西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第三部分 二維隨機(jī)變量（答案）

1、第3部分 二維隨機(jī)變量基礎(chǔ)練習(xí)一 填空1設(shè)二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且， 則 。答案：；2若二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立， 且都服從正態(tài)分布，則服從_。答案：二維正態(tài)分布；3若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為，則的邊緣分布密度為_。答案：；4. 是連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的_條件.答案：充要；5. 已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)用它表示概率=_.答案：6. 設(shè)二維隨機(jī)變量在由曲線和所圍成的區(qū)域上服從均勻分布，則的聯(lián)合概率密度_.答案：7. 若為隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,則常數(shù)=_.答案：8. 若的聯(lián)合概率密度為則有=_.答案：9. 設(shè)互相獨(dú)立，并服從區(qū)間上的均勻分布，且，則的聯(lián)合概率密度為=_.答案：10. 設(shè)

2、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：則落在區(qū)域內(nèi)的概率=_.答案：二 計(jì)算題1. 假設(shè)某校學(xué)生的數(shù)學(xué)能力測(cè)試成績(jī)與音樂能力測(cè)試成績(jī)具有如下形式的概率密度函數(shù):試求：與，并判斷與是否相互獨(dú)立？答案：解:故，與不獨(dú)立.2. 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且均在區(qū)間上服從均勻分布，求：的值.答案：由題意，且與獨(dú)立，故3. 設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8，且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與孵化為成蟲數(shù)的聯(lián)合分布律.答案：解：本題已知隨機(jī)變量的分布律為,由題意知，該昆蟲下一代只數(shù)在的條件下服從參數(shù)為0.8的二項(xiàng)分布，故有，由，得的聯(lián)合分布律為：，.4.設(shè)二維隨機(jī)變

3、量的概率密度為,（1）確定常數(shù)的值;（2）是否相互獨(dú)立?為什么?答案：解：（1）,即=.（2）,即.同理，,即.顯然有從而與不獨(dú)立.5. 已知相互獨(dú)立，的分布律為：，試求：(1)的值；(2)的邊緣分布.答案：(1)；（2）,，,6. 設(shè)袋中有3個(gè)球，其標(biāo)號(hào)為1，2，2，今從中不放回地任取2個(gè)球，記為第1，2次抽得球的標(biāo)號(hào)，試求：(1) 的聯(lián)合概率分布律；(2) 的邊緣分布律.答案：(1)0，1/3，1/3，1/3；(2)1/3，2/3；1/3，2/3.7. 設(shè)的聯(lián)合密度為(1) 求參數(shù)的值；(2) 求與的邊緣密度函數(shù).答案：解：（1）由，可得.(2)8. 已知隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布為YX101

4、10.300.310.10.20.1（1）求的邊緣分布；（2）判斷與是否獨(dú)立.答案：解：（1）綜合有下表YX10110.300.30.610.10.20.10.40.40.20.4（2），不獨(dú)立。9. 已知，令：試求的聯(lián)合分布律.答案：由,知即，故與是互相獨(dú)立的.的聯(lián)合分布律為：1210. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為:(常數(shù)均為正數(shù))，求其聯(lián)合概率密度.答案：三 證明題1. 設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，且，證明：Y的密度函數(shù)為答案：的密度函數(shù)為：，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，=所以，2. 若，且,驗(yàn)證：函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度.答案：由及的定義知: =其中,令.3. 設(shè)隨機(jī)變量是單點(diǎn)分布,(是常

5、數(shù))，而是任意隨機(jī)變量，證明隨機(jī)變量與必相互獨(dú)立.答案：(1)當(dāng)時(shí),故，；(3) 當(dāng)時(shí),有綜合(1)(2),對(duì)任意均有， 所以，與相互獨(dú)立。4. 設(shè)某種商品一周的需求量是一隨機(jī)變量，密度函數(shù)為:設(shè)各周的需求量相互獨(dú)立，求證：兩周需求量的密度函數(shù)為：。答案：設(shè)為第周需求量，則兩周的需求量的密度函數(shù)為：即， 。自測(cè)題一、 填空題1. 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且X服從正態(tài)分布Y服從正態(tài)分布，則服從_分布答案：；2. 設(shè)與的聯(lián)合分布密度，則=_.答案：；3. 若與的聯(lián)合概率密度為則有=_.答案：；4. 設(shè)，且與服從B上均勻分布，則=_.答案：；5. 若為隨機(jī)變量與的聯(lián)合概率密度,則常數(shù)=_.答案：二、

6、計(jì)算題1. 二維隨機(jī)變量的概率密度為，求：的邊緣概率密度，并判斷和的獨(dú)立性。答案：解：（1）類似的，2. 袋中有大小、重量等完全相同的四個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)學(xué)1，2，2，3，現(xiàn)從袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分別以X、Y記第一次和第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：（1）（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（2）X，Y的邊緣分布；（3）判斷X與Y是否獨(dú)立。答案：YX12310230X123P0.250.50.25Y123P0.250.50.253. 已知服從參數(shù)的分布，在及下關(guān)于的條件分布分別為：1231/41/21/41231/21/61/3寫出與的聯(lián)合分布律。答案：x01h=10.10.3h=20.20.1h=30.10.2 4. 某商品一周銷售是一隨機(jī)變量其密度為：且各周銷售量相互獨(dú)立，求兩周的平均銷售量不少于100的概率。答案：設(shè)為第周需求量5. 三個(gè)互相獨(dú)立的元件串聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng)，若三個(gè)元件的使用壽命，都服從同一指數(shù)分布，即其概率密度為：試求該系統(tǒng)的壽命的分布函數(shù)和概率密度。答案：的分布函數(shù)為：令2分7分的概率密度為。 三、 證明題1. 已知，令：，試證的聯(lián)合分布律為：h=0h=111/91/1825/9