函數(shù)極限連續(xù)

1、函數(shù)極限連續(xù)一.填空題lim +"- |1設(shè)2叭盃丿L ,那么a =2.- 可得=lim0.B.ae - a,所以a = 2.曲+旳!七丿=(n1+2 +A十評(píng)護(hù)十昶十1總門十丹)2屮十左十1(n所以lim r+ =+A十總_)_1 期十舟十21=:3.函數(shù)/W = (o|心那么 ff(x)4-A十挖十刑 總十？r十并. +A円十肚十1 n +«十2+ 斤 片+A +5< -.'1 + 2-I-A +擷121H- 2+A + 左-T.冷II £ 1 I. .|所以：；丨< J . </. I ?£(1十加)1+ 2+A +并_2

2、2= 5«+« +«? +?r 十 m解.ff(x) = 1.4.(J總+q?t -lim (厶 + 3 喬 _ J曲- £) W9Qlim (J用 + 3 亦 _ & _ 廟 j 二 bin5.lim cotJT-*0lim5 sin6.11IH =2缶+ 3需+ J陽-喬X Sill Z十X StfL hm isin jr idx=lim2電所以 k -仁1990,二.單項(xiàng)選擇題1.設(shè) f(x)和(x)在(-解.(a) 反例(b)反例(c)反例(d)案.反設(shè)g( x)=2.設(shè)函數(shù)k = 1991;；：)，/厶丄k 1991,+)內(nèi)有定義，f(

3、x)為連續(xù)函數(shù)，且 f(x)0,(b)(x) 2必有間斷點(diǎn)(c) f (x)必有間斷點(diǎn)卩|心0f(x)=1, 那么f(x)=1|心14, (x)2=11伯1心，f(x) = 1,那么f (x)=1(X)有間斷點(diǎn),那么=110(d)匚必有間斷點(diǎn))內(nèi)連續(xù)，那么(x)=g(x)f(x)在(-+)內(nèi)連續(xù)，矛盾.所以(d)是答偶函數(shù) (b)無界函數(shù)(c)周期函數(shù)(d)單調(diào)函數(shù)3.極限limh -wo(b) 1(c) 2(d)不存在As +1m以(堆+ 1)打的值是所以(b)為答案.3. 了 , A ,2« + l1a x2a 十 23 x3a + +«a x(w + 17曲斗竺朋U4

4、設(shè)，貝U a的值為 1(b) 2(c)':，'(d)均不對(duì)lim29*+1嚴(yán)lim2罄兀斗1嚴(yán)心'(曲+ 1尸心(1十打工s1113二衛(wèi)廠(1十1厲),皿=8,所以(c)為答案.5.宀(3-2)1 =1, =解.(c)為答案6.設(shè)''-?-(a) f(x)是x的等價(jià)無窮小(c) f(x)比x較低價(jià)無窮小1(b)= 5,=那么當(dāng)x 0時(shí)(b) f(x)(d) f(x)1(c)=5,=那么，的數(shù)值為是x的同階但非等價(jià)無窮小比x較高價(jià)無窮小(d)均不對(duì)r 2X +3"-2lim 5 JTlimr->02 姑血 2 + hln?I= lil2+l

5、n3所以(b)為答案.(1 十方+2R(1 +%)+ 皿 丄lim= o7.設(shè)'''，那么a的值為(b) 1(c) 2(d) 3的 Um (1 + 力(1十圧)(1 +女)+ a 二 0 解.,1 + a = 0, a =-1,所以(a)為答案.a tan 孟+b(l - cos a) km丁8設(shè)宀芒就1一2對(duì)皿(1-尸)2,其中j+d,那么必有(a) b = 4d(b) b = 4d(c) a = 4c(d) a = 4c1.lim、2 =' ' l j. .-.； . -.':空一+ isin x limz 二+ 2» 1 - 2k

6、2c,所以a = 4c,所以(d)為答案.求以下極限(1)恤處吏Jif1y =- 令 'lini (sin21h.4- cos / 二 lim (sin 2y + cosy) xri'1十tan八limz'l + sifl x )1 + tan r、并 f=Inn 14J m ,tan x - sin j-imir*- tail a - sin jt h 1+siilX ?(1 施 imr )#an2.求以下極限r(nóng) ln( 1 +)Inn :：J :廣i 一 小I解當(dāng)x 1時(shí)，'-宀：，'''.按照等價(jià)無窮小代r+帖 呱 一 1 r11t

