大氣污染的數(shù)學(xué)模型

1、 大氣污染的數(shù)學(xué)模型摘要 改革開(kāi)放以來(lái)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，伴隨著的是愈演愈烈的環(huán)境污染問(wèn)題，其給人民的健康與生活帶來(lái)了極大的危害。本文從城市環(huán)境污染中的一個(gè)重要方面大氣污染入手，充分考慮其產(chǎn)生和傳播特點(diǎn)，建立了大氣污染的數(shù)學(xué)模型及其拋物型線性方程的Fourier變換求解方法。因?yàn)槟Ｐ蜑闀r(shí)間的函數(shù)，我們預(yù)測(cè)從現(xiàn)在開(kāi)始，若嚴(yán)格達(dá)標(biāo)排放，環(huán)境得到顯著改善所需的時(shí)間模型。從社會(huì)角度出發(fā)，比較了利用排污而后再治理與直接處理污染成本大小。最后根據(jù)建立的模型，提出解決環(huán)境問(wèn)題的一些措施。 【關(guān)鍵詞 】 大氣污染；模型；Fourier變換問(wèn)題的重述 隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，超標(biāo)排污、環(huán)境污染的事故時(shí)有發(fā)生，給

2、人民的健康與生活帶來(lái)了極大的危害。環(huán)境保護(hù)是構(gòu)建和諧社會(huì)和資源節(jié)約型社會(huì)的一個(gè)重要組成部分。例如，作為環(huán)境污染的一個(gè)重要部分大氣污染，主要由于工廠（如石灰廠、紙廠、發(fā)電廠、水泥廠等）排出的有害煙塵，以及越來(lái)越多的汽車排出的有害煙塵所造成，這些有害煙塵因大氣的擾動(dòng)而擴(kuò)散，隨氣流而漂移，造成大氣污染，危害環(huán)境，同時(shí)煙塵可以通過(guò)人類的直接呼吸、飲食以及皮膚接觸而影響人類的身體，對(duì)人類的這種危害可以分為急性中毒、慢性中毒以及致癌三種。另外，水污染也是環(huán)境污染的一個(gè)重要部分。試就以下兩個(gè)問(wèn)題給出自己的解答：1）建立小范圍內(nèi)（如金華市）環(huán)境污染過(guò)程的數(shù)學(xué)模型（關(guān)于時(shí)間的函數(shù)）。2）預(yù)測(cè)從現(xiàn)在開(kāi)始，停止一切

3、污染源（嚴(yán)格達(dá)標(biāo)排放），要多長(zhǎng)時(shí)間金華的環(huán)境才能得 到顯著改善。3）從社會(huì)角度比較分析利用排污而后再治理的成本與直接處理污染的成本。4）根據(jù)建立的模型，提出解決環(huán)境問(wèn)題的措施或策略。問(wèn)題的分析 水泥廠,石灰廠、紙廠等一些工廠及越來(lái)越多的汽車排出的有害煙塵,因大氣的擾動(dòng)而擴(kuò)散,隨氣流而飄移,造成大氣污染,危害環(huán)境,影響人類的身體健康。根據(jù)這樣的分析，我們可以任取空間上一閉曲面S所圍區(qū)域?yàn)?C(x,y,z)為有害煙塵的濃度。(x,y,z,t)是(x,y,z)點(diǎn)上t時(shí)刻單位體積單位時(shí)間煙塵的排放量。利用高斯定理等數(shù)學(xué)工具，可以列出關(guān)于時(shí)間t和濃度c的偏微分方程，再通過(guò)Fourier變換求解，就可以解

4、出偏微分方程，得到我們所需的模型。因?yàn)槿狈Ρ匾臄?shù)據(jù)，我們先設(shè)環(huán)境得到顯著改善時(shí)的有害氣體濃度為A只要解出時(shí)間就可以了。通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料，我們可以分析出排污而后再治理的成本與直接處理污染的成本的大小關(guān)系，而且可以猜測(cè)，其間必存在閾值。模型的假設(shè)1、任取空間上一閉曲面S所圍區(qū)域?yàn)椋?、有害煙塵隨風(fēng)向四周擴(kuò)散；3、有害煙塵在大氣中有吸收衰減；4、(x,y,z,t)是(x,y,z)點(diǎn)上t時(shí)刻單位體積單位時(shí)間煙塵的排放量。符號(hào)說(shuō)明1、C(x,y,z)為有害煙塵的濃度。2、D1,D2,D3分別是x,y,z軸方向上的擴(kuò)散系數(shù)93、k為吸收衰減系數(shù)且大于0.4、(、)是不變的風(fēng)向量5、為大氣中有害氣體的初始

