山東大學(xué)數(shù)學(xué)建模選修問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)建模作業(yè)姓名：學(xué)院：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)班級(jí)：學(xué)號(hào)1.在區(qū)域xe-2,2,y -2,3內(nèi)繪制函數(shù)z=expA(-x 2-y 2)曲面圖及等值線圖。解：曲面圖如下：回 S3Figure- 1> > x=-2:0.5:2;> > y=-2:0.5:3;> > X,Y=meshgrid(x,y);>> Z=exp(-X.A2-''Y.A2);>> mesh(X,Y,Z)>>等值線圖如下：文案大全>> x=-2:0.5:2;>> y=-2:0.5:3;>> X,Y=mes

2、hgrid(x,y);>> Z=exp(-X.A2-Y.A2);>> mesh(X,Y,Z)>> surf(X,Y,Z)>> surf(X,Y,Z)>> contour(X,Y,Z)>>2.已知一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，如表 1所示.1： NNM-1.7*1.4-1.1*08*0.5-0 20.10 4擊0.102B90.117410.I3I580.144830.156560.166220.173320.177500.17853工10 71L1.61,9T22.52.83 1Vi0.176350 1710P0.163020.1S255

3、0.14020.126550 112190.097680.08353鼻3,43-744.34.64.9*0 070150 056760.046870 037290.029140.0223(1) 試用差值方法繪制出 xW -2,4.9區(qū)間內(nèi)的光滑曲線，并比較各種差值算法的優(yōu) 劣.(2) 試用最小二乘多項(xiàng)式擬合的方法擬合表中的數(shù)據(jù)，選擇一個(gè)能較好擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的多項(xiàng)式的階次，給出相應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)和偏差平方和(3) 若表中數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布函數(shù)y(x)-e,xW/2Q2 .試用最小二乘非線性擬2 合的方法求出分布參數(shù),二值，并利用鎖求參數(shù)值繪制擬合曲線，觀察擬合效果解：(1)分別用最領(lǐng)近插值，分段線性插值

4、(缺省值)，分段三次樣條插值，保形分段三 次插值方法繪制在 xW -2,4.9的光滑曲線，圖形如下：回就樣條插值效果最好，其次線性插值，最近點(diǎn)插值效果最差，在這里效果好像不太明顯。最近點(diǎn)插值優(yōu)點(diǎn)就是速度快，線性插值速度稍微慢一點(diǎn)， 但效果好不少。所以線性插值是個(gè)不錯(cuò)的折中方法。樣條插值，它的目的是試圖讓插值的曲線顯得更平滑，為了這個(gè)目的，它們不得不利用到周圍若干范圍內(nèi)的點(diǎn)，不過計(jì)算顯然要比前兩種大許多。MATLA改件如下：>> x0=-2:0.3:4.9;>> y0=0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17

5、332 0.17750 0.17853 .0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219 0.09768 0.08353 .0.07015 0.05876 0.04687 0.03729 0.02914 0.02236;>> cx=-2:0.3:4.9;>> y1=interp1(cx,y0,cx,'nearest');>> y2=interp1(cx,y0,cx,'linear');>> y3=interp1(cx,y0,cx,'spline&

6、#39;);>> y4=interp1(cx,y0,cx,'cubic');> > subplot(2,2,1),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-r'),title('Nearest Interpolant');> > subplot(2,2,2),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-k'),title('Linear Interpolant');> > subplot(2,2,3),plot(cx,y0,

7、9;o',cx,y1,'-b'),title('Spline Interpolant');> > subplot(2,2,4),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-k'),title('Cubic Interpolant');> > subplot(2,2,1),plot(cx,y0,'o',cx,y1,'-r'),title('Nearest Interpolant');(2),從圖形可以看出曲線函數(shù)遵從募函數(shù)的形式，設(shè)備函

