色。利用校外的資源，建立校際合作關(guān)系，應該是“學校選課發(fā)展計劃”的重要組成部分。我們希望省、地、縣各級教育局、教研室積極促進建立校際合作，制定有利于建立校際合作的機制。利用網(wǎng)絡資源，建立交流網(wǎng)絡平臺也應該納入“學校選課發(fā)展計劃”。現(xiàn)在

13、，很多省、市都建立了網(wǎng)絡資源平臺，很多出版社也建立了資源庫，充分地利用這些資源，對學校選課發(fā)展有重要意義。下面我們按專題介紹：背景，知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位，重、難點，教學要求和參考文獻。第二節(jié) 各專題的定位2.1 幾何證明選講一、背景 幾何課程主要有平面幾何、解析幾何、向量幾何、仿射幾何、微分幾何、拓撲學等分支。這些幾何課程不光是研究的對象，有的還是研究幾何的方法，例如，解析幾何的研究方法、向量幾何的研究方法。在中學我們還用綜合幾何的方法（通常稱綜合法）來研究幾何，即綜合所學的幾何知識（公理、定理、推論等）來解決問題。本專題希望進一步介紹綜合幾何的方法。幾何類課程在高中數(shù)學課程中占有非常重要的地位

14、。它能幫助學生逐步形成空間想象能力；運用直觀的圖形語言刻畫、描述、洞察、論證問題的能力和邏輯推理能力。這些能力不僅僅是在幾何課程中，而是在整個高中數(shù)學課程中都是非常重要的能力。在“幾何證明選講”中，主要選擇了兩個內(nèi)容，一個是直線與圓、圓與四邊形的位置關(guān)系，利用相似來討論它們之間的關(guān)系；另一個是圓錐曲線，利用綜合幾何的方法來探索圓錐曲線的性質(zhì)。希爾伯特、庫朗、阿諾德等一批大數(shù)學家認為：這些內(nèi)容是利用綜合幾何的方法討論幾何問題的很好的載體，他們建議把這些內(nèi)容放到中學數(shù)學課程中。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖 2內(nèi)容定位本專題的第一部分內(nèi)容，在過去傳統(tǒng)的中學教材中可以找到。盡管有些定理很重要，

15、但在這里我們側(cè)重的不是知識點，而是證明的思想和方法。要想很好地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，需要選擇典型的例題，強調(diào)通性通法。題目本身要有意義，證明的思想清楚，方法最好有一般性。題目不應太難，也不應該太繁，例如，有的題目的解法不是很直接，常常需要添加多條輔助線才能解決，像這樣的問題應該盡量避免出現(xiàn)。更不要出現(xiàn)偏題、怪題。幾何的證明題有很多，本專題不是讓學生去做大量的幾何題，只是希望通過幾何圖形這個載體，提高學生推理論證的能力。學生演繹論證能力的提高，不是短時間就能完成的，也不是僅僅靠作幾何題來培養(yǎng)的，和傳統(tǒng)教材比，我們要把握好“度”。本專題的第二部分內(nèi)容，主要培養(yǎng)學生空間想象能力和演繹推理的能力。并

16、且需要把這兩者有機的結(jié)合起來，好的幾何直觀可以幫助我們形成邏輯推理的思路。例如，把兩個球放入圓柱內(nèi)，使它們位于平面的兩側(cè)，且每一個球既與圓柱相切，又與平面相切,我們把這樣的球稱為“焦球”(又稱Dandelin球).圖18 c才如圖18所示，這兩個球與圓柱面切于二圓和，平面與兩球分別切于兩點和，與圓柱面相交的曲線.為，在上取任意一點，連接.過點的圓柱的母線與兩圓、交于兩點.由于是一個球過點的兩條切線，所以有 .同理，.由此得出.由圓柱面的對稱性知與曲線上選擇的點位置無關(guān)(實際上就是兩圓所在兩個平行平面的距離).因此曲線上的所有點到點距離之和都相等.即 常數(shù) .我們希望通過本專題的學習，能夠進一步

17、養(yǎng)成學生用直觀的圖形語言去描述、刻畫、洞察和論證問題的習慣。建議教師幫助學生養(yǎng)成這樣一種習慣，并把這種習慣帶到學習數(shù)學知識的過程中。在這部分的教學中，是從問題出發(fā)，最終探索出結(jié)論。需要不斷地提出問題，需要自己給出定義、定理，并由自己給出證明。這種探索式學習方式是人們研究問題最自然的方式，教師應該給予引導，鼓勵學生提出問題、主動地去思考和解決問題、查閱資料。如果學生一時做不出來，可以暫時放下，在以后的學習過程中，再不斷地完善，使得教師的教學和學生的學習都有較大的拓展空間。三、重、難點重點：通過直線與圓的位置關(guān)系的討論，平面與柱面、錐面位置關(guān)系的討論，體會運用綜合幾何的思想方法，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和