7、o :.= km = bin 廠=換-cot2解方法1：GQt Alim20lim2 1 2 SXL X一斗眇Xsin xx2 sin2 xf- 2t cos3 x + 2(xJ +l)cosxsm kmn叫4x3J2x2 匚。s xsin x4?2A-2兀匚。星 x + sin 2x lun =m4 f,.-2 cos3C5S r sm + 2 cos 2z 1km7十_=" r r.-2 cc>sa x4 2cos 2x 11 十 4 coax sin x - 4 sm 2x 11lim十 一 + 二 lim十 _ 十 _= . ' ' :-2sin2x 1

8、11112lim+ - + - = =-方法2:斗'sin1 r2 2 斗一乂 CQ$ K-3:2x stn 71 31 -(x2 + l)(cos 2a +1) lim 屯sgtir*lim-扣一警+畔+心1 -y2? - 2x* + 2- 2z3+ OX*22442_ 33.求以下極限lim p/w - 1"-* In ?s解.lim zg In 科亦 _ 1 = lin換1r 忑 一In麗令咖-1 = x I歐i +亦曲1+旨鉗-I -nxr _召lim f 1+嚴(yán)0解.lim思->no-1忑A 0齊=0< 0其中a > 0, b > 0解.lu

9、n用fD換十嗨1+r2= V n,c =b/aa im7 24.求以下函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型L - +2-1川冷二騁丁二1解.一一 所以x = 0為第一類間斷點(diǎn)了 0)二 lim1-X1+芒顯然1 -二-，所以x = 1為第一類間斷點(diǎn)'1'，所以x = - 1為第一類間斷點(diǎn)兀2盃十JT<0x > 0解.f(+0) = si n1, f( 0) = 0.所以x = 0為第一類跳躍間斷點(diǎn)lim /(X)= lim sin 宀z 十一 1不存在所以x = 1為第二類間斷點(diǎn). x(2x盤« 哭、lim J L"5丿IScosjc' 不存在，而,所

10、以x = 0為第一類可去間斷點(diǎn)；,(k = 1,2,-所以x =-為第二類無窮間斷點(diǎn)孑勸二二_J14頂北+爲(wèi) Q - + 0益in工5設(shè)，且x = 0是fx的可去間斷點(diǎn)解.x = 0 是fx的可去間斷點(diǎn)，要求limJl + win不十sin2忙一gj十£血1對(duì)sin存在.所以lim Vl + sin + sin2 x - (« + /Jsin = 0,、，v -1-'-.所以.1 + siti a -h sin 2 x - Co + sin z)3kmz Jl + Gm + sin3 -h(£/ + j9 sin x)limiT-J-01 一口'十

11、1 _如 x 十1 _前工 1- a2/1-Fsin .y H-siii2 a +© 十 0如兀)1 +。所以 =1.limJ1 + 池 + sm2 x (m + 0 註1 忑)sin3lim(1 一十1一產(chǎn)，)心1衛(wèi)云sin2 ?: - (J1 + 迎開 + W1H2； + (1 + y? sin a)上式極限存在必須0,求a, b的值.Inn |(/ +了J 42)圧 _ k = 36.設(shè)加,b丄解.上式極限存在，必須a ='否那么極限一定為無窮.所以(jcs+7x+ +2)£ -片=訕(1+2+2./-jwO1 _1=;所以 -7.討論函數(shù)產(chǎn) Slii -處的

12、連續(xù)性f stn 曲兀不存在，所以x = 0為第二類間斷點(diǎn)；Hm (h 他丄)二 0燈 dZ云 ,所以=時(shí)，在x = 0連續(xù)，0弦T時(shí),x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn)8. 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù),且a < x 1 < x 2 << x n < b, c i ( i = 1,2, 3,n)為任意正數(shù),那么在(a, b)內(nèi)f迄、=5/(帀)十5/(巫)十止+4不妨假定1“至少存在一個(gè)，使.所以 m:1 -一M所以存在(a < x 1x n < b), 使得Ci +c2 +A +臼9.設(shè) f(x)在a, b上連續(xù)，且 f(a) < a, f(b)

