第七章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第七章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)： 可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量的圖表可查，方便簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)： 相位的非線性，若需要線性相位，則需要用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，非常復(fù)雜。 圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位，而有限長(zhǎng)單位沖激 響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器就可以做成具體嚴(yán)格線性相位，同時(shí)又可具有任意的 幅度特性。FIR數(shù)字濾波器 i.具有嚴(yán)格的線性相位，具有任意的幅度特性 ii.FIR的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)，因而濾波器一定是穩(wěn)定的iii.FIR濾波器由于單位抽樣響應(yīng)有限長(zhǎng)，因而可用FFT來實(shí)現(xiàn)過濾信號(hào)， 從而大大提高運(yùn)算效率。IIR濾波器設(shè)計(jì)中的

2、各種變換法對(duì)FIR濾波器設(shè)計(jì)是不適用的 IIR利用有理分式系統(tǒng)函數(shù) FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)只是的多項(xiàng)式 因此，我們最感興趣的是具有線性相位的FIR濾波器。7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的（），其z變換為 這是的(N-1)階多項(xiàng)式，在有限z平面（）有N-1個(gè)零點(diǎn)， 而位于平面原點(diǎn)z=0處，則有(N-1)階極點(diǎn)。一、線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的，傳輸函數(shù)為 式中：為幅頻特性，不同于，為實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值。為相頻特性 線性相位：是指是w的線性函數(shù)，即 ，z為常數(shù) 第一類線性相位 若，z為常數(shù)，是起始相位第二類線性相位 嚴(yán)格地說，此時(shí)不具有線性相位，但以

3、上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即 ，也稱這種情況為線性相位。 滿足第一類線性相位的條件是：是實(shí)序列且對(duì)偶對(duì)稱 即 .(1) 滿足第二類線性相位的條件是：是實(shí)序列且對(duì)奇對(duì)稱 即(2) （1）第一類線性相位條件證明 將代入得 令，則有 按照上式可以將表示為 將代入上式得： 則幅頻特性和相頻特性表示如下： 群時(shí)延，因此只要是實(shí)序列，且對(duì)偶對(duì)稱， 那么該濾波器就一定具有線性相位。 （2）第二類線性相位條件證明 令，則有 同樣可表示為 則： 因此，幅頻和相頻特性如下： 因此證明了當(dāng)是實(shí)序列且關(guān)于奇對(duì)稱時(shí)，該濾波器一定 具有第二類線性相位特點(diǎn)。二、線性相位FIR濾波器幅頻特性的特點(diǎn) 的長(zhǎng)度N取奇數(shù)還是

4、偶數(shù)，對(duì)的特性有影響，因此對(duì)于兩類 線性相位分四種情況討論： ，N為奇數(shù)或偶數(shù) ，N為奇數(shù)或偶數(shù)1），N為奇數(shù) 幅度函數(shù)為 *對(duì)于偶對(duì)稱，有 *對(duì)偶對(duì)稱，滿足 因此，中內(nèi)各項(xiàng)之間滿足第n項(xiàng)與第（）項(xiàng)是相等的，所以將兩兩相等項(xiàng)合并，例與，與等，由于N為奇數(shù)，余下中間一項(xiàng)（），其余各項(xiàng)組合后為項(xiàng)，則， （）可表示為： 由此看出，當(dāng)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)時(shí)，由于對(duì)于 皆為偶對(duì)稱，所以對(duì)也呈偶對(duì)稱2）偶對(duì)稱，N為偶數(shù) 與N為奇數(shù)討論相同，不同點(diǎn)僅由于N為偶數(shù)，沒有單獨(dú)項(xiàng)。 可表示為式中，圖，表由此可以看出，當(dāng)為偶對(duì)稱，N為偶數(shù)時(shí)，有以下特點(diǎn)： 當(dāng)時(shí)，故 也就是在處必然有一個(gè)零點(diǎn)。 由于對(duì)奇對(duì)稱，所以對(duì)呈奇對(duì)

5、稱，對(duì) 呈偶對(duì)稱 如果一個(gè)濾波器在時(shí)，不為零，則不能用這種濾波器。（高 通和帶阻不適合用這種情況） 3）奇對(duì)稱，N為奇數(shù).(3) 由于 有 所以，也就是說中間項(xiàng) 是奇對(duì)稱，而也是奇對(duì)稱，即 這樣相乘的結(jié)果，式（3）中第n次與（N-1-n）項(xiàng)的數(shù)值相等，可將相等的項(xiàng)合并，合并后為項(xiàng)得 可表示為 式中， 由此可以看出：當(dāng)為奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，有以下特點(diǎn)： 由于在處都為0，因此在 處必為0，也就是在處都為0； 由于在處都呈奇對(duì)稱，故對(duì) 也呈奇對(duì)稱。4）奇對(duì)稱，N為偶數(shù)此時(shí)與第3）種情況一樣，但兩兩合并后共有項(xiàng)，因此有 可表示為： 式中，由此可以看出，當(dāng)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)時(shí)，有以下特點(diǎn)： 由于在處為0，所