18、解決幾何問題。 難點： 運用綜合幾何的方法討論圓錐曲線性質(zhì)。四、教學要求1在教學中，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)并提出問題，在此基礎(chǔ)上分析和解決問題。2在教學中，教師應注意培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力，并把它們用于討論問題的過程中。3在教學中，教師應注意把握合情推理和演繹推理的有機聯(lián)系，幫助學生形成完整的思維方式。五、文獻參考1 D. 希爾伯特 和 S. 康福森：直觀幾何，王聯(lián)芳譯，人民教育出版社，19592 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學，左平等譯，復旦大學出版社，20053 項武義：基礎(chǔ)幾何學，人民教育出版社，20044 F. 阿諾德：為什么我們要學習數(shù)學關(guān)于這一點數(shù)學家是怎么想的，

19、數(shù)學譯林，第21卷 第1期2.2 矩陣與變換一、背景變換是函數(shù)思想的拓展，其思想本質(zhì)是映射的思想。通過“矩陣與變換”的學習，可以使我們更好地理解變換的思想，可以用變換的觀點來看待數(shù)學中的有關(guān)內(nèi)容，比如，平面中幾何圖形的變換、求解方程組、變換的不變量等。在大學的學習中，線性代數(shù)（高等代數(shù)）是數(shù)學系的基礎(chǔ)課程，也是理工科學生的必修課程，矩陣是線性代數(shù)的核心概念。無論是在數(shù)學中、還是在自然科學、工程技術(shù)中，矩陣作為線性變換的基本表示工具，有著廣泛的應用。學習矩陣有兩種處理方法，一種是作為代數(shù)的研究對象，強調(diào)它的“運算”規(guī)律。另一種是強調(diào)矩陣的幾何背景，作為幾何變換的表示，強調(diào)矩陣和矩陣相關(guān)概念的幾何

20、意義，二維空間中的變換可以用矩陣表示，我們可以從幾何變換的角度來學習矩陣。這種用幾何的觀點來研究矩陣的方式既便于學生的理解，又不失一般性。本專題采取了后一種處理方式，以二維矩陣為載體，介紹了有關(guān)矩陣的知識。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）通過初中的幾何學習，已經(jīng)對于對稱變換、軸對稱變換、中心對稱變換（旋轉(zhuǎn)180度的旋轉(zhuǎn)變換）、平移變換、放縮變換等有了一定的了解。從本質(zhì)上來講，這些變換都是把平面上的一個點變成平面上的另一個點。2）本專題中，我們引入了一種反映變換的代數(shù)形式二階矩陣。二階矩陣作用在一個向量上可以得到一個新的向量。例如，第一個例子是否要刪去，請考慮，因為沒有得到新的

21、向量。 可以看出，二階矩陣把平面上的每一個點都變成唯一的點。它是平面到平面的映射。 3）用矩陣來刻畫一些幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉(zhuǎn)、投影等。這些矩陣都不復雜，應該讓學生通過操作來確認這些矩陣變換的幾何意義。例如，表示向量在y軸上的投影。表示向量關(guān)于y軸對稱。 4）我們還應讓學生認識到，矩陣表示的是線性變換，它把直線變成直線。5）變換的復合（合成），即連續(xù)實施兩個線性變換相當于一個新的線性變換。例如，我們可以先旋轉(zhuǎn)再平移，也可以先平移再旋轉(zhuǎn)。對應這種變換的復合可以用矩陣的運算來表示，即矩陣的乘法運算。6）矩陣的乘法不滿足交換律，即當連續(xù)實施一系列變換時，改變變換的次序?qū)⒏淖冏儞Q的結(jié)果。例如

22、，表示點（a,b）先逆時針轉(zhuǎn)90度，再關(guān)于y軸反射，得到的點為：（b，a）；而表示點（a,b）先關(guān)于y軸反射，再逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到的點為：（-b,-a）。7）如果變換是一一對應的，變換就有逆變換，這種逆變換對應著矩陣的逆矩陣。但是，投影變換沒有逆變換。例如，的逆變換就是再作一次關(guān)于y軸的反射。用矩陣表示即為：。 變換的逆和矩陣的逆本質(zhì)上體現(xiàn)了一一對應的思想。8）在本專題中，我們還用變換的思想來認識二元一次方程組。 例如，方程組，可以用矩陣表示為： 。解方程的問題就變成：已知變換和某個點在這變換下的像，求該點（原像）的問題。9）要認識變換中的不變量特征向量，以及矩陣的特征值和特征向量的概念，

23、并用特征向量解決一些實際問題。 可以看出，函數(shù)映射的思想是貫穿本專題始終的重要思想。三、重、難點重點：變換是數(shù)學中一個基本的概念，它是指平面中的點到平面的映射，建立這個概念是學習本專題的重點之一。認識矩陣和相關(guān)概念的幾何意義是本專題的另一個重點，例如，矩陣的特征向量的幾何意義是指某向量在矩陣作用下，其變換的像與該向量是平行的。 難點： 用矩陣來表示線性方程組 矩陣的特征向量四、教學要求1在本專題的教學中，教師應該強調(diào)矩陣及相關(guān)概念的幾何意義，這也是貫穿始終的思想。2矩陣是一個比較抽象的數(shù)學概念，建議教師通過具體的實例來介紹矩陣，通過學生熟悉的幾何變換來引出矩陣表示。五、文獻參考1 COMAP：