13、> b,試證在(a, b)內(nèi)至少存在一個(gè)，使 f()證明：令MI m = V'證明：假設(shè) F(x) = f(x) x,那么 F(a) = f(a) a < 0, F(b) = f(b) b > 0于是由介值定理在(a, b)內(nèi)至少存在一個(gè)，使f()=.10. 設(shè)f(x)在0, 1上連續(xù)，且0 f(x) 1,試證在0, 1內(nèi)至少存在一個(gè) ，使f()=.證明：(反證法)反設(shè) =匚' .所以：；'兒恒大于0或恒小于0.不妨設(shè)“亡陰佩羽"(和7AQ .令心噩網(wǎng)Q,那么小0 .因此'"-I ' '' '

14、 ' 1- 八-.于是，山P； -,矛盾.所以在0, 1內(nèi)至少存在一個(gè)，使f()11. 設(shè)f(x), g(x) 在a, b上連續(xù)，且f(a) < g(a), f(b) > g(b),試證在(a, b)內(nèi)至少存在一個(gè)，使f( ) = g().證明：假設(shè) F(x) = f(x) g(x),那么 F(a) = f(a) g(a) < 0, F(b) = f(b) g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)內(nèi)至少存在一個(gè) ，使f()=.12. 證明方程x5 3x 2 = 0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明：令 F(x) = x 5 3x 2,貝U F(1) = 4

15、< 0, F(2) = 24 > 0所以 在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)，滿足F( ) = 0.曲伽十?13. 設(shè)f(x)在x = 0的某領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo)，且'''，求'“及'lim解.-呼十警血 sin 3x-(兀)Inn=-3.因?yàn)門n5訃0丿.f(x)在x = 0的某領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo),所以JV'J 在x = 0連續(xù).所以f(0)lim住+加)lim A 二 0z案,所以_3+/(x) + 35 0疋,所以sin 3z3入一$應(yīng)3忑.3 - 3gqs3=hmr3 sin 3善 92z 2lun常一/' (0)二 lim E 了 二

16、limff>0一 0r-?O'，將f(x)泰勒展開，得了(0) +尹+ £1所以;(此題為2005年教材中的習(xí)題,2006年教材中沒有選入.筆者認(rèn)為該題很好,故在題解中參加此題)倒數(shù)與微分填空題(理工類)1 J1 + A(1十筒丄假設(shè)(1十曠(-1)*2-(1 +不嚴(yán)1+力汕】,所以y_(h任一2ic't - 2sin f 12t4tsin f - / cos/4?器二3. 設(shè)函數(shù)y = yx由方程 嚴(yán)+沁3 = Q確定，那么么 解.討"14一丁 + A/H敗矽=0,所以#=尸£111卩1刖粋4. f( -x) = -f(x),且；，_ &#

17、39; 11：,那么'，'-解.由 f - X= - fx得，"君='' 、兀,所以'：門=" g所以 ' 1 ''-1'曲于砌+泌對(duì)-/珀F險(xiǎn)5. 設(shè)fx可導(dǎo)，那么.血 /叼十泌；0 /岡十/心一/0口 一曲叫 解.''性血=辱嚴(yán)2如“+ =6設(shè)，那么k =解.I亠亠：所以k =-所以 -d 1" 一F 1 f1 7.必f那么心J解.二2 _ 1戸所以(12 .令x2 = 2,所以I8.設(shè)f為可導(dǎo)函數(shù)，'-k -'I ,貝y廠9. 設(shè)y = f(x)由方程 丁

18、 二匚匸門：I所確定，貝y曲線y = f(x) 在點(diǎn)(0, 1)處的法線方程為解上式二邊求導(dǎo)：i宀一 1法線斜率為12法線方程為亠F 2即x 2y + 2 = 0.?11 : 1 ? :'；*一 .所以切線斜率二.單項(xiàng)選擇題(理工類)1. 設(shè) f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x) = f(x)(1+|sin x|).那么f(0) = 0 是F(x)在x = 0 處可導(dǎo)的(a)充分必要條件(b)充分但非必要條件(c)必要但非充分條件(d)既非充分又非必要條件解.必要性:丄、存在，所以：廠曰疋lw.sm x酣；-/(0Dx-0血 /W(l-sin 方一川0) jrr(Ft_ /'(0) -/(0