8、數(shù)形式為：y =axP可化為ln y =ln a + B ln x.即把非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，原線性函數(shù)形式為 p(x) = a1x + a0由此我們可以得出p(x)等價(jià)于lny;x等價(jià)于lnx; P = a1 , lna =a0我們可以先求出a1,a0。求一個(gè)線性多項(xiàng)式 p(x) = ax + a0使之在最小二乘準(zhǔn)則下擬合這些觀測(cè)值，問題即化為匹 =0,畦 =0 ,用MATLAB工具我們可以求得最后的結(jié)-a 朋求a°a1使E（a0 al尸min £ y - （ax +a。）利用多元函數(shù)極值原理可知，若目標(biāo)函數(shù)E( a0 a1)的極小值存在，一定有果。>>

9、log(x0);> > 10g(y0);> > x0=log(x0);> > y0=log(y0);> > n=length(x0);> > a=sum(x0);> > b=sum(y0);> > c=sum(x0.*y0);> > d=sum(x0.A2);> > a0=(d*b-c*a)*(n*d-aA2);> > a1=(n*c-a*b)/(n*d-aA2);> > a0,a1a0 =-2.5891e+05 - 1.7515e+06i al =0.1045

10、- 0.3558i即系數(shù) a0 為-2.5891e+05 - 1.7515e+06i,al 為 0.1045 - 0.3558i其相應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)和偏差平方和.我們可以求出 E= -7.2019e+13 + 2.1767e+13i其MATLABC件如下：> > Y=a1*x0+a0;> > e=Y-y0;> > E=sum(e.A2)E =-7.2019e+13 + 2.1767e+13i即其相應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)和偏差平方和為-7.2019e+13 + 2.1767e+13i？ 3.將某物體放置在空氣中， 在t=0時(shí)刻測(cè)得其溫度 U0=150度，10min后測(cè)得

11、溫度 3=87度, 假設(shè)空氣白溫度為24度。試建立數(shù)學(xué)模型給出物體的溫度 u與時(shí)間t的關(guān)系， 并計(jì)算20min后物體的溫度。解：為了解決上述問題，我們首先需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律：比如：熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度范圍（其中包括了上述問題的溫度在內(nèi)），一個(gè)物體的溫度與這物體的溫度和其所在介質(zhì) 的溫度的差值成正比例。這是已為實(shí)驗(yàn)證明了的牛頓冷卻定律。設(shè)空氣的溫度為ua，物體在時(shí)刻t的溫度為u=u（t）,則溫度的變化速度為業(yè)。注意熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，因而初始溫 dt度大于空氣溫度，即（u°>“），所以溫差u7a恒正；又因?yàn)?/p>

12、物體的溫度將隨時(shí)間而逐漸冷卻，故溫度變化速度 曲包負(fù)。因此，由牛頓冷卻定律得到dtdu二一K(u -ua) 出這里的K>0是比例常數(shù)。此（1）方程就是冷卻過程的數(shù)學(xué)模型。為了確定溫度u與時(shí)間t的關(guān)系，我們需要從上面（1）的方程中解出u。又因?yàn)閡a是常數(shù)，并且u-ua>0,所以我們可以將上述式子改寫成d（u-ua） = -Kdt將此式積分可得到如下式子u -ualn( u -ua) = -Kt c1u -ua = eA (一Kt c1) = ceA( 一Kt)即 u=U3+ceA(-Kt)根據(jù)初始條件：t=0時(shí)，U=Uo代入上式得C=UO-U a于是 u=uo+(uo-u a)eA(

13、-Kt)又根據(jù)條件，當(dāng)t=10時(shí)，u=ui代入上式得ui = ua + (u 0-u a)eA(-10K) 一 1 .K = In (u o-ua)/(u 1-u a) 10根據(jù)題意我們可知u°=150, u=87,ua=24，代入得到 “ 1150 -241 .K=一 In= ln 2 =0.0691087 -2410從而 u=24+126eA(-0.069t)這就是物體冷卻時(shí)溫度u隨著時(shí)間t的變化規(guī)律。用t=20代入得u=55.7度4.假設(shè)在某商場(chǎng)中，某種商品在t時(shí)刻的價(jià)格為P(t),若假定其變化率與商 品的需求量D和供給量S之差成正比(比例系數(shù)為k),若D = a -bP,S