6、以在 也為0，即在處為0。 由于在處呈奇對(duì)稱，在處呈偶對(duì)稱， 故在處呈奇對(duì)稱，在處呈偶對(duì)稱。 以上四鐘情況的幅度特性，需滿足的條件以及相位特性如表 所示，三、線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足 第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足 綜合可知線性相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)滿足： 和兩者只差N-1個(gè)抽樣延時(shí)的乘因子，如上式，其他 完全相同。 又因它們是有限序列（FIR）的z變換，因而都是z（或）的多項(xiàng)式 （1）若是的零點(diǎn)，即，則也一定是 的零點(diǎn)。 （2）由于是實(shí)數(shù)，所以零點(diǎn)必然是以共軛對(duì)實(shí)現(xiàn)的，或者是 共軛鏡像的，有以下四種情況。 零點(diǎn)不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則為 兩對(duì)共軛對(duì) 零點(diǎn)

7、是實(shí)數(shù)，則只有兩個(gè)零點(diǎn)，即 零點(diǎn)是純虛數(shù)且在單位圓上，則有兩個(gè)零點(diǎn) 零點(diǎn)在單位圓上且為實(shí)數(shù)，則只有一點(diǎn)為零點(diǎn) 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布 四、線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1）N為偶數(shù)，則有 令，則有 因?yàn)?，式中?”代表第一類線性相位，“-”代表 第二類線性相位。 .(4.1) 2)N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)單獨(dú)列出 .(4.2)對(duì)，共需要N個(gè)乘法器對(duì)N為偶數(shù)如式4.1，僅需要N/2個(gè)乘法器對(duì)N為奇數(shù)如式4.2，僅需要（N+1）/2個(gè)乘法器第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器這種方法也稱傅里葉級(jí)數(shù)法 一、設(shè)計(jì)方法 一般先給理想的濾波器頻率響應(yīng)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器、 頻

8、率響應(yīng)來逼近。 設(shè)計(jì)是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，完成 設(shè)計(jì)FIR濾波器，其是有限長(zhǎng)，用有限長(zhǎng)去逼近 最有效方法是截?cái)啵醇哟?，有?因而窗的形狀和長(zhǎng)度的選擇很關(guān)鍵。 設(shè)計(jì)低通濾波器的群延時(shí)為a，即 表明在通帶范圍內(nèi)，的幅度均為1，相位是 (1) 是無限長(zhǎng)，要得有限長(zhǎng)，一種最簡(jiǎn)單的方法是取矩形窗，即，有： .(2) 將（1）代入（2）得： 因?yàn)?，滿足第一線性相位特性 下面求出的傅里葉變換，即計(jì)算FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加窗后對(duì)頻率響應(yīng)的影響。 (3) 又因： 表示成幅度函數(shù)和相位函數(shù) 其中 將與代入（3）式得 因此： 是的幅度函數(shù)，該式說明濾波器的幅度特性等于理想 低通濾波器的幅度特性與矩形窗幅度

9、特性的卷積。與卷積形成波形 分下面八種情況討論：矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響 當(dāng)時(shí)，等于(a)和（b）兩波形乘積，相當(dāng)于 在之間的一段積分，將歸一化。 時(shí)，如圖c所示，當(dāng)時(shí)，積分近似為 一半波形的積分，歸一化后為。當(dāng)時(shí)，如圖（d）主瓣完全在區(qū)間之間，而 最大負(fù)瓣不在區(qū)間，因此，此時(shí)在該點(diǎn)有個(gè)最大的正峰。，主瓣完全移出積分區(qū)間，因此，在該點(diǎn)有個(gè)最大的負(fù)峰。 在理想特性不連續(xù)點(diǎn)附近形成過濾帶，過濾帶的寬度近似等于 主瓣寬度，即。 通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大峰值在處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生余振，最大 負(fù)峰在處。通帶與阻帶中波動(dòng)情況與窗函數(shù)的幅度相關(guān)。 波動(dòng)愈快（N加大時(shí)），通帶、阻帶內(nèi)波動(dòng)愈快； 的旁瓣直接影響波