19、)X所以1 I 1-:'- ,2f(0) = 0,充分性：f(0) = 0f(0) = 0, 所以血y(欣1+跑方-了hmw0+Sttl無=.=，!："丁所以-八'：-：存在 (a)是答案.的n階導(dǎo)數(shù)是2. 函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且那么當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)，f(x)(b)'(c) L(d)- .-解.廠何“/沁了匚假設(shè)嚴(yán)叫刃鼻/嚴(yán)，所以嚴(yán))=(上+ 1)陽C2 (上+1川了(0嚴(yán)，按數(shù)學(xué)歸納法=." I對(duì)一切正整數(shù)成立 是答案.3. 設(shè)函數(shù)對(duì)任意x均滿足f(1 + x) = af(x)，且' ' ' b，其中a，b為非

20、零常數(shù)，那么f(x) 在x = 1處不可導(dǎo)(b) f(x) 在x = 1處可導(dǎo)，且 丄'a(c) f(x) 在x = 1處可導(dǎo)，且b (d) f(x) 在x = 1處可導(dǎo)，且 ab解.在 f(1 + x) = af(x) 中代入'一內(nèi)-'：'- ,.=上_'.-所以.(d)是答案注：因?yàn)闆]有假設(shè)可導(dǎo)，不能對(duì)于1 ' '-'二邊求導(dǎo).4. 設(shè)"，那么使，l 存在的最高階導(dǎo)數(shù) n為 學(xué)習(xí)文檔僅供參考(b) 1(c) 2(d) 324a12e廠g魯作浮24x - a二 lim wQ+ x所以n = 2, (c) 是答案.5.設(shè)

21、函數(shù)y = f(x) 在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，微分，、- 等于當(dāng)自變量x由Xo增加到Xo +x時(shí),記y為f(x)的增量，dy為f(x)的(b) 0(c) 1(d)解由微分定義 y = dy +o(x),lim 所以'r ' 1.(b)是答案.宀in -6.設(shè)A > 0X <0在x = 0處可導(dǎo),(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b為任意常數(shù)(c) a = 0, b = 0(d) a = 1b為任意常數(shù)解.在x = 0處可導(dǎo)一定在x = 0處連續(xù)，所以2 1b = 0.lim sin = lim 十 b)-:一,所以a -1z sin 1 得 L -廣&#

22、169;rm罷r . flfA ta jttOT x,所以 0 = a. (c)是答案7.設(shè)f(0) = 0, 那么f(x)在x = 0處可導(dǎo)的充要條件為皿h)存在.(d)-存在.lim 丄 /(I - cos 屮護(hù)廠h)存在.(bc存在(b)-存在.解由 W 存在可推出(a)中的極限值為 而(c)中的極限為：,(b)中的極限值為廣,(d)中的極限值為f(°),反之(a)及(c)中的極限值存在,不一定-'存在,舉反例如下：y = |x|,不存在,(a) 、(c)二表達(dá)排除及(c). (d) 中的極限存在，不一定' -存在，舉反例如下：x# 0'-,排除(d).

23、所以(b)是答案式的極限都存在2x -F1由(b)推出存在證明如下：lim=丄了(嚴(yán)丄可)器仝"5兀ln(l 力叫巧ln(l-H) 血(1_決血3)丄-"/.=.所以 J存在.8.設(shè)函數(shù)f(x)在(,+)上可導(dǎo),lim /(I)= -do "'時(shí),lim必有(b)lim /'(x)二-oo'時(shí),(c)lim j (戈)-+co HD時(shí),必有(d)必有不正確.反例如下：y = x; (b)不正確.反例如下：;(c)不正確.反例如下："一；(d)Em=-KO是答案.證明如下：因?yàn)?#39;-,所以對(duì)于充分大的 x, -單增./加曲/w

24、 =七明結(jié)束，否那么單增有上界，那么 日定理解.(a)存在(k為有限數(shù)).任取X,二八0(x << x + 1)lim /(j:) = +ra如果，那么證在區(qū)間x, x + 1上用拉格朗lim是o = +，矛盾.所以r 19.設(shè)函數(shù)f(x)在x = a處可導(dǎo),貝U函數(shù)|f(x)|在x = a處不可導(dǎo)的充分條件是 f(a) = 0 且-.(c) f(a) > 0 且 -''-.(b) f(a) = 0(d) f(a) < 02 解.(a) 反例 f(x) = 0, 取 a = 0. 排除(a);(c) 反例：'兒''-,取 a =

25、0. f(0) = 1 > 0,Z(o)= i>o,|f(x)| = f(x),在 x = 0 可導(dǎo).排除(c);(d)反例：了的=_畫x 1,取 a = 0.排除(d);所以(b)是答案.對(duì)于(b)證明如下：在(b)的條件下證明丿 工I不存在.,a +)時(shí)當(dāng) x < a 時(shí) f(x)不妨假設(shè)'-.'.所以存在，當(dāng)x (a 3“to iet畑如+:：.所以當(dāng) x > a 時(shí),f(x) > 0. 于是 r：'-詁/(卄川聊亠皿S(/加< 0.于是-.所以不存在.計(jì)算題(理工類)1.=1115(10 + 3?), 杓1沁叭新嚴(yán).占+加c9

26、s(W + 3?)2. f(u)可導(dǎo)，-A + Vtl + X3 ) -1J73.設(shè)y為x的函數(shù)是由方程lri J/ +/=arc tan 確定的,斗2刃/+才+才解.牙十刃'二兀一?，所以Jr-y4.，求宀 .dy cos £ er sin icosf sin解.匚:I =： _.一. - ：_.i:,5.設(shè)d2y _ 6 (cosf - sin rdldi _- fcos r -hsin 計(jì)-fcos r - sin t)2c<js H- sin心=詁(co汀+ sol上)兀二亠丁，亠工護(hù)門，求瓦解.必二(2尹+ 1)創(chuàng)du 二#(+ 町 * (2 x + l)dk

27、(2尸+ 1妙du十 x(2x + l)x空du伽£0+1)空<y6.設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，廣(°2°,且y = /(/ -1)5求必1 - 0 /50解陽必".3/n( -卩皆F十冒八，-切八力-戶八戶-®所以/(聽=?3/-1 (0) + 3/ (0)/' (0) -/'(0)/11 (0) 9廣® 十 6廣®7.設(shè)曲線 x = x(t), y = y(t)昌+自一"確定求該曲線在t = 1處的曲率.解.曙dy _- 1_ er - 2e .所以必石 扌十兌(1十耳(一2段)所以空 dx

28、11 = 1 2&d - 1 、dt2sf - 2? + fsfdt i衛(wèi)+陽-叭dx(1+紐(/-越)如，所以- cos X四S兀工0'一 1 ,其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且g(0) = 1確定a的值,使f(x)在x = 0點(diǎn)連續(xù)；在t =1 的曲率為1IX'I3(l+hP 卜3=盤_T =或 1 + 也7) T1存丿解f(x) 在x = 0點(diǎn)連續(xù),所以lim (呂(工)-cos) = 0所以小。,所以 g(0) = cos 0 = 1(這說明條件g(0) = 1 是多余的).所以C9，EX _+1-CO5 A葢Xrw(力一£(0) r 1- cs kIn

29、n 竺丄一+lim = g (0) + 0 = p'(0Jti xz x _'方法1：g(x) = COS X盤Inn一假設(shè)tOg(x)- cos x-ax蘭(不)-CQS 不一to西EX烈OHW(o十;列©X-COS A -Cfj；(0 << X)“tD五.當(dāng)x弘)/W*-+ ix 4-C?<0x > 01十CM 尤to e*班時(shí)0) +血 工嵐(Q - ms工 /'W=*；(列(0) + 1所以12方法2:g(A) C05 X H二 hrnEx - 05xg(A)一 c*?s x-cos x-axlim 彳忸?？邳\沖冷葉)0時(shí),f(

30、x)有定義且二階可導(dǎo)，問a, b, c 為何值時(shí)二階可導(dǎo).Hm Fx) = lim 鞏工)解 F( x)連續(xù)，所以一廠 ，所以c = f( 0) = f(0)；因?yàn)镕(x)二階可導(dǎo)，所以"：1'連續(xù)，所以b = -'-' -'，且存在，所以1.,所以7：-. J.-,所以U-"/二_1+丄+丄21 -21十用(-1/2 (1+護(hù)】：-' '-, k = 0, 1,2, k = 0, 1,2,設(shè)尸也x,求了使用萊布尼茲高階導(dǎo)數(shù)公式(一 1嚴(yán) D!所以_!'元函數(shù)積分學(xué).求以下不定積分：亠亠心1F 1-Zki 1+xx-1