24、數(shù)學的原理與實踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，1998 2 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組：高等代數(shù)，高等教育出版社，19992.3 數(shù)列與差分一、背景數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。有時候也把它稱為“離散”的函數(shù)。它不僅是數(shù)學中一種重要的研究對象，也是研究數(shù)學問題的一種重要的方法和工具。這種方法我們常常稱之為離散的方法。從20世紀中期以后，科學技術(shù)迅猛發(fā)展，科學技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學提出了越來越多的要求，不僅希望數(shù)學能夠證明一些規(guī)律的存在性，而且希望能夠把這些規(guī)律構(gòu)造出來直接為社會發(fā)展服務。例如，微分方程是反映自然規(guī)律的重要的數(shù)學模型，在實際中，不僅需要用微分方程來刻畫規(guī)律，而且需要

25、求出它的滿足一定精度的近似解，利用這些近似解直接為實際服務。離散的思想方法對于求近似解是一種基本的思想方法，它在解決實際問題中將發(fā)揮越來越大的作用。 數(shù)列是特殊的函數(shù)，是函數(shù)的離散形式。差分是微分的離散形式，差分方程是微分方程的離散形式，我們知道導數(shù)與微分在微積分中的重要地位，導數(shù)和微分方程有著廣泛的應用，自然的，差分和差分方程就變得非常重要了。從另一方面說，差分和差分方程比導數(shù)和微分方程更容易理解，而且可以通過計算或利用計算機求出它們的近似解。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）結(jié)合函數(shù)（數(shù)列）的圖像，給出數(shù)列的 “差分”概念。2）利用一階差分和二階差分的特點來判斷數(shù)列的增減性

26、、凹凸性。3）對于差分方程，只要給定了初始條件，利用“迭代法”不難給出方程的數(shù)值解。雖然用迭代法解方程并不難，但這是數(shù)學中的一個既基本又重要的方法，教師應給予充分的關(guān)注，務必使學生掌握。4）對于一階線性差分方程，學生應結(jié)合過去學過的等差數(shù)列和等比數(shù)列來認識它的解。在這里，非齊次方程的通解、特解與齊次方程通解的關(guān)系，是難點。5）一階差分方程組的問題和一階差分方程的問題是類似的，只是對一階差分方程組的要求更低。三、重、難點重點：對差分的理解，差分在研究數(shù)列變化中的作用齊次方程中通解的作用和非齊次方程中特解的作用迭代法在解差分方程中的作用難點： 齊次方程通解非齊次方程中的通解的表示 差分方程的應用，

27、難在如何根據(jù)實際問題建立差分方程并根據(jù)實際問題的背景討論解的意義。四、教學要求對于中學生來說，學習“數(shù)列與差分”不僅是因為這部分內(nèi)容本身很有用，而且有助于學生理解導數(shù)與微分。有助于今后學習微分方程等知識。教師有必要幫助學生體會差分的作用，以及它給我們帶來的好處。教師在教學中，不應該追求差分方程的系統(tǒng)性，而應該著重介紹差分方程的基本思想。突出函數(shù)的思想是貫穿在本專題始終的基本思想。在教學過程中，教師應當幫助學生梳理學過的有關(guān)函數(shù)的知識、技能和思想方法。這樣可以有效地提學生對于函數(shù)思想的認識。這樣做也可以提高對這部分內(nèi)容的理解。五、文獻參考 1 COMAP：數(shù)學的原理與實踐，申大維等譯，高等教育出

28、版社和施普林格出版社，19982.4 坐標系與參數(shù)方程一、背景1637年6月8日，笛卡兒的方法論出版，這一天就是解析幾何的誕生日。笛卡兒是一位偉大的數(shù)學家，也是一位偉大的哲學家。笛卡兒把物質(zhì)運動的概念作為科學的哲學基礎(chǔ)，從而把運動帶進了數(shù)學。在笛卡兒之前，常量數(shù)學占主導地位，在笛卡兒之后，運動進入了數(shù)學和其他科學，辯證的思想進入了數(shù)學。正如恩格斯所評論的：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學?！苯馕鰩缀蔚幕舅枷胧菙?shù)形結(jié)合，坐標是數(shù)形結(jié)合的橋梁，坐標方法建立了方程與曲線之間的聯(lián)系。因此，坐標方法，以及方程與曲線的思想是解析幾何的核心內(nèi)容。坐標方法

29、，即在引進坐標系之后，平面上的點P可以與一對有序?qū)崝?shù)之間建立一一對應.方程與曲線的思想，即未知數(shù)表示的某個代數(shù)方程可以看成一條曲線；反之，一條曲線可以用曲線上任意點坐標之間的方程關(guān)系來表示。 解析幾何的坐標方法、曲線與方程思想是本專題的核心內(nèi)容，希望學生通過本專題的學習進一步體會解析幾何數(shù)形結(jié)合的基本思想。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位1）本專題是中學的傳統(tǒng)內(nèi)容，在內(nèi)容上沒有太大的變化。2）建立坐標系和在坐標系中建立曲線與方程的關(guān)系，這是解析幾何的兩個核心內(nèi)容，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的重要橋梁，也是數(shù)學中的重要思想。3）在這部分，我們引入了另外幾種坐標系極坐標系、柱坐標系、球坐標系等

30、等，并討論了一些簡單曲線在這些坐標系中的方程。學生應該明白引入這些坐標系的好處。并能在這些坐標系之間進行轉(zhuǎn)換。4）本專題的第二部分討論的是參數(shù)方程。在許多情形，參數(shù)方程的引入是十分自然的，學生應體會參數(shù)方程的好處以及參數(shù)的直觀意義，學會參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化。5）與傳統(tǒng)教材內(nèi)容相比，在這里我們更加強調(diào)應用，例如，擺線的應用。三、重、難點重點：不同坐標系的作用坐標系的選擇，同一曲線在不同坐標系下的表示，以及曲線與方程的關(guān)系難點：坐標系的選擇，以及在實際問題中的應用四、教學要求1在教學中，教師應該采取類比的方法教授各種不同的坐標系。2本專題可以拓展的空間是很大的，教師可以鼓勵學生收集相關(guān)的資料，

31、拓寬視野，又可以鼓勵學生對自己感興趣的問題進行積極的探索。2.5 不等式選講一、背景1. 利用不等式和不等式組可以刻畫數(shù)學中的某些“區(qū)域”。例如，用不等式組就可以表示下圖所示的平面區(qū)域。2. 每一個好的不等式都有重要的數(shù)學背景，特別是重要的幾何背景。應該幫助學生認真體會和認識不等式的幾何背景，以及這些幾何背景在證明不等式的過程中發(fā)揮的作用。例如，基本不等式2ab,它有著重要的幾何背景。如圖所示： 令AF=a,BF=b,則AB2=a2+b2,而S正方形ABCD4SABF即，a2+b24×a×b，所以，a2+b22ab，當AF=BF時，正方形EFGH縮為一點，S正方形ABCD=

32、4SABF 3. 不等式的證明也提高學生邏輯思維能力的有利載體。通過綜合法、分析法、反證法、放縮法等方法進行不等式的證明，不但可以提高學生的邏輯思維能力，掌握證明的基本方法，而且可以進一步加深對于不等關(guān)系和不等式的理解。4. 對于教師來說，應該了解不等式在將來的學習中，會發(fā)揮重要的作用。例如，不等式是描述度量空間的工具。度量空間（x,d），其中d是一個二元非負實值函數(shù)，d滿足三個條件：一是反身性，x=y當且僅當d(x,y)=0；二是對稱性，d(x,y)=d(y,x)；第三個條件就是以不等式的形式給出的，即d(x,y)+d(y,z) d(x,z)，通常稱之為三角不等式。又例如，在解決極限問題時，

33、最經(jīng)常使用的方法就是利用不等式的性質(zhì)進行“放大”和“縮小”，估計無窮小量的級別。好的不等式都是有重要背景的，對于這些教師應該心中有數(shù)，不必在教學中體現(xiàn)。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位應該認識到：恒等關(guān)系是數(shù)學中的一種重要關(guān)系，不等關(guān)系也是數(shù)學中一種重要關(guān)系，并且以不等式的形式滲透在數(shù)學的各個學科。在不等式的學習中，由運算思想所體現(xiàn)的恒等變換的能力，是一種重要的邏輯推理的能力，提高這種能力是學習不等式的基本定位之一。但是，形式化的演算能力并不能等同于理解，因此，要避免過分繁難的、人為地制造出許多無意義的不等式，避免過分地追求解題的技巧訓練。在本專題中，應強調(diào)的是解決不等式問題的通

34、性通法，通過典型的例題，能對比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等，有所體會并能初步加以應用。好的不等式都有著重要的數(shù)學背景。例如，許多不等式有其幾何背景。我們希望學生對重要的不等式，不只停留在背誦記憶的層次上，而是應該認清其背景，特別是其幾何背景。三、重、難點重點：幾個基本不等式不等式的基本證明方法難點： 不等式的基本證明方法 排序不等式 不等式的應用四、教學要求教師在教學中應該注意的是，形式化的演算能力并不能等同于理解，在過去的不等式教學中，有一種過分繁難的傾向，人為地制造出許多無意義的不等式，過分地追求解題的技巧，這不是我們在本專題中所倡導的。在本專題中，強調(diào)的應是解決不等

35、式問題的通性通法，通過典型的證明不等式的例題，能對比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等基本的不等式的證明方法，有所體會并能初步加以應用。在教學中，不僅要通過不等式的數(shù)學背景，而且要從本質(zhì)上幫助學生掌握重要的、好的不等式，而不是形式的記憶和生搬硬套。教師還應該注意：如何幫助學生總結(jié)、概括高中階段有關(guān)不等關(guān)系的內(nèi)容，并能寫出一個好的讀書報告進行交流，總結(jié)在不等關(guān)系學習中的重要的數(shù)學思想和方法。2.6 初等數(shù)論初步一、背景 數(shù)論是一門古老而又悠久的數(shù)學學科。它的一個特點是，問題本身很簡單、很容易被人理解，但解決起來卻很難。例如，費馬大定理，哥德巴赫猜想等。數(shù)論研究的是數(shù)學中最基本的概

36、念：“整數(shù)”。表面看好像很容易，但由于沒有太多的幾何背景，完全要靠演繹推理，實際上，對學生是有難度的。例如，除法是學生從小學就熟悉的運算，但抽象地討論帶余除法，還是會給學生造成困難。學習數(shù)論可以很好地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和抽象概括能力。 “初等數(shù)論初步”主要圍繞除法展開，討論整除和帶余除法。 1. 我們需要表示整數(shù)，于是就出現(xiàn)了進制，例如，十進制（符號、位值），二進制，十進制和二進制的換算等。 2. 有了除法，人們就會考慮是否除盡的問題，如果能夠除盡，隨之就出現(xiàn)了因子、素因子、互素等相關(guān)的概念，由此引出了算數(shù)基本定理。 如果不能除盡，那么就會出現(xiàn)商和余數(shù)等相關(guān)概念。于是就出現(xiàn)了一種很重要的分

37、類方法，即用余數(shù)對整數(shù)進行分類，具有相同的余數(shù)（同余）的整數(shù)歸為一類。3. 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以求出兩個以上整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)。 4. 在數(shù)論中提出了很多不定方程、同余方程組等問題，這樣就產(chǎn)生了很多數(shù)學的分支，例如，代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何。5. 數(shù)論是數(shù)學發(fā)展的源泉，例如，在信息安全中，數(shù)論起了基本的作用。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位 1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位初等數(shù)論的知識是中學教師比較熟悉的。但是在以往的教學活動中，主要是強調(diào)數(shù)論知識在數(shù)學競賽中的技巧，本專題的定位一定不是挑選少數(shù)人去培訓，去參加競賽。而是希望學習這個專題的學生，在數(shù)學的思想和方法上都有所提高、有所收獲。本專題應該教會學生從

38、具體到抽象地來理解所學的內(nèi)容。即，讓學生有意識地通過具體的例子來理解一般的概念和定理。本專題應該在訓練學生的演繹推理、表達論證上下功夫。這里的定理證明都不長，但要把問題說清楚，并不容易。教師應在這方面加強對學生的要求。本專題中出現(xiàn)的一些證明方法都是數(shù)學上最基本的方法。例如，證明素數(shù)有無窮多個的反證法、證明孫子定理的插值法等。在本專題的學習中，最重要的是讓學生掌握這些方法，體會這些方法的意義。一定不要去追求技巧，做難題、怪題。（原文中的內(nèi)容定位更多的是關(guān)于教學要求的，而原來的教學要求作為內(nèi)容定更為恰當些，所以更換了一下）三、重、難點重點及難點：幾個基本概念：整除、素數(shù)、互素、同余、同余方程輾轉(zhuǎn)除

39、法及其應用求解同余方程的基本方法 四、教學要求本專題的內(nèi)容分為兩個主要的部分：帶余除法和同余。在帶余除法這部分，要介紹算術(shù)基本定理。素數(shù)是數(shù)論的一個核心概念，是學生學習的重點。有了它才能很好地理解整除的性質(zhì)，理解算術(shù)基本定理。輾轉(zhuǎn)相除法也是一個重點，利用它可以求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，并能用兩個數(shù)的線性組合來表示其最大公因數(shù)。在這里，要區(qū)分素數(shù)和互素的不同，后者談的是兩個數(shù)之間的關(guān)系，并不要求它們是素數(shù)。同余反映了整數(shù)之間的一種新的關(guān)系。同余概念是本專題的又一個重點。同余類為我們提供了一種新的運算平臺。教師應幫助學生運用類比的思想去探索同余運算與一般運算的異同。同余方程是一種新的方程形式。教師應引

40、導學生采用類比的方式，把我們學過的方程與同余方程比較。探索它們在概念、求解等方面是如何體現(xiàn)數(shù)學思想的。例如，求解一元二次方程的主要方法是配方和降冪，求解二元一次方程組的主要方法是消元。那么，在同余方程中，反映的是哪種數(shù)學思想呢？同余方程組的求解是本專題的重點內(nèi)容之一， 教師應該通過具體實例介紹大衍求一術(shù)的求解步驟，并且指導學生體會大衍求一術(shù)的思想本質(zhì)，最好與拉格朗日插值法進行比較，讓學生體會插值法的本質(zhì)。在本專題的學習中重要的是，指導學生理解初等數(shù)論給我們提供的重要的數(shù)學思想，而不在于數(shù)學的技巧。這是開設好本專題內(nèi)容的關(guān)鍵所在。五、文獻參考1 閔嗣鶴 嚴士健：初等數(shù)論（第三版），高等教育出版社

41、，20032 馮克勤：初等數(shù)論及應用，北京師范大學出版社，20033 張順燕：數(shù)學的源與流，高等教育出版社，20004 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學，左平等譯，復旦大學出版社，20052.7 優(yōu)選法與實驗設計初步一、背景著名數(shù)學家華羅庚先生把數(shù)學方法創(chuàng)造性地運用到國民經(jīng)濟領(lǐng)域，選擇了以改進工藝為主的“優(yōu)選法”和以改善組織管理為目的的“統(tǒng)籌法”，并加以普及。他撰寫的以這兩種方法為內(nèi)容的小冊子，深入淺出，普通工人也能讀懂。優(yōu)選法在實際生產(chǎn)中顯示了巨大的威力，取得增產(chǎn)、降耗、優(yōu)質(zhì)的效果。通過華羅庚先生的創(chuàng)造性工作，使數(shù)學從書本走向生產(chǎn)實踐，在應用數(shù)學的推廣方面取得了舉世矚目的成績。本專題在

42、華羅庚先生的“優(yōu)選法”基礎(chǔ)上，介紹了優(yōu)選法和實驗設計。優(yōu)選法，準確的說是“選優(yōu)法”，主要是要確定“優(yōu)”在哪里?優(yōu)選法的適用范圍是單峰值的問題，而“峰值”可能出現(xiàn)在任何位置，每增加一次試驗就可以縮減掉一個區(qū)域。優(yōu)選法的原理簡單、應用廣泛。試驗設計，主要是如何設計試驗方案，用最少的時間得到最好的試驗結(jié)果。其基本原理是均衡搭配。使用的主要工具是拉丁方和正交表。試驗設計的適用范圍很廣泛，對于學生以后的發(fā)展是十分有益的。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位本專題介紹的第一部分內(nèi)容是試驗設計?！霸囼炘O計”是研究如何設計試驗方案，使得能用最少的試驗次數(shù)來達到最好的試驗目的。在現(xiàn)實生活中和科學試驗中

43、，人們往往需要用做試驗的辦法去解決問題。例如：我們要對某一艾滋病易感人群進行檢測。設人群有1000人，其中共有10個感染者。我們希望通過血樣檢驗的方法，找出這10個感染者。對這個問題，我們可以有不同的做法。比如，一個一個的進行檢驗，在最壞的情況下，需要做999次檢驗。也可以采用分組化驗的辦法。即把幾個人的血樣混在一起，先化驗一次。若化驗合格，則說明這幾個人全部正常；若混合血樣不合格，說明這幾個人中有病人，再對他們做進一步的化驗(逐個化驗，或者分成小組化驗)。一般來說，后一種方法可以減少化驗次數(shù)。試驗設計這部分內(nèi)容主要介紹的是正交實驗設計，即利用正交表來進行設計。和目前人們常用的方法相比，這個方

44、法有許多優(yōu)越性，而且操作簡單。這一方法曾在一些工業(yè)企業(yè)和農(nóng)村中推廣，效果顯著。在本專題中介紹這個方法，也是希望能把這方法進一步推廣。在本專題中，我們通過實際的案例，具體給出了設計試驗方案的步驟及分析試驗結(jié)果的方法。我們要求學生能了解 “正交試驗設計”的思想，即“均衡搭配，綜合比較”的思想。本專題的第二部分內(nèi)容是優(yōu)選法。在生產(chǎn)實踐和科學試驗中，人們?yōu)榱诉_到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗等目的，需要對有關(guān)因素的最佳點進行選擇。這些選擇最佳點的問題，都稱之為選優(yōu)問題。解決這些選優(yōu)問題的方法稱為優(yōu)選法。上世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚在全國推廣和普及了優(yōu)選法，大大地提高了我國科技工作者、管理工作者、普通大眾的

45、科學素養(yǎng)和數(shù)學水平。例如，在某化工生產(chǎn)中，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量隨加工的溫度而變化。生產(chǎn)中，通常選用的加工溫度在之間，隨著溫度的升高，產(chǎn)量隨之加大。但當溫度達到一定程度以后，隨著溫度的升高，產(chǎn)量反而降低了?，F(xiàn)在，我們考慮通過做試驗的方法，找到這個最佳溫度，那么，如何設計我們的試驗呢？分析這個例子可知，對試驗結(jié)果產(chǎn)生影響的因素只有一個溫度。實際上，產(chǎn)量與溫度的關(guān)系可以用一元函數(shù)來刻畫，其中為溫度，為產(chǎn)量。但是函數(shù)的具體表達式是不知道的。在這個例子中，我們可以得到以下結(jié)論： 產(chǎn)量是溫度的函數(shù)。 隨著自變量的增加，函數(shù)的變化趨勢是，先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減。這樣的函數(shù)我們通常稱之為單峰函數(shù)，但是峰在哪兒，我們

46、并不知道，它可以出現(xiàn)在定義域的任何地方。 先做一次試驗得到一個結(jié)果，再做一次試驗再得到一個結(jié)果。如下圖（1）所示， （1） （2） （3）當在x2的產(chǎn)量大于x1時，就有如上圖（2）、（3）的兩種峰值的情況，我們可以根據(jù)這兩次試驗的情況，縮小因素的取值范圍。用做試驗的辦法解決單因素選優(yōu)問題，并不是同時做好幾個試驗，而是先做兩次試驗，通過對試驗結(jié)果的比較，去掉不含最佳點的區(qū)間，縮小因素的取值范圍。再將第三次試驗的結(jié)果與上次保留的試驗結(jié)果加以比較，再次去掉不含最佳點的區(qū)間。如此繼續(xù)下去，不斷的縮小因素的取值區(qū)間，可以迅速地找到最佳點。這就是解決單因素選優(yōu)問題的基本思想。根據(jù)這樣的基本思想，如果限定試

47、驗次數(shù)，我們設計了分數(shù)法。如果不限制試驗次數(shù)，我們又設計了0.618法。對于單因素的情況，還有二分法等其他方法。對于兩個因素情況的優(yōu)選法，也可以介紹幾種優(yōu)選的方法。例如，縱橫對折法和平行線法等。三、重、難點重點： 試驗設計中“均衡搭配”的思想，優(yōu)選法中“選優(yōu)”的思想。 拉丁方和正交表的使用難點： 在試驗設計中“均衡搭配”的思想 分數(shù)法的證明思想四、教學要求教師應該通過對具體實例的分析，幫助學生體會“均衡搭配”的思想。在這部分內(nèi)容的教學中，教師應引導學生把握優(yōu)選的基本思想。教師還可以引導學生把這種方法和在必修1中所學的二分法求方程的解作比較，探索它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。我們建議教師引導學生對于本專題

48、的內(nèi)容進行分析和整理，寫出一個好的讀書報告，這對于學生學習能力的提高是個好的途徑，也便于一個好的學習習慣的養(yǎng)成。五、文獻參考1 華羅庚：優(yōu)選法平話及其補充，科學出版社，19712 華羅庚：優(yōu)選學，科學出版社，1981年3 陳希孺：機會的數(shù)學，清華大學出版社和暨南大學出版社，20004 中國現(xiàn)場統(tǒng)計會三次設計組等：正交法和三次試驗設計，科學出版社，19852.8 統(tǒng)籌法與圖論初步一、背景統(tǒng)籌法，即合理安排我們要做的事情，提高我們的工作效率，使得做事情不忙亂，有條理。在管理科學中，統(tǒng)籌法成為基本的方法。項目管理的理論基礎(chǔ)是統(tǒng)籌法、圖論、統(tǒng)計概率。圖論是離散數(shù)學的一個分支，主要討論的是離散數(shù)學的問題

49、。圖論是數(shù)學中有廣泛實際應用的一個分支。心理學、化學、電工學、運輸規(guī)劃、管理學、銷售學以及教育學等各個不同領(lǐng)域內(nèi)的許多問題都可以描述為圖論的問題。在本專題中我們只能介紹一些初步的圖論知識，討論有關(guān)圖論的基本概念和圖論中的幾個基本問題。例如，最短路問題、最小生成樹問題等。體會圖論反映的基本數(shù)學思想及其在其它領(lǐng)域中的廣泛應用。圖論與傳統(tǒng)數(shù)學不同，它是“一事一法”，很少有通法，但是它的應用非常廣泛，并且和算法的聯(lián)系比較緊密。 二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2內(nèi)容定位統(tǒng)籌方法是我們?nèi)粘Ｉ?、生產(chǎn)實踐中常用的一種數(shù)學方法，它可以幫助我們合理安排人力、物力等資源。1964年，中國著名數(shù)學家華羅庚在全

50、國對這種方法進行了大力推廣，提高了廣大科學工作者、管理人員和普通群眾的科學素養(yǎng)。本專題將通過實例介紹統(tǒng)籌方法的數(shù)學原理和應用。我們用一個例子來介紹統(tǒng)籌法。例如，生活中經(jīng)常需要沏茶。如果當時的情況是：沒有開水，開水壺、茶壺、茶杯都要洗，還需要準備茶葉，應該怎么安排？辦法甲：先做好準備工作：洗開水壺、茶壺、茶杯，拿茶葉。一切就緒后，灌水，燒水，等水開了泡茶喝。辦法乙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。等水開了之后，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，泡茶喝。辦法丙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。利用等待水開的時候，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，等水開了泡茶喝。哪種辦法節(jié)省時間？顯然是辦法丙，因為前兩種辦法都“窩工”了。事實上，洗開