14、= -c dP其中a,b,c,d均為正常數(shù)，若已知初始價(jià)格為Po,求任意時(shí)刻t時(shí)該商品的價(jià)格解：一般情況下，某種商品的價(jià)格主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系，由題意我們可知 商品需求量D是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)， 即D =a -bP,S = -c dP (1)其中a,b,c,d均為常數(shù)，且b>0,d>0.當(dāng)需求量與供給量相等時(shí)，由(1)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格 Pe=a上，并稱R b d為均衡價(jià)格。由題意得：dp =kD(p)-S(p)dt其中比例系數(shù)k>0,用來反應(yīng)價(jià)格的調(diào)整進(jìn)度。將(1)式代入方程可得其中常數(shù)=k(b+d)，>0,所以此方程的通解為P

15、(t)=P e+CeA(- - t)由于初始價(jià)格P(0) = Po代入上式，得C = RPe于是我們可以求出任意時(shí)刻價(jià) 格P與時(shí)刻t之間的函數(shù)為：P(t) = P e+(Po-Pe)A(- Zt),并且我們可以得出，因?yàn)榫?gt;0知，tT +8時(shí)P(t) T Pe,說明隨著時(shí)間的不 斷推延，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格Pe。5.農(nóng)場(chǎng)種植計(jì)劃問題 三等，相應(yīng)的耕地面積 分別為100、300和200km，計(jì)劃種植水稻、大豆和玉米.要求三種作物的最低收 獲量分別為190、130和350噸.I 、II 、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如 表所小.去2：不同等級(jí)耕施八同作物單產(chǎn)(t/km?) 類

16、別 | IIIIlTK 米 1412 10若三種作物的售價(jià)分別為水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg ,玉米0.80元/kg. 那么(1)如何制訂種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)量最大？(2)如何制訂種植計(jì)劃，才能使總產(chǎn)值最大？ 解：(1)：?jiǎn)栴}分析：確定種植最佳土地分配，即每種等級(jí)耕地分別種植水稻、大豆、玉米的 面積模型建立：1, ,決策變量：令x1,x2,x3分別為I II III 三等耕地上種植的水稻面積，令x4,x5,x6分別為I II III三等耕地上種植的大豆面積，令x7,x8,x9 三等耕地上種植的玉米面積。且令為xi (1<=i<=9)面積的耕 地上的產(chǎn)量為Ci.2, 目標(biāo)

17、函數(shù)：總產(chǎn)量最大，即 max- 9T cxi3, 約束條件：最低產(chǎn)量限制：最低水稻產(chǎn)量190噸，最低大豆產(chǎn)量130噸，最低 玉米產(chǎn)量350噸11x1+9.5x 2+9x3 1908x4+6.8X5+6X6 呈 13014x7+12x8+10X9 呈 350耕地面積恒定：Xi +X4+X7=100X2+X5+X8=300X3+X6+X9=200上負(fù)條件： Xi, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9= 0數(shù)學(xué)模型：maX=1lX+9.5X2+9X3+8X4+6.8X 5+6X6+14X7+12X8+10X9'-11x1-9.5x2-9x3190-8x4-6.8x5

18、-6x6-130-14x7-12x8-10x9 <-350x1 + x4 + x7 = 100Jx2 + x5+x8 = 300x3 + x6 + x9= 200x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 之 0用MATLABt解，用命令格式III ,文件如下： >>c=11 9.5 9 8 6.8 6 14 12 10;>> A=-11 -9.5 -9 0 0 0 0 0 00 0 0 -8 -6.8 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -14 -12 -10;>> b=-190;-130;-350;>>

19、Aeq=1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1；>> beq=100;300;200;>> vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0;>> vub=;>> x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated.x =17.27270.00000.000082.7273300.0000165.00000.00000.000035.0000fval =4.2318e+03即，模型的最優(yōu)解為(17.2727 0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.00.0 35.0) T,目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為4.231 1