31、國(guó)1十仏1+1|解.門一F 1占'1-A1査4111-齊丿十匚2.COS A + sill z +1(1 + cos 斗)1 + sin a ,必1 + CCS AGQ5 忑-F 5111 a + L1 + sin _ j I + fin. 1 + sin珀二1H- cos X J 1 + ccs x 1 + cos zif 14-stn a2 1 -Feos x j-He-1141 + 二+ 亡兀方法x dx為rJrTg=iiiki一誠(chéng)1+汕十芒8-hfl+il+c7二.求以下不定積分：1.卄1尸疔+2疋+2dt住 + 1尸 J&+1F 4 1 令x+l"anf匚。

32、£ ftan2 iseefGQSfai/ 1=-一十匸= sm tsin t點(diǎn)十12.解.令 x = tan t,cos Lcos tsin t1 1-+ 4-C 3stn t sm 1rd?i3.【、2h +1) J1+ fdxr sec t, cost, r a sin £ I ydf. = 應(yīng)= (苛+Wi+F 1 (2 tan f + 1) seci J 2sin i + cos t J 1 + sin f+ xarctan stn £= arctan 一十cJ ri r4. 一(a > 0)£i2 sinJ£ £2 c

33、cstdt解.令 a = a sin ir l-cos2r = 12/-sm N + 匚2245.解 令界 sm ir n , r 4 , r (14- cos 2 ? r 1 + 2c ：js 2/ 十貯o2f J(l斗)旅=cos tdt = dt =扣扌W話1 +心側(cè)-r+lsrn N +84132sin 1 £ + c-arcsin y + sin 2£(1 + cos 2£)十c84'4'3 .1 n ,/4 + 12sii?億一 arcsin x + 2stn L cosf () + c= -31I Tj-arcsin 工+ 工*1 -

34、 x (j - 2j ) +芒=-=一；SjF三.求以下不定積分：1.迤 J? = arc涵護(hù)-八+芒 買-八尸+12.茁1+平令1arctsin L+c £ln 2 In 2四.求以下不定積分眉呂+討心2)N, 5 499 乂 98(； 2嚴(yán) 99 985-432-99 98(x - 2)w99 98 97(j - 2)9T99 98-97 96(x - 2)9099-98 97-96 95(a-2) 99 98 97 % 95(a-2)94 +Cdx.蠱J1十畫idt (新T7 = _2J JuW令宀tan打澆B2J1.、1, , r i + Ta7二一 一Ln tan it H

35、-sec +c = - In斤+ 巴兀c甘227?J H cos2 xdx 1 31 r ,.os 2工)必二 $工 + j xrfsin 2x2x I cm 2工必4J2x-l- cos2 + c8sec5 兀涿=I $亡匚兀£ tan a = sec x tail z- I tan sec jctan求以下不定積分：3.4.sec 孟tan 拆一(汽F a - l)sec 叔托=see Tcta s-l-ln |j ,11 ,sec xdx = sec xtan i + In2 1sec x + tan x I -¥c7V3-fln jd丄三一丄h汙+如必JX X1 X

36、(Tn r)3 3Qn 十(£ In x *(Jn )3 3(ln 工尸 £ In x 6=一 -I- CX XsccjT + tan x |-J seeS &忑Qn t)3 迪 7)2 £ln 工 *XJco?(lii 力必=冥 cosfln x) 4-J 血(In 兀)心 =cosjlii + sm(ln x)- |cosfln 門心JcosQn 打必 二 cos(ln a) + sin(ln x)十匚2求以下不定積分：1.xln( x + J1+)dr _護(hù)卄廟7%三-b( x + Jl + X)匚-2 1 2,lnO + Jl+J)_l智二響 2(

37、f-lv3) 22.3.ln( + V1+ J ) _1( d 屁沁 £=ln( a 4- Jl + J )2(1-刊1 + -b?2 sin l 十亡1 V2 sui ilft( x + *)1 Jl + 斤 + 忑卞= 'jcarctan x .ax-J arctan 不川 J1 十 F - Ji 十 F arctanJ1 十a(chǎn)rctan 兀- dx = V1 + F arct an Jl十Harc tan 訂，1 r，如=dx = arctan q 血 = 嚴(yán)2J一立 arctan +扌J總 店醞1 嚴(yán) arctan+丄二=2 2J l + ff一丄尸"arc

38、tan昇+丄22曠1+產(chǎn)e用1 Wy = - (?"2r arctan ex 十 尹“ -I-arctan x) + c1+尹2/廿設(shè)心，求口曲打如二胃匕城1+八)-3)J (H + 2不- 3)八亦J ln( 1 斗兀)一丄貿(mào)ln( l-i- xa) - 3 +c2出- (X亠4応亠1)廠亠考慮連續(xù)性，所以c = 1+ c 1, c 1 = 1 + c-X2 血1 + / -一血1+異一箋+巴2 2忑'+ 4著+ 1忍"斗1 +衛(wèi)八.設(shè) :，a, b 為不同時(shí)為零的常數(shù),解.令二護(hù),兀二 Inf,=0+bc 爼阻 f,所以x> 0x <0求 f(x).