10、動(dòng)的大小。增加截取長(zhǎng)度N，則在主瓣附近的窗頻率響為 其中?？梢姡淖僋只能改變窗譜的主瓣寬度，改變w坐標(biāo)比例和 的絕對(duì)值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例（當(dāng) 然N太小時(shí)，會(huì)影響旁瓣的相對(duì)值） 因此，當(dāng)截取長(zhǎng)度N增加時(shí)，只會(huì)減少過渡帶寬，而不改變肩峰的相對(duì)值。 旁瓣大小直接影響波動(dòng)的大小，N的改變不能改變旁瓣大小，只能改變窗函數(shù)的形狀，才能改變旁瓣大小。 二、各種窗函數(shù) 矩形窗截?cái)嘣斐杉绶鍨?.95%，N增加，減少，故起伏振蕩變密， 最大肩峰為8.95%不變，這種現(xiàn)象稱為吉不斯現(xiàn)象（Gibbs）效應(yīng)。 阻帶最小衰減為，這個(gè)衰減在工程上不夠， 從看出，只有當(dāng)窗譜逼近單位沖激函數(shù)時(shí)，即絕大部分能

11、量集中在中點(diǎn)時(shí)，才會(huì)逼近。 因此，從以上討論可以看出，一般希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求： 窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過渡帶 盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度 往往兩者不可兼得，用增加豬瓣寬度以換取對(duì)旁瓣的抑制。 常用的窗函數(shù)有以下幾種：1.矩形窗 2.三角形（Bartlett）窗 ，“”在N>>1時(shí)成立此時(shí)主瓣寬度為。 3.漢寧（hanning）窗，又稱開余弦窗 利用傅里葉變換的調(diào)制特性，即利用 表示傅里葉變換對(duì)，再利用 考慮傅里葉變換為 則得 當(dāng)N>>1時(shí)，所以窗譜的幅度函數(shù)為 漢寧窗的幅度函數(shù)由三部分組成，使能量更集中在主瓣中，如 圖所示，但代價(jià)是主瓣寬度加寬到了4.

12、哈明（Hamming）窗改進(jìn)的開余弦窗 其頻域函數(shù)為 其幅度函數(shù)為： 當(dāng)N>>1時(shí)，可近似表示為 這是一種改進(jìn)的開余弦窗，主瓣集中了99.96%能量，第一旁瓣的峰值比主值小，但主瓣寬度與漢寧窗相同，仍為。5.布萊克曼（Blackman）窗 其頻域函數(shù)為 其幅度函數(shù)為： 表7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 1.設(shè)計(jì)原理頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻響加以等間隔采樣，然后以此作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值，具體設(shè)計(jì)流程有2種：（1）（2） 設(shè)待設(shè)計(jì)濾波器的傳輸函數(shù)用表示，對(duì)它在到之間等間隔采樣N點(diǎn)，得 方法一： 再對(duì)進(jìn)行IDFT，得到 式中，作為所設(shè)計(jì)的濾波器

13、的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 .(1) 方法二： 在第三章學(xué)過頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號(hào) 的z變換公式，將插值公式重寫如下： .(2) 此式是直接利用頻率采樣值形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，式（1），（2） 都是頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器，它們分別對(duì)應(yīng)著不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。式（1）適合 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，式（2）適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。 下面討論兩個(gè)問題： 實(shí)現(xiàn)線性相位應(yīng)滿足什么條件 逼近誤差問題及其改進(jìn)措施2.用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是是實(shí)序列，且滿足 ，在此基礎(chǔ)上已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是： .(1) .(2) ,N為奇數(shù).(3),N為偶

14、數(shù).(4) 在之間等間隔采樣N點(diǎn)， ，k=0,1,N-1 將代入上述（1）（4）式得，并寫成k的函數(shù) (5) .(6) ,N為奇數(shù)(7),N為偶數(shù)(8) 式（5），（6），（7），（8）是頻率采樣式滿足線性相位的條件。 說明N等于奇數(shù)時(shí)對(duì)N/2偶對(duì)稱，N等于偶數(shù)時(shí)，對(duì)N/2奇對(duì)稱，且。逼近誤差及改進(jìn)措施（1）引起誤差原因 對(duì)理想進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，N為有限值，而的 傅里葉變換的長(zhǎng)度為M為無限長(zhǎng)，無法滿足頻域采樣定理（） 的要求，因此，逼近必定存在誤差，且誤差的表現(xiàn)形式如下： 實(shí)際上用傾斜線取代的間斷點(diǎn)，形成過渡帶。 間斷點(diǎn)附近有振蕩，且振蕩最大；特性愈平滑，振蕩愈小。（2）增大采樣N值，可減小過渡帶帶寬（）；但無法減小間斷點(diǎn) 間附近的振蕩。（3）增加過渡點(diǎn)可減小振蕩，但副作用是過渡帶加寬。 為了減小在通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩，