固體物理考題 第四章 能帶理論

1、第四章 能帶理論1設(shè)電子在一維弱周期勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)，其中V(x)= V(x+a)，按微擾論求出k=±/a處的能隙2怎樣用能帶論來(lái)理解導(dǎo)體、絕緣體、及半導(dǎo)體之間的區(qū)別？（可以畫圖說(shuō)明）3簡(jiǎn)單推導(dǎo)布洛赫（Bloch）定理4對(duì)于一個(gè)二維正方格子，晶格常數(shù)為， l    在其倒空間畫圖標(biāo)出第一、第二和第三布里淵區(qū)；l      畫出第一布里淵區(qū)中各種不同能量處的等能面曲線；l      畫出其態(tài)密度隨能量變化的示意圖。5  在一維周期場(chǎng)近自由電子模型近似下，格

2、點(diǎn)間距為，請(qǐng)畫出能帶E(k)示意圖，并說(shuō)明能隙與哪些物理量有關(guān)。6推導(dǎo)bloch定理；寫出理想情況下表面態(tài)的波函數(shù)的表達(dá)式，并說(shuō)明各項(xiàng)的特點(diǎn)。7在緊束縛近似條件下，求解周期勢(shì)場(chǎng)中的波函數(shù)和能量本征值。設(shè)晶體中第m個(gè)原子的位矢為：（5-4-1）若將該原子看作一個(gè)孤立原子，則在其附近運(yùn)動(dòng)的電子將處于原子的某束縛態(tài)，該波函數(shù)滿足方程：（5-4-2）其中為上述第m個(gè)原子的原子勢(shì)場(chǎng)，是與束縛態(tài)相對(duì)應(yīng)的原子能級(jí)。如果晶體為N個(gè)相同的原子構(gòu)成的布喇菲格子，則在各原子附近將有N個(gè)相同能量的束縛態(tài)波函數(shù)。因此不考慮原子之間相互作用的條件下，晶體中的這些電子構(gòu)成一個(gè)N個(gè)簡(jiǎn)并的系統(tǒng)：能量為的N度簡(jiǎn)并態(tài)，m=1，2，

3、N。實(shí)際晶體中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影響的。由于晶體中其它諸原子勢(shì)場(chǎng)的微擾，系統(tǒng)的簡(jiǎn)并狀態(tài)將消除，而形成由N個(gè)能級(jí)構(gòu)成的能帶。根據(jù)以上的分析和量子力學(xué)的微擾理論，我們可以取上述N個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)的線性組合（5-4-3）作為晶體電子共有化運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，同時(shí)把原子間的相互影響當(dāng)作周期勢(shì)場(chǎng)的微擾項(xiàng)，于是晶體中電子的薛定諤方程為：（5-4-4）其中晶體勢(shì)場(chǎng)U(r)是由原子勢(shì)場(chǎng)構(gòu)成的，即（5-4-5）微擾計(jì)算（5-4-4）式可以轉(zhuǎn)化為如下形式：代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：（5-4-5）在緊束縛近似作用下，可認(rèn)為原子間距較態(tài)的軌道大得多，不同原子的重疊很小，從而有：（5-4-6）現(xiàn)

4、以左乘方程（5-4-5），并對(duì)整個(gè)晶體積分，可以得：（5-4-7）首先討論（5-4-7）式中的積分。我們引入新的積分變量，令，由晶格周期性可知：，則（5-4-7）式中積分可表示為：（5-4-8）上式表明積分值僅取決于原子的相對(duì)位置，因此引入符號(hào)。式中引入負(fù)號(hào)的理由是晶體勢(shì)場(chǎng)與原子勢(shì)場(chǎng)的差值為負(fù)值。將式（5-4-8）代入（5-4-7）式得到方程組：（5-4-9）不難證明：為滿足方程組（5-4-9）的解，于是得到：亦即（5-4-10）式中為原子的相對(duì)位置，與原子標(biāo)號(hào)碼m或n無(wú)關(guān)。（5-4-10）式實(shí)際上即為晶體中共有化運(yùn)動(dòng)的電子的能量本征值。與該本征值相對(duì)應(yīng)的電子共有化波函數(shù)為：（5-4-11）容

5、易驗(yàn)證，上式所給出的波函數(shù)確為布洛赫函數(shù)。不妨作下面的變換，（5-4-12）進(jìn)一步可得：（5-4-13）顯然，是和晶格周期相同的周期函數(shù)。8 (a)試寫出其倒格矢，證明倒格子元胞體積v= (2p)3/V，并畫出第一布里淵區(qū)示意圖。 （b）在近自由電子近似下，寫出電子在第一布里淵區(qū)頂角和各面心上的動(dòng)能。（c）令a=b=c,緊束縛近似下電子的色散關(guān)系為：E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza) 試寫出態(tài)密度N(E)的積分表達(dá)式，并指出在哪些能量處N（E）=0，哪些能量處有范霍夫奇點(diǎn)？ 9簡(jiǎn)述Bloch定理，解釋簡(jiǎn)約矢k的物理意義，并闡述的取值原則。K為簡(jiǎn)約波矢，是對(duì)應(yīng)于平移

6、操作本征值的量子數(shù)。它的物理意義是表示原胞之間電子波函數(shù)位相的變化。它的取值應(yīng)限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。10（a）晶體中的電子能帶是怎樣形成的？能帶的寬度與什么因素有關(guān)？(b)若一個(gè)一維導(dǎo)體中電子在能帶中的填充剛好是半滿的，會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？(c)對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單立方晶體，緊束縛近似下電子表的色散關(guān)系為E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza)試寫出態(tài)密度的積分表達(dá)式，并指出在哪些能量處態(tài)密度為零？哪些能量處有范霍夫奇點(diǎn)？11假定將晶體表面看成是理想平面，忽略晶體內(nèi)周期勢(shì)的起伏變化，求表面電子態(tài)的能量本征值及其波函數(shù)。12簡(jiǎn)述能帶理論；推導(dǎo)布洛赫(Bloch)定理，理想三維情況下表面電子態(tài)的波函數(shù)有什么特點(diǎn)。13簡(jiǎn)述晶體能帶與其晶格周期性和對(duì)稱性的關(guān)系，并說(shuō)明無(wú)序材料電子結(jié)構(gòu)和晶體材料電子結(jié)構(gòu)的主要差別。P23014.高壓晶體體積變小，能帶寬度會(huì)          15費(fèi)米面 、費(fèi)米能 、費(fèi)米速度費(fèi)米面：在絕對(duì)零度下，晶體中電子在K空間中占據(jù)態(tài)與非占據(jù)態(tài)的分界面，在非