5、濃度6、A為空氣質(zhì)量明顯改善后煙塵的濃度模型的建立與求解問(wèn)題一：由重積分的意義知道,通過(guò)S從t到t+t時(shí)間內(nèi)流入的煙塵質(zhì)量為 其中cos、cos、cosr是s的外法向余弦。由高斯公式得: 由于吸收衰減,在t到t+t時(shí)間內(nèi)內(nèi)煙塵的成少量為： 由于空氣流動(dòng),煙塵隨風(fēng)從t到t+t時(shí)間內(nèi)流動(dòng)飄出S的質(zhì)量為： 其中(、)是不變的風(fēng)向量,由高斯公式得： 由S內(nèi)從t到t+t時(shí)間內(nèi)共排放出煙塵量為: 從另一個(gè)角度看,由于濃度的變化引起的內(nèi)質(zhì)量之增加量為： 由質(zhì)量守恒定律得 由t,t,的任意性得大氣污染的數(shù)學(xué)模型為: （1）初始條件為： 模型的求解：Fourier變換的性質(zhì)記： (2)由(2)式定義的Fouri

6、er變換有下列主要性質(zhì):(1)線性性質(zhì) (2)微分性質(zhì) （3）可逆性質(zhì) 則：由Fourier求解拋物線型方程對(duì)（1）進(jìn)行Fourier變換得 是以t為自變量的一階線性非齊次常微分方程的Cauchy問(wèn)題,改寫(xiě)成 解得：對(duì)進(jìn)行反變換得到:所以我們得到了大氣污染的數(shù)學(xué)模型：?jiǎn)栴}二：設(shè)A為空氣質(zhì)量明顯改善后煙塵的濃度，且設(shè)A<,設(shè)按標(biāo)準(zhǔn)排放后對(duì)環(huán)境造成的污染為B，相當(dāng)于排放煙塵。解方程得：設(shè)從t1時(shí)間開(kāi)始污染物限制排放，為初始濃度則濃度的表達(dá)式變?yōu)椋簞t濃度的變化率可表示為:則由下式： 時(shí)間差可以由上式解出。所以，我們可以建立求時(shí)間差的模型。問(wèn)題三：2005年月日中國(guó)環(huán)境經(jīng)濟(jì)核算綠皮書(shū)正式公布。僅

7、計(jì)算項(xiàng)污染損失，就占到了年的；虛擬治理成本換算為環(huán)保投資大約為當(dāng)年的，實(shí)際投資欠賬高達(dá)綠皮書(shū)中還涉及到另一個(gè)重要數(shù)字污染扣減指數(shù)。專家稱之為虛擬治理成本。這個(gè)和又有什么關(guān)系呢？潘岳用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)做說(shuō)明：“如果我們把生水燒開(kāi)或用家庭凈水器過(guò)濾一下，需要為此支付電費(fèi)等處理成本，可能占到我們收入的，但如果我們不進(jìn)行任何處理，直接喝生水，由此生病就可能至少花費(fèi)我們收入的?！睆纳鐣?huì)的角度，我們可以這么認(rèn)為，先污染后治理相當(dāng)于先喝生水再看病，雖然前期沒(méi)有投入，但后期的補(bǔ)償是巨大的，而且對(duì)身體造成了傷害。而先治理再排放相當(dāng)于對(duì)水進(jìn)行處理后再飲用，雖然前期有投資，但數(shù)目不大且沒(méi)有對(duì)身體造成傷害。但是就企業(yè)

8、的決策而言，是否進(jìn)行環(huán)境污染治理，要考慮到排污費(fèi)、污染物規(guī)模、處理成本這三者的關(guān)系。 在治理的過(guò)程中，既要購(gòu)置必要的設(shè)備，又會(huì)發(fā)生相應(yīng)的運(yùn)行成本等，單位環(huán)境治理成本會(huì)呈現(xiàn)出特殊的走勢(shì)，通常情況下，開(kāi)始單位環(huán)境治理成本（EC）高于單位排污費(fèi)（EF）之后，隨著污染治理量的增加，單位環(huán)境治理成本會(huì)逐漸減小，并低于單位排污費(fèi)。這是設(shè)備得到充分利用，固定性環(huán)境治理成本得到有效“稀釋”的結(jié)果。然而，當(dāng)設(shè)備能力接近峰值甚至超負(fù)荷時(shí)，單耗和修理成本的增加單位環(huán)境治理成本上升，從而表明，企業(yè)存在著一個(gè)環(huán)境治理的可行區(qū)間（D1-D2）。在這一區(qū)間內(nèi)，單位污染治理成本低于單位排污費(fèi)，環(huán)境治理有“雙贏”的效果。廣東某