39、開十b csQn兀日兀2 + E) sinQn 町 + (3 -衛(wèi))cos(ln x) -Fc襯"R 1十用/町 占九設(shè)當(dāng)x 0時(shí)，1 '連續(xù)，求.嚴(yán)乜人二疔嚴(yán)必-纓必解.加'-=； +c 2求 f(x).十 設(shè)了'cos 兀 + 2) = gin 工 + tam 耳解軍 令 I cos Jl + 2$/<A= I 22+=-扣 一2尸-所以L“十.求以下不定積分：j F4- £莊解.令上二hJ- x2dx = 32| sin5 icosa £di = -32 j (1 - cos2 f) cos2 id cos2-cos3i+cos

40、s£-btf = l(4-x3)5-(4-r,)3 4-c3 5532.Jj(a > 0)解.令 V : : - - rdx(a :> 0)=曲皿1' a sec Z tan f = £i tan2tan i -H ca sec/JJF 一 / - a arccos +u心+ 63.解.廠+4.解.wl-0(a > 0)令口 =旅2,duJ勿-ti2令以=sin t8刊川俑J1 丁 2滬皿=2護(hù)J (1 2 cos 21 + cos1 羽叢一 2戊"dn 2f + 2a3a2t -也/ sin / ccsi -aA gin / eos /

41、(l- 2sin S) +疋=.r/ .P - / ' ；：'. T "二 一 “ '：十二.求以下不定積分r 2 sin z ,ax1 J 2+C0£ X2曲+ 出 | 2 + CC>S T+ ln |2 + cos|2 + c x 11 +c = =r arctan (tan )+ln I 2 +cos j: -R*2一心必二2|1必+ 巡+曲J 2 -cosx12*bcos xJ 2 + cos xr sin z cos z:,I ax2.win石十cos首f sin xcosx ,1 r 1 + 2sin cos Jl-1 ,解.【忑E

42、如曰心十®必1 (sin x + cos) -12 = fsin x + co: x)必-sin x+ cos x2 JSill X + cos X冷心一*-專In |噸詩|-+c町對(duì)心=0.假設(shè)fx在a , b上連續(xù),證明：對(duì)于任意選定的連續(xù)函數(shù)x,均有，那么fx0.證明：假設(shè)f( )0, a << b,不妨假設(shè)f( ) > 0. 因?yàn)閒(x)在a , b上連續(xù),所以存在> 0,使mill得在,+上f(x) > 0. 令m =-.'.按以下方法定義a , b上(x):在,+上(x) = F /' ,其它地方(x) = 0. 所以畑玲)如

43、:幾府心 > 弋>0和二矛盾所以f(x) 0.設(shè)為任意實(shí)數(shù)證明:JI證明：先證:tr©in英)/(SU1 )+/(cos a)了(遇對(duì)/(sill X)+f(QQSX) X令t=二,所以于是/(sin 打/(sin ) + /(cosz)了/(cosi)+/(8in i)dl -/(cqs x) + /(sin x)2育 恥心)h /(sia jc) +/(cqs x)了仙工)/(sin ) + /(cosa)/3工)/(ccsjl 4-/(sin x)dx停船5兀所以/(sm )+/(GQS)d = -了(匚。£ X)/(sm 巧十 /(ww)所以卩亠嚴(yán)二1b

44、 1 + 0狙工尸sin zI®曲k (cos j)j +(sjii i)4同理1dl +4<cos xf(x)在0 , 1上連續(xù),對(duì)任意x, y都有|f(x) f(y)| <M|x y|,證明_攤 匕.JH JtII證明：倫=£區(qū)?/(方心-Z/A二g J也/呼血恢對(duì)必-丄?占)二1 士育心一拙)必| r卻高幷 fci jtL并JL J】孑上 i "k-)wJ-r»iI «蘭導(dǎo)丄翌2 右/ 2m四設(shè)r 山n為大于1的正整數(shù)，證明:2(?® +1)£打-xdx = 證明：令t =，貝U'丄Q 1十F因?yàn)?