51、水壺是燒開水的先決條件；沒開水，沒茶葉，不洗茶壺、茶杯，就不能泡茶，因而這些都是泡茶的先決條件。而燒開水，洗茶壺、茶杯，拿茶葉沒有嚴格的先后關(guān)系。我們可以用下圖來直觀地表示以上三種辦法。甲：乙：丙： 假設洗開水壺需要分鐘，把水燒開需要10分鐘，洗茶壺、茶杯需要分鐘，拿茶葉需要分鐘，而泡茶需要分鐘。從圖中可以看出，辦法丙總共要1分鐘，而辦法甲、乙需要1分鐘。如果要縮短工時，提高效率，主要是燒開水這一環(huán)節(jié)，而不是拿茶葉這一環(huán)節(jié)；同時，洗茶壺、茶杯，拿茶葉總共需要4分鐘，完全可以利用“等水開”的時間來做。這雖是小事，卻引出一種計劃和管理的有效方法。從事一項生產(chǎn)或工程，如果工作環(huán)節(jié)太多，關(guān)系復雜時，這

52、樣做就非常必要，它可以避免由于一、兩個零件沒完成，而耽誤一架復雜機器的出廠時間，也不會由于抓的不是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，連夜加班，急急忙忙的完成這一環(huán)節(jié)，卻又坐等別的環(huán)節(jié)完成才能繼續(xù)。由這個例子可以看出統(tǒng)籌法有幾個關(guān)鍵的步驟： 要學會確定工序和工序的結(jié)構(gòu)，即要知道哪道工序是哪道工序的緊前工序。 應該學會用統(tǒng)籌圖把工序之間的關(guān)系清晰直觀的描述出來。 要學會確定統(tǒng)籌圖中的關(guān)鍵路線，并且知道每個工序的最遲發(fā)生時間。這樣就可以適當?shù)陌才湃肆ξ锪ΡＷC整個工程的進度。統(tǒng)籌方法在數(shù)學上沒有太大的難度，可是建立統(tǒng)籌思想?yún)s是非常重要的。圖論中的圖是由有限個點和有限條邊組成的，如下圖所示： 通常我們把這個圖表示為：G（V，E

53、），其中：點的集合為：V=北京，上海，廣州，重慶，西安。 邊的集合為：E=（北京，上海），（北京，廣州），（北京，重慶），（北京，西安），（上海，廣州），（西安，重慶），（重慶，廣州）。 我們需要研究這種圖可以提供給我們哪些好處？圖的最小生成樹問題和最短路問題都有著廣泛的應用。在這部分內(nèi)容中，我們關(guān)心的是：解決問題的一般算法。即尋找一個算法，使得對于任意給定的一個圖，都可以用這個算法找出該圖的最小生成樹（最短路）。圖論屬于離散數(shù)學的范疇，在日常生活中經(jīng)常會碰到離散數(shù)學的問題。因此，我們對離散數(shù)學的初步了解，對于以后的生活和自身發(fā)展都是有意義的。教師應把這樣一種思想滲透給學生。這種思想在高中的其

54、他課程中也有體現(xiàn)，比如，數(shù)列、差分等問題，都體現(xiàn)了用離散的方法去討論問題的思想。三、重、難點重點及難點： 統(tǒng)籌與圖論中的算法思想 四、教學要求在本專題的教學中，教師應該利用具體實例幫助學生建立統(tǒng)籌思想，并能運用到日常生活中去解決一些簡單的問題。圖論這部分內(nèi)容的難點在于對算法思想的理解，這方面是教師在教學中特別要注意的地方。教師應該通過具體實例幫助學生來理解求解問題的算法。五、文獻參考1 華羅庚：統(tǒng)籌方法平話及補充，中國工業(yè)出版社，1962 H. A. 塔哈：運籌學，吳立煦等譯，上海人民出版社，19853 COMAP：數(shù)學的原理與實踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，19982.9

55、風險與決策一、背景這是一個數(shù)學應用的專題。在現(xiàn)代社會中，人們面臨著各種問題，針對著各種情況要做出決策。而無論何種決策都會有不確定的情況出現(xiàn)。例如，經(jīng)濟上的投資，設計面對自然災害的預防方案等等。這樣的例子在日常生活和生產(chǎn)實踐中比比皆是，這些決策問題都是有風險的。了解有關(guān)風險決策的基本知識，形成風險意識，對每一個學生來說都是非常重要的，在一定意義上，可以提高人的生活質(zhì)量，也是在現(xiàn)代生活中的一種基本素質(zhì)。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖 2內(nèi)容定位1）風險決策問題要用到一些概率的知識，我們可以通過實際問題的解決過程，引入相關(guān)的知識。根據(jù)學生不同的知識背景可以選擇不同的處理方法。2）決策與決策的“損失”是密不可分的。我們可以用數(shù)量來表示這個“損失”（為方便起見，我們把收益也統(tǒng)一稱為損失，即，負的損失）。由于我們面對的是隨機現(xiàn)象，損失是隨機的，“損失”的可能性的估計是一個比較復雜的問題，在我們所討論的風險決策問題中，一般都由問題直接給出，例如在“臺風問題”的例題中，盡管我們已經(jīng)確定了防備臺風的方案，但臺風帶來的損失是隨機的，依賴