9、化工廠生產(chǎn)蔗糖，并用蔗渣造紙，在榨糖和造紙過(guò)程中每年排泄廢水80萬(wàn)噸。該化工廠每年向環(huán)保局繳納64萬(wàn)元排污費(fèi)。下表是污水處理設(shè)備的運(yùn)行成本。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算廢水治理成本和排污費(fèi)的平衡點(diǎn)： x =70.52<80所以已經(jīng)具有污染治理的規(guī)模效應(yīng)。這樣，每噸廢水節(jié)約300元費(fèi)用又保護(hù)了環(huán)境。問(wèn)題四： 大氣污染源主要有：工廠排放、 汽車尾氣、農(nóng)墾燒荒、森林失火、炊煙（包括路邊燒烤、塵土（包括建筑工地。 粉塵主要來(lái)源于工業(yè)燃煤釋放的煙霧顆粒，建筑工地,裸露土面揚(yáng)起的塵土，生活垃圾露天堆放。一氧化碳(CO)主要來(lái)源于汽車尾氣(主要在汽油燃燒不充分時(shí),如停車狀態(tài)開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)),燃煤，農(nóng)墾燒荒,有

10、機(jī)物燃燒。二氧化硫 (SO2)于主要來(lái)源于燃煤，如發(fā)電廠，工廠和民用燒煤，其它工業(yè)過(guò)程如煉油等。氮氧化物 (NOx): 主要來(lái)源于汽車尾氣和燃煤發(fā)電廠。鉛粒主要來(lái)源于使用含鉛汽油的汽車尾氣。臭氧 (O3)主要來(lái)源于從汽車和工廠釋放出的氮氧化物在太陽(yáng)光照射下與氧氣反應(yīng)生成。碳?xì)浠衔?主要來(lái)源于汽車尾氣(尤其在汽油燃燒不充分時(shí)，如停車狀態(tài)開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)，油箱泄漏，汽油揮發(fā)。煤灰,煤煙和油煙主要來(lái)源于在馬路旁架煤爐子的早餐攤點(diǎn), 烤肉、烤餅攤, 炒菜做飯等餐飲攤點(diǎn)。二惡英主要來(lái)源于焚燒垃圾，焚燒含氯塑料。 機(jī)動(dòng)車污染控制，使用無(wú)鉛汽油，對(duì)煤炭行業(yè)進(jìn)行“關(guān)井壓產(chǎn)”， 關(guān)停小火電機(jī)組、 清理整頓小水泥廠 、

11、關(guān)停小煉油廠 、對(duì)鋼鐵冶金工業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整。鼓勵(lì)使用小排量汽車。采用國(guó)際流行的脫硫技術(shù)，減少硫排放。做好路邊道路衛(wèi)生和飲食衛(wèi)生的整治工作。實(shí)現(xiàn)垃圾的循環(huán)利用，較少因焚燒、填埋垃圾而帶來(lái)的污染。 模型的結(jié)果分析及模型評(píng)價(jià) 我們從城市環(huán)境污染中的一個(gè)重要方面大氣污染入手，充分考慮其產(chǎn)生和傳播特點(diǎn)，建立了大氣污染的數(shù)學(xué)模型及其拋物型線性方程的Fourier變換求解方法。因?yàn)槟Ｐ蜑闀r(shí)間的函數(shù)，我們預(yù)測(cè)從現(xiàn)在開(kāi)始，若嚴(yán)格達(dá)標(biāo)排放，環(huán)境得到顯著改善所需的時(shí)間。這個(gè)模型在總體上能較好的描述大氣污染的產(chǎn)生、擴(kuò)散等過(guò)程，但由于研究對(duì)象只是環(huán)境污染中的大氣污染下的煙塵污染，研究范圍較窄。且用Fourier變換解得的方程較繁瑣，又牽涉到解復(fù)變函數(shù)，要真正得到解析解相當(dāng)困難。而且所設(shè)函數(shù)的解析式應(yīng)該通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得，且?guī)в幸欢ǖ呐既恍?。從而可以猜想，雖然可以用數(shù)值模擬的方法描述，但精確度較差，難以推廣。附錄一：參