45、7(W5> 0, (0 < t < 1).廣必<立即得到亦+1)12«2 価 一 1)五設(shè)f(x)在0, 1連續(xù)，且單調(diào)減少，f(x) > 0, 證明：對(duì)于滿足0 <<< 1的任何證明：令I(lǐng)二八'(x),() = cs> 0,(這是因?yàn)閠,且f(x)單減).所以"沁如Q,立即得到氐代皿制丁必六. 設(shè)fx在a, b上二階可導(dǎo)，且.< 0,證明:二邊積分!>T：件+/a +61y 沙和r-丿I 2 )證明：x, ta, b, 一 i+r-七. 設(shè)fx在0, 1上連續(xù),且單調(diào)不增,證明：任給 0, 1, 有

46、證明：方法一：令(或令 1- -4. ' -)"一,所以 Fx單增;又因?yàn)镕(0) = 0, 所以F(1)F(0) = 0. 即空“也-巴“1必A 0即方法二：由積分中值定理，存在0,使由積分中值定理，存在,1,因?yàn)間幕所以/力蘭7所以埜出f©+町得心-0二町®二孑(盂0八. 設(shè)f(x)在a, b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 . ":, 證明：在(a, b)內(nèi)存在一點(diǎn)證明：對(duì)于函數(shù)，用泰勒公式展開：F(R = F(Z) + FK)(x £)+2 (XT)'+(7)3 t, x a, b'再+f) + 埠 (h 上尸+ 譽(yù)匕-/

47、)3(1)(1)中令x = a, t = b, 得到0二呻十)(口 _功+芒黑僅-疔6 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到蝕二 fa)(b 町 +df一得到2F ®) = g) +-町 +- (/' '(£) + /'X5)注：因?yàn)樾枰C明的等式中包含,其中二階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)于(b - a)的三次幕，所以將般直接將f(x)泰勒展開泰勒展開；假設(shè)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)和幕指數(shù)相同，一般直接將f(x)泰勒展開九.設(shè)f連續(xù)，證明:證明：x/(£in町也r令卞二班一 J(現(xiàn) _(sin(n _ £)d(-/)嬉.frrfsni f)旳-J 4

48、/(sin £)/2 kj j (sin t)dt + 艦fj/(siii tdt - F 寸(沁 x)dx2 卩所以 2nr-0 "Oia珀弧=宮/(sin 忑)心+忙 Jt /仙 陌一諾)fl?(-u) = /(sii z)dkIff材©in X)d?A =蹟|oa /(sm 益伽試證:十.設(shè)f(x)在a, b上連續(xù)，U 在a, b內(nèi)存在而且可積，f(a) = f(b) = 0,(a < x < b)證明： -.''：: -." 1'-I '' -', 所以0n -If國(guó)分(對(duì)訂|八0風(fēng)即；

49、即-所以, (a < x < b)I一一 .設(shè)f(x)在0, 1上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ，且I'd L1 ,試證:證明：因?yàn)?, 1上f(x) 0,可設(shè)f(x) > 0因?yàn)?f(0) = f(1) = 0Xo(0,1)使 f(x 0)= Ti(f(x)所以一7丄川*弋1在0, X0上用拉格朗日定理在X0, 1上用拉格朗日定理所以F'刈必汀廣巧比玉1 那么="- 廿與 > 必因?yàn)樗?quot;,由1得1 廠Q十二.設(shè)fx在a, b上連續(xù)，且fx > 0, 那么Ini2證明：將lnx在X0用臺(tái)勞公式展開1 1 - 1In /三In咼十a(chǎn)-亦一 p芝況三掃殆十一O看 和毗司x = f t代入1學(xué)習(xí)文檔僅供參考!，最后一項(xiàng)為0,得1i 卩sa m將上式兩邊取1baCnf(£)dt血b a十三設(shè)f(x)在0, 1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(1) f(0) = 1, 試證:證明：r L/3仏訂彷期卻1咯屯(仏)(“)/("十四a.設(shè)函數(shù)f(x)在0, 2上連續(xù)，且" =0,'5=a > 0.證明：0，2,解.因?yàn)閒(x)在0, 2上連續(xù)，所以|f